精品解析：四川省射洪中学校2026-2027学年高二强实班上学期第一次月考数学试题

射洪中学高2025级强实班高二上期第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把直线方程化为斜截式，结合直线倾斜角与直线斜率的关系进行求解即可. 【详解】由. 因为该直线的倾斜角为， 所以. 2. 已知事件A和B互斥，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】已知，， 所以，整理得，解得. 因此. 3. 如图，三棱锥中，为线段OA上靠近的三等分点，，点为MN的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接ON，应用向量加法、数乘的几何意义，以为基底表示出，即可得. 【详解】连接ON，由，则是的中点，又点为MN的中点， 所以， 所以. 故选：B 4. 算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A=“表示的四位数大于5500”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知基本样本总数为个，然后列出大于的数，利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每个珠子有两种情况：1和5，共有种情况，其中大于的有、、、共4种. 故选：B. 5. 第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】，得， ， ，等号当且仅当时成立，此时，满足定义域条件， 所以的最大值为3. 6. 已知圆，圆，M、N分别为圆和上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的方程求出两圆的圆心坐标和半径，由题意知当三点共线时取到最小值，如图，结合两点求距离公式计算即可. 【详解】由，得， 由，得， 由题意知，当三点共线时，取到最小值，如图， 又， 所以. 故选：A 7. 在平面内，，若则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系， 如图.设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，. 由得， 则， 又由，得，则，即①. 而，所以. 故选：D. 8. 在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，曲线C表示原点； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 同理，可在平面直角坐标系内作出曲线C的完整图形（如图），又曲线C上的点到原点距离的最大值为， 所以． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 口袋中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个白球3个黑球．从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，则（     ） A. B. 与互斥 C. D. 与不独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式、互斥事件与相互独立事件的判定，先计算各基础事件概率，再逐一验证选项即可. 【详解】设2个白球为，3个黑球为 不放回依次取2个球，共有： ，共有个基本事件， 事件A（两球同色）包含两白种、两黑种，共8种，故； 事件B（第一次取白球）共种，故； 事件C（第二次取白球）共种，故， 选项A：根据概率加法公式， 其中表示两球同色且第二次为白球，即两球均为白球，共2种，，代入得，A正确， 选项B：互斥事件不能同时发生，当两次均取白球时，B、C同时发生，故B与C不互斥，B错误， 选项C：表示两球不同色且第二次取白球，即第一次取黑球、第二次取白球，共种，故，C正确， 选项D：表示第一次取白球且两球同色，即两球均为白球，， 而，故A与B不独立，D正确. 10. 下列说法正确的是（   ） A. 点为圆外一点，则实数的取值范围为 B. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 C. 当点到直线的距离最大时，m的值为 D. 设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，保证为圆，同时点为圆外一点建立不等式即可；对于B，圆上恰有两点到点的距离为1， 所以圆与圆相交， 再根据两圆相交的条件求解即可；对于C，直线过定点，点到直线的距离最大时，直线应与垂直，此时m的值为；对于D，当时，或直线与曲线相切时满足恰有一个公共点，同时直线与曲线相切时满足恰有一个公共点，此时，故D错误. 【详解】对于A，，需满足. 点在圆外，满足， 解得，故A错误. 对于B，圆上恰有两点到点的距离为1， 所以即圆与圆相交， 两圆圆心距为， 两圆相交应满足，解得.故B正确. 对于C，由题意可得直线过定点， 点到直线的距离最大时，直线应与垂直， ，此时直线的斜率为，故C正确. 对于D，直线与曲线恰有一个公共点,其图形如下所示. 当时，或直线与曲线相切时满足恰有一个公共点， 当直线与曲线相切时也满足恰有一个公共点，此时，故D错误. 11. 过直线上一点作圆的两条切线．切点分别为，若四边形周长的最小值是6，则（ ） A. B. 的最大度数为 C. 直线必过点 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的切线的性质可得四边形的周长，再求的最小值，结合条件列方程求，判断A，求的余弦及其最小值，结合余弦函数性质求的最大度数，判断B，求过点的圆的方程，再求其与圆的公共弦方程，确定其所过定点坐标，判断C，利用等面积法可得，由此可求的最小值，判断D. 【详解】因为方程可化为，所以圆的圆心为，半径， 所以， 因为为圆的切线，切点分别为， 所以， 所以， 如图四边形的周长， 因为四边形周长的最小值是6，所以的最小值为， 所以点到直线的距离为， 所以，所以，A正确； ， 所以， 所以当取最小值时，取最小值为， 即， 又余弦函数在上单调递减，所以，B错误； 因为，所以点四点共圆，且线段为该圆的直径， 设，过点的圆的方程为， 化简可得， 因为圆与圆相交， 将圆与圆方程相减可得， 化简可得， 故直线的方程为， 又由可得，所以直线必过点，C正确； 因为的面积， 所以， 所以当取最小值时，取最小值为，D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解D选项的关键点是应用转化为再计算求解. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由的坐标求出，由已知数量积求出，代入夹角公式求解. 【详解】由已知得， 所以，， 又，所以. 13. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 14. 若存在实数使得，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用三角函数化简已知，转化为，利用两点间距离公式构造几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求的取值范围. 【详解】因为 ， 设，，，令， 则， 又易知，点在圆上，如图所示， 则，又，故的最大值为， 因为存在实数使得 所以 ，即 ， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键是构造两点间的距离公式，转化几何意义求最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名进行交流分享，求交流分享的学生成绩在区间的概率； （2）学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 【答案】（1） （2）甲获得最终胜利的可能性大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样可知，区间需抽取出名学生,从区间需抽取出名学生，再利用古典概型求交流分享的学生成绩在区间的概率即可； （2）根据甲至少得1分的概率是建立方程，解得，再利用甲两人谁获得最终胜利等价于甲胜2场或胜3场计算甲获胜的概率，同理求出乙获胜的概率，比较二者大小即可得到甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大. 【小问1详解】 由题可知，区间共有人, 区间共有人， 因为采用分层抽样的方法抽取， 所以从区间需抽取出名学生,从区间需抽取出名学生. 记从区间抽取的1人为，从[90,100]区间抽取的3人为. 从这4名学生中随机抽取2名，所有可能的抽取结果(基本事件)有： 共6种可能情况. 设事件为"交流分享的学生成绩在区间"，即抽取的2人中至少有1人来自区间. 满足条件的结果有，共3种. 所以，所求概率. 【小问2详解】 设甲在三个项目中获胜的事件分别为.由题意知，.各项目结果相互独立. “甲至少得1分”的对立事件是“甲得0分”(即甲三个项目全输)。 甲得0分的概率为， 已知甲至少得1分的概率是, 所以，解得. 设甲的总得分为,乙的总得分为,因为共3个项目，没有平局，且每个项目胜方得1分，负方得0分，所以。甲获得最终胜利等价于. 甲得3分(全胜)的概率：， 甲得2分(输一场赢两场)的概率，分三种情况： 输第1场，赢第2，3场： 输第2场，赢第1，3场： 输第3场，赢第1，2场： 所以甲获胜的总概率：， 所以乙获胜的总概率为， 因为，所以甲获得最终胜利的可能性大. 16. 已知两直线，． （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 【答案】（1） （2）①相离；② 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）①根据圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断位置关系；②求出点的对称点，利用两点之间线段最短可求答案. 【小问1详解】 联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 【小问2详解】 ①以、为直径的圆的方程为， 整理得，故该圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系为相离. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，为的中点．四边形中，，，，，若平面与平面所成的角的余弦值为． （1）求线段的长； （2）设为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，根据题意得到平面和平面的法向量，再根据夹角公式进行求解即可； （2）根据题意得到，从而判断点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的，进而求解轨迹长度即可. 【小问1详解】 在四棱锥中，底面，，即得：直线，，两两垂直， 以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 过点作于点，由，，得， 设，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 依题意，得， 整理得，解得（舍去），所以线段的长为． 【小问2详解】 显然平面，而平面，则，又， 所以，解得， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的， 所以点的轨迹的长度为． 18. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点与圆相切的直线方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】（1）和. （2）或 （3）是定值，定值为． 【解析】 【分析】（1）通过点到直线的距离公式分类讨论. （2）通过弦长计算出圆心到直线的距离后，利用点到直线距离公式求解. （3）设出直线方程，通过联立直线与圆方程，利用韦达定理建立起交点坐标间的定量关系，最后表示出两直线斜率之和. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为2， 若过点垂直于轴的直线，恰与圆相切，符合题意； 设另一条直线的斜率为，其方程为，即， 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 则该切线方程为. 综上，过点与圆相切的直线方程为和. 【小问2详解】 因为截得的弦长为且半径，所以圆心到直线的距离为， 由，解得或， 即所求直线为或. 【小问3详解】 由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且，解得， 设直线QA，QB的斜率分别为， ， 所以是定值，定值为． 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 【答案】（1）由折叠的不变性，折叠前，故折叠后有， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，且平面，得平面， 又平面，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． 综上，三组对棱两两垂直，故四面体为对垂四面体． （2） （3）时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）利用折叠不变性与线面垂直判定定理，证明三组对棱两两垂直，满足对垂四面体定义完成证明； （2）以D为原点建空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角向量公式计算正弦值； （3）根据比例参数λ写出P、Q坐标，求两平面法向量得到锐二面角余弦表达式，再用基本不等式求最大值与对应λ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两互相垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由，得，由，得， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 平面的一个法向量为， 锐二面角满足， 分子分母同除以，得， 由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号， 因此，，即时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2025级强实班高二上期第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知事件A和B互斥，满足，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，三棱锥中，为线段OA上靠近的三等分点，，点为MN的中点，记，则（ ） A. B. C. D. 4. 算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A=“表示的四位数大于5500”，则（ ） A. B. C. D. 5. 第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6. 已知圆，圆，M、N分别为圆和上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面内，，若则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 口袋中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个白球3个黑球．从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，则（     ） A. B. 与互斥 C. D. 与不独立 10. 下列说法正确的是（   ） A. 点为圆外一点，则实数的取值范围为 B. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 C. 当点到直线的距离最大时，m的值为 D. 设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 11. 过直线上一点作圆的两条切线．切点分别为，若四边形周长的最小值是6，则（ ） A. B. 的最大度数为 C. 直线必过点 D. 的最小值为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________. 13. 已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 14. 若存在实数使得，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名进行交流分享，求交流分享的学生成绩在区间的概率； （2）学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 16. 已知两直线，． （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，为的中点．四边形中，，，，，若平面与平面所成的角的余弦值为． （1）求线段的长； （2）设为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度． 18. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点与圆相切的直线方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 19. 定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． （1）求证：四面体为对垂四面体； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $