2.2 平方根与立方根 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级上册数学 2.2平方根与立方根 第一课时：算数平方根 温故而知新 （1）什么是平方运算? 一个数乘与它自身的过程 (2)你能写出平方运算的数学表示吗? (3) 0的平方是多少？ 0的平方还是0 思考与交流 算术平方根的概念 ※问题1 仔细观察下图，回答下列问题： S1 (1)如图，在图中的四个三角形中，若以每个三角形斜边长为正方形边长，那么对应正方形的面积分别为多少？ (2)认真观察以上四个式子，可以发现，他们最终都是 的形式，且x,y,z,w都是 正数 得出结论：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x²=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根，记作 ，读作 “根号 a”。 (3)以上x,y,z,w如何表示 x= y= z= w= 小试牛刀 1.下列各数没有平方根的是（ ） A.0.81 B.0 C.-36 D. C 2.x²=27，那么x= 发现：只有非负数才具有算术平方根，且算术平方根一定是非负数 思考与交流 算术平方根的运算性质 完成表格，通过表格所呈现的规律，我们一起探索其中的等式是否成立。 a的值 a²（是否有意义） 结果与a的关系 5 0 −5 有意义（25） 有意义（25） 等于a 等于-a 等于a =30，即 =30，那么 =a是否成立 发现： 算术平方根的运算性质 思考与交流 a不能为负数，且由算术平方根的定义可知，此处a只能大于或等于0 （1） 中的 能为负数吗？ 结合算术平方根的性质.共同交流探讨 与 a 的关系 发现： ，（ ）²=a 典例 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 + + - + 解： 第二课时：平方根 上节课我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数 x 的平方等于 a，即 x2 = a. 则 x叫 a 的算术平方根，记作 x = ，而且 a 也是 非负数. 正数 22 = 4，则 2 叫作 4 的算术平方根，4 叫 2 的平方. 思考：若 (－2)2 = 4，则 －2 叫 4 的什么呢？ 温故而知新 请大家思考下面两个问题. （1）3 的平方是 9，还有其他数的平方也是 9 吗？ 32 = 9 (－3)2 = 9 想一想： 3和－3有什么特征？ 互为相反数，3 和 －3 一起叫作 ±3. 思考与交流 （2）平方等于 的数有几个？ 平方等于 0.64 的数呢？ 思考与交流 x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 思考：上述表格得到的 x 值有什么特点? 都有两个值，且这两个值互为相反数 问题：填写下表： 探究点一：平方根的概念 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的平方根，也叫作二次方根. 9 的平方根： 的平方根： 小结： 一个正数有两个平方根 有两个平方根，且互为相反数 思考与交流 请大家思考下面的问题： （2）0 有几个平方根？ 0 只有一个平方根，是 0 本身； 思考与交流 思考与交流 负数没有平方根 性质1：正数有两个平方根，它们互为相反数； 性质2：0 的平方根是 0； 性质3：负数没有平方根. 概念 追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表示呢? 探究点二：平方根的性质 a 的平方根可记为 求一个数 a 的平方根的运算，叫作开平方，a 叫作被开方数。 读作：正、负根号 a (正的平方根) 探究点二：平方根的性质 （a是非负数） 互为相反数 平方根号 被开方数 (a≥0) (a≥0) 根指数为 2，省略不写 2 x2 = a 开平方 平方运算 平方与开平方互为逆运算. 根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根 总结 探究点二：平方根的性质 +1 －1 +2 －2 +3 －3 1 4 9 +1 －1 +2 －2 +3 －3 平方 开平方 平方和开平方互为逆运算 求下列各数的平方根： 例 3 （1）64；（2） ；（3）0.0004；（4）(－25)2；（5）11 49 121 解：（1）因为 ，所以 64 的平方根是 ， 即 ； （2）因为 ，所以 的平方根是 ， 即 ； （3）因为 ，所以 0.0004 的平方根是±0.02，即 ； （4）因为 ，所以(－25)2 的平方根是±25，即 （5）11 的平方根是 . 【尝试·思考】(1) 平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？ 探究点二：平方根的性质 类别 平方根 算术平方根 区别 定义不同 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根） 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法不同 非负数a的平方根表示为± 非负数a的算术平方根表示为 结果不同 正数的平方根是一正一负， 互为相反数 正数的算术平方根一定是正数 联系 具有包含关系 平方根包含了算术平方根，一个正数的算术平方根是它的平方根中正的那个 存在条件相同 被开方数为非负数，0的平方根与算数平方根都是0 求下列各式的值： 例 4 （1） ；（2） ；（3） 。 解：（1） ； （2） ； （3） 。 1. 求下列各数的平方根： 随堂练习 【教材P34 随堂练习 第1题】 解：1.44 的平方根是±1.2，0 的平方根是 0，8 的平方根是 , 的平方根是 ，441 的平方根是±21，196 的平方根是±14，10－4 的平方根是 ±10－2. （1）25 的平方根是 ； （2） = ____； （3） = ____. （4） =_____。 2. 填空： 【教材P34 随堂练习 第2题】 【教材P34 随堂练习 第3题】 3. 当 a = 5，b = 12 时，求 的值. 4. 已知 m－4 没有平方根，写一个满足条件的 m 的值:_______。 1 B 分析： 因为 m－1 和 3－2m 是某正数的两个不同的平方根， 则有 m－1＋3－2m＝0，即 －m＋2＝0， 解得 m＝2. 方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数 探究点二：平方根的性质 课堂小结 平方根的性质 平方根的表示方法 正数 a 有两个平方根：“ ”（a的算术平方根）和“ ”. 它们互为相反数，合起来可以记作“± ”， 读作“正、负根号 a”. 一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，是 0 本身；负数没有平方根. 第三课时：立方根 如果某种植物细胞可以近似看作是棱长为1的正方体，那么当它的体积增大1倍时，这个正方体的棱长是多少？ 1 1 1 x³=2 x=？ 解：棱长为1的正方体体积是1，体积增大一倍体积为2. 设体积为2的正方体的棱长为x， 那么x3 = 2 情境导入 立方根的概念和性质 视频导入 不同阶的魔方体积不同，如视频中魔方阶数越高体积越大，若已知魔方体积为a,如何求边长？ 探究新知 观察探究 二阶魔方由几个小立方体构成_______ 8个 三阶魔方由几个小立方体构成_______ 四阶魔方由几个小立方体构成_______ 27个 64个 如果一个魔方由27个小立方体构成,它应该是几阶魔方? 解:设这个魔方为x阶,则: x 3 =27, ∵ 33 =27, ∴ x =3. 即这个魔方为 3 阶魔方. 什么数的立方等于-27? 想一想 因为3的立方等于27,那么3就叫做27的立方根. 因为-3的立方等于-27,那么-3就叫做-27的立方根. （-3）3=-27 立方根的定义 1.如何表示一个数的立方根? 一个数a的立方根可以表示为: 根指数 被开方数 读作:三次根号 a 其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略. 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3 = a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根．记作　 　. 数a 1 8 0 -64 a的立方根 ( )3=1 ( )3=8 ( )3= ( )3=0 ( )3=-64 1 2 填一填 64 27 0 -4 0 -4 1 2 4 3 4 3 解： 64 27 小结 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零. 立方根是它本身的数有1, -1, 0； 平方根是它本身的数只有0. (1)正数有几个立方根？(2)0有几个立方根？ (3)负数有几个立方根？ 议一议 类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫作“开立方”. 提示：“开立方”与“立方”互为逆运算. 立方 开立方 +3 -3 +5 -5 27 -27 125 -125 求下列各数的立方根. (1) -27；　 (2) ； (3) 0.216； (4) -5. 例 （3）因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6， 即 . （2）∵ ，∴ 的立方根是 ， （4）-5的立方根是 . 即 . 解：（1）∵(-3)3=-27，∴-27的立方根是-3， 即 . 你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系吗? a 3 -a 3 互为相反数的数的立方根也互为相反数 因为 = , = 所以 因为 = , = 所以 立方根的有关计算 -2 -2 = -3 -3 = 规律：对于任何数a都有 规律：对于任何数a都有 2 -2 -3 4 0 8 -8 27 -27 0 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 平方根与立方根的区别和联系 可以为任何数 非负数 性质 定义 正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数； 0的立方根是0. 立方根的有关计算 立方根 课堂小结 第四课时：估算 某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米 1．公园的宽大约是多少？它有1000米吗？ 2．如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ 3．该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米²，你能估计它的半径吗？（误差小于1米） 情境导入 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2. (1)公园的宽大约是多少？它有1 000m吗？ 1000 2000 S=400000 2000×1000=2000000 >400000 公园的宽没有1 000m. 用估算确定无理数的大小 解: 探究新知 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2. (2)如果要求结果精确到10m，它的宽大约是多少？ x 2x S=400000 x×2x=400000 2x2=400000 x2=200000 x= 大约为450m. (3)该公园中心有一个圆形花园，它的面积是800m2，你能估计它的半径吗？(结果精确到1m) S=800 r πr2=800 r2≈254.8 解: 大约为16m. r= 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2. 1.怎样估算无理数 (误差小于0.1)？ 2.怎样估算无理数 (误差小于1)？ 3.估算无理数 (精确到个位数）？ 1.估算无理数大小的方法： （1）通过利用乘方与开方互为逆运算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围； （2）根据问题中误差允许的范围，在真值的范围内取出近似值. 2.“精确到”与“误差小于”意义不同 如精确到1m是四舍五入到个位，答案唯一； 误差小于1m，答案在真值左右1m都符合题意，答案不唯一. 在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位. 试比较 与0.5 的大小. 提示：比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值. 用估算比较两个数的大小 ∵ ∴ ∴ 解: 随堂练习 1.通过估算，比较下面各组数的大小： （2） ∵ ， ， ∴ ，∴ . 解：∵ ， ∴要比较 和 的大小， 只需比较 和 的大小. 2.估算 的大小吗？(结果精确到1） 课堂小结 感谢聆听 $