四川省射洪中学校2026-2027学年高二上学期第一次综合素质测评数学试题

( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效 ) 射洪中学高2025级高二上期第一次综合素质测评 ( 1 6 . （本小题满分1 5 分） ) ( 15. （本小题满分1 3 分） ) 数学答题卡 ( 姓名： 班级： 座 位 号： 准考证号： ) 缺考标记，考生禁填，由监考老师填涂。  ( 1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写清楚并认真核准条形码上的姓名，准考证号、座位号及类型名称。 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题区域内作答，超过答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。 ) ( 填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 ) 选择题 1  5  9  2  6  10  3  7  11  4  8  填空题（每小题5分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效 ) ( 此区域为切割区域，请勿答题 ) ( （1 2 ） （1 3 ） （1 4 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效 ) ( 18 . （本小题满分1 7 分） ) ( 19 . （本小题满分1 7 分） ) ( 17 . （本小题满分1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超过黑色矩形边框限定区域的答题无效 ) ( 高二数学 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高2025级高二上期第一次综合素质测评 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知点，点，则向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，若，则x的值为（   ） A．7 B．-8 C．6 D．-5 3．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是（    ） A．都是黑球 B．恰好有1个黑球 C．恰好有1个红球 D．至少有2个红球 4．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 5．在棱长为的正方体中，为中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（    ） A．B，C互为对立事件 B．若，则 C．若A，B互斥，则 D．若A，B相互独立，则 7．在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．若，则 B．向量是的一个单位向量 C．若 ，则在上的投影向量为 D．若为钝角，则 8．已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ）B C B1 A1 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 10．在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 11．在直四棱柱中，所有棱长均2，，分别为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（   ） A．平面∥平面 B．若∥平面，则的最小值为 C．当点在线段上运动时，四面体的体积为定值 D．若且，则的最小值为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，则______． 13.一个布袋中装有2个黄球和3个蓝球，这5个球除颜色外完全相同，先从布袋中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，两次摸出的球颜色相同的概率是___________． 14.PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于6”，“至少有一颗骰子的点数为4” (1)求事件，的概率； (2)求事件，的概率． ▲ 16．（15分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. ▲ 17．（15分）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． ▲ 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)设为棱上的点（不与重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． ▲ 19．（17分）在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． (1)若平面平面． （i）求证：； （ii）已知F在线段BC上，且，求点到平面PEF的距离；(2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． ▲ 高二数学 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学高 2025 级高二上期第一次综合素质测评 数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 13 14 答案 D A B B A C C D ABC AB ACD (4,1,-2) 11.【详解】因为M、P分别为的中点，所以且， 因为，所以，四边形ABPM为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为分别为的中点，所以，又，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为,平面AMN，所以平面∥平面，A正确； 由A选项知，若∥平面，则点Q的轨迹为线段MN，在△AMN中，当时，AQ取得最小值即为点A到直线MN的距离. 因为 且，所以△ABD为等边三角形，取AB的中点为点E， 则有，所以在直四棱柱中， 以D为坐标原点，以DE、DC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， , ,, 点A到直线MN的距离为，B错误； 因为，平面，平面，所以平面， 当点在线段上运动时点Q到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，C正确； ， ， 因为，所以，代入上式可得 ， 此式在平面直角坐标系中表示点到的距离之和， 其距离之和的最小值为点与点之间的距离，D正确. 故选：ACD 14.【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，则平面，直线与平面所成角为. 作于点H，连接，因平面，则， 又平面，则平面， 又平面，则. 于是有，， 即(*). 因由对称性知，，代入（*）得， . 解法二：如图所示，把放在正方体中，的夹角均为. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则，所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以，所以. 设直线与平面所成角为，所以，所以 15.【详解】（1），样本点总数 ， ， 所以 ， （2），所以 所以. 16.【详解】（1），． ． 点为的中点， ． （2）， ， ， ． 17【详解】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． （2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 18.【答案】(1)证明：因为平面，平面，平面， 所以，，又因为，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，，，， 所以，，， 因为，. 所以， 又，平面，平面. 所以平面. （2）解：设平面的法向量，由（1）可知， 设平面的法向量 因为，. 所以，即，不妨设，得. 设平面APC与平面PCD的夹角为，则， （3）解：设，即， 由于 所以. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，即， 19.【详解】(1)（i）因为，， 在中，由余弦定理，，, 所以，即，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面． 因为平面，所以； （ii）因为，平面，平面， 所以． 因为平分，所以， 所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1：以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，， 设平面（即）的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设到平面的距离是，则， 所以点到平面的距离是； 法2：由，得， 所以的面积为． 由（1）知平面，平面，所以． 又,平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即； 在中，由余弦定理得，所以， 设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点到平面的距离是； （2）以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．因为，设， 因为，，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，所以，令，则， 又因为，， 设平面的一个法向量为， 所以，所以，得， 所以，令，则， 所以，设， 因为，， 所以当，即时，取得最小值，所以， 设锐二面角的大小为，因为，则， 所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $