2.2平方根与立方根（课时4） 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦平方根与立方根的无理数估算及实数比较，通过知识回顾（平方根、立方根定义及计算）衔接探究新知，以环保主题公园面积等实际问题引入，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于用数学眼光观察现实情境（如公园宽、圆形花圃半径估算），通过“夹逼法”培养推理意识，以数学语言表达估算过程形成模型意识。采用“问题情境—探究—归纳—应用”教学方法，小结明确技巧，助力学生系统掌握，教师可提升教学效率。

2.2平方根与立方根 （课时4） 第二章 实数 北师大版(2024) 1 素养目标 1.会估算一个无理数的大致范围，能通过估算检验计算结果的合理性，形成估算意识； 2.掌握估算方法，会比较两个实数的大小，并能利用估算解决一些简单的问题. 2 知识回顾 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数x就叫作 a 的平方根或二次方根. a为非负数 立方根 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫作a的立方根(也叫作三次方根). a可取任何数 3 -28的立方根 25的算术平方根 17的平方根 8的立方根 知识回顾 求下列各式的值． 5 2 4 探究新知 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2. (1)公园的宽大约是多少？它有1000m吗？ 400000m2 因此，公园的宽没有1000米． 2x · x =400000 x2 = 200000<10002 解：因为荒地的长是宽的2倍，假设宽是xm，则长是2xm 5 探究新知 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2. (2)如果要求误差小于10 m，它的宽大约是多少？ 解：设公园的宽大约是 xm，那么它的长为 2xm. 由题意，得 2x·x = 400000. 即 x2 = 200000. 解得 x = ≈ 450. 因此，公园的宽大约是450m． 分析：求无理数 的大致取值． 400000m2 6 探究新知 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2. (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计它的半径吗？(结果精确到1 m) 分析：求无理数的大致取值． 400000m2 解：设圆形花圃的半径是 r m. 则有 S = πr2 = 800， 解得 r =≈ ≈16. 所以花圃的半径大约是16 m. 7 探究新知 下面的计算结果正确吗？你是怎么判断的？ 解：因为 ，0.0662=0.004356，所以 不正确. 因为 ，963=884736，所以 不正确. 因为 ，60.42=3648.16，所以 不正确. 8 探究新知 你能估算 的大小吗？(结果精确到1). 解: 9 归纳总结 估算法确定无理数的大小 ①先平方运算或立方运算； ②采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分的取值范围，再根据要求确定小数部分. 10 探究新知 宽与长之比为 的长方形称为“黄金矩形”. 你能比较 与 的大小吗？ 解：∵22＜2＜32， ∴2＜＜3， ∴1＜-1＜2， ∴＞ . 分母相同，比较分子就可以了. 11 归纳总结 用估算法比较两个数的大小，若其中有一个数是无理数，一般先进行分析，估算出无理数的取值范围，再进行比较.常用结论如下： a > b≥0 a > b a2 > b2 若a，b都为正数： a > b 或 a3 > b3 若a，b都为负数： 0 > a > b b2>a2 12 例题练习 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗？ 【分析】梯子的长度、梯子底端离墙的距离和梯子顶端能达到的高度构成直角三角形，利用勾股定理求出梯子顶端能达到的高度即可． 13 例题练习 6m 6m 所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6 m高的墙头. 解：设梯子稳定摆放时的高度为 x m， 此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ， 根据勾股定理，有 因为5.62=31.36<32，所以>5.6． 即 x2 = 32，x = 14 探究新知 用计算器开方 对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数 = 对于开立方运算，按键顺序为： 被开方数 SHIFT = 用计算器计算：(1) 　； (2)　 　　 .　 (2) -1285， SHIFT 约等于-10.8718 . 解：(1) 5.89， 约等于2.4269 ；　 15 探究新知 任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？ 计算的结果越来越接近1. 改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律？ 仍有类似规律 16 C 17 C 18 B 19 D 20 A 21 D 22 23 15 24 25 26 小结 估算 估算法确定无理数的大小 用估算法比较两个数的大小 27 谢谢同学们的聆听 28 练习1 估计 的值应在( ) A.0和1之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间 解析： EMBED Equation.DSMT4 ， ，而 ， EMBED Equation.DSMT4 .故选C. 练习2 估计 的值在( ) A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 解析：∵ ，即 ， ∴ ，故选C. 练习3 估计 的值在( ) A.1到2之间 B.2到3之间 C.3到4之间 D.无法判断 解析： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，故选：B. 练习4 已知 若n为整数且 则n的值为( ) A.43 B.44 C.45 D.46 解析： EMBED Equation.DSMT4 , , 又 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 , 即 . EMBED Equation.DSMT4 ,且n为整数, EMBED Equation.DSMT4 . 练习5 估计 的值( ) A.在-2和-1之间 B.在-1和0之间 C.在0和1之间 D.在1和2之间 解析：∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，故选：A. 练习6 下列大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 解析： ， ， ， ，故选项A错误，不符合题意； ， ， ， ， ，故选项B错误，不符合题意； ， ， ， ， ，故选项C错误，不符合题意； ， ， ， ，故选项D正确，符合题意.故选D. 练习7 已知 （其中 为相邻的两个正整数），则 的值为______________. 解析： EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,即 , 又 EMBED Equation.DSMT4 , 为相邻的两个正整数, EMBED Equation.DSMT4 , , EMBED Equation.DSMT4 , 故答案为：15. 练习8 小明制作了一张面积为 的正方形贺卡想寄给朋友.现有一个长方形信封如图所示,长、宽之比为 ,面积为 . (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断. (2)面积为 的正方形贺卡的边长是 . EMBED Equation.DSMT4 ,所以 , EMBED Equation.DSMT4 ,即信封的宽大于正方形贺卡的边长, 小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 解：(1) 信封的长、宽之比为 , 设长方形信封的长为 ,宽为 , 由题意得 , EMBED Equation.DSMT4 （负值舍去）, 长方形信封的长为 ,宽为 ； $