精品解析：北京市东直门中学2026-2027学年度上学期第一次独立作业 九年级数学

2026-2027学年度上学期第一次独立作业 九年级数学 一．慧眼识珠，挑选唯一正确答案，你一定很棒！（每小题3分，共30分） 1. 二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 2. 已知一元二次方程的两根为、，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 3. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴， ∴． 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：根据题意得， 所以． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，． 6. 某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 可知当时，取得最大值，即水流的最大高度为． 7. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】和两点纵坐标相同，都在二次函数的图象上，因此是对应一元二次方程的两个根，利用方程解的定义变形所求代数式，结合根与系数的关系即可求解． 【详解】解：二次函数的图象上有两点和， 把和两点坐标代入函数解析式中， 得，， 整理得，， 是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 又由得，， 将代入所求代数式中得， ． 8. “整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函数的最大值是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设，代入，化为顶点式根据二次函数的性质作答即可． 【详解】设， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线． 当时，， ∴此时无解． ∵， ∴当时， 取得最大值5， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及“整体思想”的应用，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化． 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 10. 如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 二．耐心填一填：你一定行！（每小题3分，共15分） 11. 已知方程的一个根是1，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解: 因为是方程的根， 将代入方程得：， 整理得， 移项得． 12. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 13. 已知、是抛物线上的两点，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据两个点的纵坐标相等求得抛物线的对称轴为直线，进而由对称轴公式求解即可． 【详解】解：∵、是抛物线上的两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得． 14. 如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 三．解答题（6+6+6+8+8+8+10+11+12=75） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）把右边的项移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）把右边的项移到左边，再利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 因式分解，得， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 17. 先化简，再求值：，其中为的根． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的性质和运算法则进行化简，再解一元二次方程，根据分式有意义的条件求出的值，最后代入到化简后的结果中计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵为的根， 解得，， 又∵，， ∴且且， ∴， ∴原式． 18. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 19. 已知抛物线与轴交于，，与轴交于，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线与抛物线只有一个公共点，试求的面积． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立抛物线和直线的解析式，根据两个图象只有一个交点，得到判别式等于0，求出点坐标，再利用面积公式进行计算即可. 【小问1详解】 解：把，，代入，得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 整理，得， ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴，解得， ∴方程化为，直线的解析式为． 解得， ∴当时，， ∴， 令，解得， ∴， ∴， ∴的面积． 20. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请求出的值． 【答案】（1）5或26 （2）或 【解析】 【分析】（1）求出方程的两个解，再根据“倍根方程”的定义讨论求解即可； （2）设该方程的两个实数根为，由根与系数的关系得到，，解方程求出t的值，则可求出n的值． 【小问1详解】 解：解方程得或， ∵关于的方程是“倍根方程”， ∴或，即， 当时，， 当时，， 综上所述，代数式的值为5或26； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”， ∴可设该方程的两个实数根为， 由根与系数的关系可得，， 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 经检验：或时，， 综上所述，n的值为或． 21. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，利用分割法表示出的面积，利用二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 解：把、代入，得： ，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 连接，设， 则 ， ∴当时，的面积最大为1. 22. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每月产量的增长率为 . （2）应降价元，最大利润为 元. 【解析】 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【小问1详解】 解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得  ,  ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； 【小问2详解】 解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴，  ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 23. 问题情境 如图1，在四边形中，，，点M为中点，连接记，探究n的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当，时，直接写出n的值； （2）再将问题一般化，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 问题拓展 如图3，在问题探究（2）的条件下，点P在四边形内部，满足，且，若，，直接写出和的值． 【答案】（1）2； （2）证明：延长交延长线于 ∵， ，， 又点M为中点， ， ， ，， ，， ， ∴ ， 因此，即（1）中的结论仍然成立； （3），； 【解析】 【分析】（1）先证四边形是菱形，进而利用所对的直角边是斜边的一半即可得解； （2）延长交延长线于，证，可知，再证，得到； （3）由题易得是等边三角形，所以可以沿外侧构造等边三角形，证明，进而可得，由（）知，进而利用特殊角构造直角三角形求解即可． 【详解】解：（1）， ，， 为中点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， ， ，即； （2）略 （3）连接，以为边在左侧作等边三角形，过P作于点E，，交延长线于点G， ，， 是等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，，， ，， 同理，， 由（）知， ， 在中，， ； ， ， 在中，， 【点睛】本题主要平行四边形的性质和判定、菱形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、含有的直角三角形、等边三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； （3）如图，为第四象限抛物线上一点，连接，过点作分别交、轴于、两点，当为线段的中点时，求点的坐标． （4）如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，求得得到点P在x轴的上方，过A作交于M，过作轴于N，证明得到，，进而可得，利用待定系数法求得直线的函数表达式为，和抛物线联立方程组求解即可； （3）利用待定系数法分别求得直线、直线和直线的函数表达式，设，，易求得，利用中点坐标公式求得，代入直线的函数解析式中求得m值即可解答； （4）过A、G分别作y轴的平行线，过M、N分别作x轴的平行线，分别交两条平行线于E、F、I、J，则四边形是矩形，根据题意设，，证明得到，，，，根据坐标与图形的性质可求得，，由列方程求得n值，进而可得答案． 【小问1详解】 解：∵与轴交于、两点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：连接，当时，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P在x轴的上方，如图，，过A作交于M，过作轴于N，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解 得， ∴直线的函数表达式为， 解方程组得，， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，， ∵， ∴直线的函数表达式为， 将D坐标代入，得，解得， ∴， ∵为线段的中点时， ∴，即， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点N在直线上， ∴， 解得，， ∴点D坐标为； 【小问4详解】 解：过A、G分别作y轴的平行线，过M、N分别作x轴的平行线，分别交两条平行线于E、F、I、J，则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点． ∴设，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴，，， 同理，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴，则， ∴， ∵四边形为的面积为， ∴由得 整理，得， 解得，（舍去）， ∴，， ∴点G坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期第一次独立作业 九年级数学 一．慧眼识珠，挑选唯一正确答案，你一定很棒！（每小题3分，共30分） 1. 二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 2. 已知一元二次方程的两根为、，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（） A. B. C. D. 8. “整体思想”在数学计算中有着很广泛的应用，用这一思想方法可求得函数的最大值是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．耐心填一填：你一定行！（每小题3分，共15分） 11. 已知方程的一个根是1，则_____． 12. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 13. 已知、是抛物线上的两点，则________． 14. 如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 15. 如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 三．解答题（6+6+6+8+8+8+10+11+12=75） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中为的根． 18. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 19. 已知抛物线与轴交于，，与轴交于，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线与抛物线只有一个公共点，试求的面积． 20. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请求出的值． 21. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式． （2）点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． 22. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 23. 问题情境 如图1，在四边形中，，，点M为中点，连接记，探究n的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图2，当，时，直接写出n的值； （2）再将问题一般化，如图1，证明（1）中的结论仍然成立； 问题拓展 如图3，在问题探究（2）的条件下，点P在四边形内部，满足，且，若，，直接写出和的值． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； （3）如图，为第四象限抛物线上一点，连接，过点作分别交、轴于、两点，当为线段的中点时，求点的坐标． （4）如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $