精品解析：江苏省苏州市常熟市2026-2027学年高一上学期阶段性抽测一数学试卷

高一阶段性抽测一 数学 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列元素所组成的总体，能表示集合的是（ ） A. 高一年级打篮球好的学生 B. 高一年级比较难的学科 C. 高一年级所有男生 D. 高一年级写字好的学生 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合的概念及集合元素的特性判断作答. 【详解】对于A， 高一年级打篮球好的学生标准不明确，对象不确定，高一年级打篮球好的学生不能形成集合，A不能表示集合； 对于B，高一年级比较难的学科，对某些人是难，对另外一些人不难， 因此高一年级比较难的学科标准不明确，对象不确定，高一年级比较难的学科不能形成集合，B不能表示集合； 对于C，高一年级所有男生，对象明确可知，是确定的，能形成集合，C能表示集合； 对于D，高一年级写字好的学生，对象不确定，高一年级写字好的学生不能形成集合，D不能表示集合； 故选：C 2. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：D. 4. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：共4个元素， 所以真子集个数为. 5. 若集合中的三个元素互不相同，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的三要素即可求解. 【详解】由题意得：且. 6. 如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法及不等式的性质逐一分析即可判断. 【详解】对于A：因为，所以，故正确； 取， 对于B：，故错误； 对于C：，故错误； 对于D：， 故错误. 故选：A. 7. 三角形有两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】当三角形两边上的高相等时，由三角形面积公式可得这两边也相等，所以这个三角形为等腰三角形， 当三角形为等腰三角形时，同样由三角形的面积公式可知，有两腰上的高相等， 所以三角形有两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的充要条件， 故选：C 8. 某班全体学生中，参加数学兴趣小组的有28人，参加物理兴趣小组的有24人，两个小组都参加的有10人，两个小组都不参加的有8人，则该班总人数为（ ） A. 42 B. 50 C. 58 D. 62 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算和元素的互异性进行计算，画出Venn图，借助图形直观理解． 【详解】集合A表示参加数学兴趣小组的学生，集合B表示参加物理兴趣小组的学生； 由条件可知，，且， 则两组都参加的人数为： ； 故该班总人数为人． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若集合，，且，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】由，可得，又中最多有一个元素， 所以当时，可得， 当时，可得， 当时，可得， 故的可能取值为. 10. 若关于的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，， B. 二次函数的图象与轴交点的坐标为和 C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，，解方程即可判断选项A；由展开得，先利用韦达定理求出代入可判断选项B；数形结合由图象与图象交点横坐标可判断选项C；有实数根，，且，根据即可判断选项D. 【详解】对于选项A：当时，，解得：，，故选项A正确； 对于选项B：由展开得：，根据韦达定理可得， 所以 ，故二次函数的图象与x轴交点的坐标为和，故选项B正确， 对于选项C：图象与图象交点横坐标即为和， 但不满足，故选项C不正确； 对于选项D：若关于x的一元二次方程有实数根，， 即，则，解得：，故选项D正确； 11. 已知，为正实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为4 C. 的最小值为5 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式的应用，利用已知条件计算和与积的最值，通过“１”的转化使用，计算分式的最值． 【详解】已知，为正实数，由基本不等式可知，， 则由可得，； 令，则，则，解得， 可得，故， 故的最大值为4，当且仅当时，等号成立，故A正确； 由基本不等式可知， 则由可得，； 令，则，即，解得； 综上可得，故的最小值为4， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 由可得； 故； 当且仅当，即，时，等号成立，故C错误； 因为， 由可得，当且仅当时，等号成立，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为_________．（提示：结果用集合表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的求解方法求解即可. 【详解】 即 解得 所以不等式的解集为. 13. 当时，的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件对进行变形，再利用基本不等式求解． 【详解】，， ，当且仅当，即时等号成立， 的最大值为． 故答案为：． 14. 不等式对恒成立，则实数的取值范围为_______. 【答案】； 【解析】 【分析】由题意可得，不等式成立；当，结合二次函数的性质可得，进而可得结果. 【详解】① 当即时，不等式显然成立； ② 当，欲使不等式对恒成立，则需满足 ，解之；综合①②，则实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），． （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用集合的基本运算即可求解； （2）利用集合的子集运算即可求解. 【小问1详解】 由集合，得， 当时，， 所以， ； 【小问2详解】 由题意得：或， 因为，所以或， 解得或， 综上：实数的取值范围为或． 16. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 【答案】（1） （2） 设窗户面积为,地板面积为，增加面积为， ∵，且，∴， 即，所以公寓采光效果变好了. 【解析】 【分析】（1）根据题意列不等式即可求解， （2）利用作差法即可求解. 【小问1详解】 设窗户面积为，则地板面积为. 由题意知且，解得. 所以窗户面积至少为. 【小问2详解】 略 17. 关于的一元二次方程有两个实根，分别求满足条件的实数的取值范围： （1）两根一正一负； （2）两根均为负根； （3）两根均大于1． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设方程两根为，，结合题意得，再解不等式即可求得答案； （2）结合题意得，再解不等式组即可得答案； （3）结合题意得，再解不等式组即可得答案. 【小问1详解】 解：设方程两根为，， 由韦达定理：，， ． 若两根一正一负，则，即，解得，即， 所以的取值范围是． 【小问2详解】 解：若两根均为负根，则，即，解得，即， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 解：若两根均大于1，则，变形得， 即，解得，即， 所以的取值范围是． 18. 已知二次函数． （1）当时，求在上的最大值； （2）当时，在上的最大值为，求的值； （3）当，时，在上的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分析函数在时的增减性，可得出的最大值； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在时的增减性，结合可得出实数的值； （3）对的取值进行分类讨论，分析函数在时的增减性，根据可求得实数的值. 【小问1详解】 由，得，，， 由对称轴，开口向上，自变量取值范围， 当时，随着的增大而减小， 当时，随着的增大而增大， 当时，； 当时，， 故在上的最大值为. 【小问2详解】 当时，， 由对称轴，开口向上，自变量取值范围， ①当时，即当时，当时，随着的增大而增大， 此时当时，取最大值，即，解得，舍去； ②当时，即当时，当时，随着的增大而减小， 此时当时，取最大值，即，解得，舍去； ③当时，即当时， 当时，随着的增大而减小， 当时，随着的增大而增大， 所以当或时，取最大值， 当时，；当时，. 若，即当时，，解得，符合题意； 若，即当时，，解得，符合题意. 综上，或． 【小问3详解】 当，时，， 由对称轴，开口向上，自变量取值范围， ①当时，即当时， 当时，随着的增大而减小， 此时当时，取最小值， 即，解得或（舍去）； ②当时，即当时， 因为，当时，取最小值， 即，不符合题意； ③当时，因为，随着的增大而增大， 此时当时，取最小值，即，解得或（舍去）. 综上所述，. 19. 对于由正整数构成的集合，若中存在三个互异元素、、满足，则称为“平均集”． （1）已知集合，且，为“平均集”且元素个数至少为，试用列举法写出所有满足条件的； （2）若集合是“平均集”，且所有元素均为正整数，求整数的值； （3）已知正整数，证明：集合不是“平均集”． 【答案】（1）：、、、 （2） （3）假设集合是“平均集”， 则存在下标，使得． 两边同除以，得． 令，，则． 因为，，，与等式矛盾． 假设不成立，集合不是“平均集”． 【解析】 【分析】（1）根据“平均集”的定义可列举出集合； （2）根据“平均集”的定义分情况讨论：①；②；③.求出的值，再结合题中条件检验即可； （3）假设集合是“平均集”，根据“平均集”的定义可知存在下标，使得，等式两边同时除以，再推出矛盾，可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意，，，至少含个元素， 存在三个互异元素、、满足． 三元子集：，满足； 四元子集：，，均包含； 五元子集：，包含． 所有：，，，． 【小问2详解】 集合，元素为正整数且互不相等，为“平均集”， ①，化简得，则； ②，化简得，无整数解； ③，化简得，无整数解． 由元素为正整数：，得． 检验，，满足，符合条件. 故整数． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一阶段性抽测一 数学 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列元素所组成的总体，能表示集合的是（ ） A. 高一年级打篮球好的学生 B. 高一年级比较难的学科 C. 高一年级所有男生 D. 高一年级写字好的学生 2. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 5. 若集合中的三个元素互不相同，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A. B. C. D. 7. 三角形有两边上的高相等是这个三角形为等腰三角形的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 某班全体学生中，参加数学兴趣小组的有28人，参加物理兴趣小组的有24人，两个小组都参加的有10人，两个小组都不参加的有8人，则该班总人数为（ ） A. 42 B. 50 C. 58 D. 62 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若集合，，且，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的一元二次方程有实数根，，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，， B. 二次函数的图象与轴交点的坐标为和 C. 当时， D. 11. 已知，为正实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为4 C. 的最小值为5 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为_________．（提示：结果用集合表示） 13. 当时，的最大值是__________． 14. 不等式对恒成立，则实数的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 16. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 17. 关于的一元二次方程有两个实根，分别求满足条件的实数的取值范围： （1）两根一正一负； （2）两根均为负根； （3）两根均大于1． 18. 已知二次函数． （1）当时，求在上的最大值； （2）当时，在上的最大值为，求的值； （3）当，时，在上的最小值为，求的值． 19. 对于由正整数构成的集合，若中存在三个互异元素、、满足，则称为“平均集”． （1）已知集合，且，为“平均集”且元素个数至少为，试用列举法写出所有满足条件的； （2）若集合是“平均集”，且所有元素均为正整数，求整数的值； （3）已知正整数，证明：集合不是“平均集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $