精品解析：江苏省常熟中学2025-2026学年高一上学期12月阶段性学业水平调研数学试题

2025~2026学年第一学期高一年级十二月阶段性学业水平调研 数学试题 2025.12 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 与终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将表示为，即可得答案. 【详解】因为,, 故与终边相同的最小正角是， 故选：C 2. 在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解. 【详解】因为在同一坐标系中， 所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象， 由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B， 故选：C. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的单调性与零点存在性定理判断即可. 【详解】因为在上都单调递增，所以在上单调递增， 又，，即， 故的零点所在区间为. 故选：C 4. 若，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由指数式与对数式的关系可得，进而由换底公式可得的值，由对数的运算性质可得c的值，计算可得答案． 【详解】根据题意，则， 则有， 则，故； 故选：B． 【点睛】本题考查指对数互化以及对数换底公式的运用，主要考查学生对于对数计算的运用，难度较易.对数换底公式：且且. 5. 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 6. 如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法： ①浮萍每月的增长率为1； ②第5个月时，浮萍面积就会超过； ③浮萍每月增加的面积都相等； ④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的性质与对数运算，结合图像逐一判断即可. 【详解】因为图像过，所以由，所以，故原题中函数关系为 对于①：，所以每个月的增长率为1，故①正确； 对于②：当时，，故②正确； 对于③：第二个月比第一个月增加 第三个月比第二个月增加，故③错误； 对于④：由题，所以，所以，故④正确； 故选：C 7. 已知函数为偶函数，若，则的值为 （ ） A. B. C. 2019 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，利用定义法证明为奇函数，则，即可求解. 【详解】由，得， 设，易知函数的定义域为R， 则 ， 所以，即为奇函数. 所以，即， 所以，又， 所以. 故选：B 8. 已知a，，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据运算，得到，再由函数的图象与轴恰有两个公共点，转化为函数的图象恰有两个公共点，利用数形结合法求解. 【详解】因为， 由， 可得， 即， 因为，所以，解得， 所以当时，， 所以当时，. 即， 因为函数的图象与轴恰有两个公共点， 即函数的图象恰有两个公共点， 在同一坐标系中，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：， 则实数的取值范围是 故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 第四象限角不一定是负角 B. 是第三象限角 C. 若角为锐角，则角为钝角 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据象限角的定义即可判断A项；找到与终边相同的角即可判断B项；利用举反例可判断C项错误；利用扇形弧长与面积公式可判断D项. 【详解】对于A，因为第四象限角为，当时，均为正角，故A正确； 对于B，，即与终边相同，为第二象限角，故B错误； 对于C，若取为锐角，但也是锐角，故C错误； 对于D，设扇形半径为，依题意，，解得， 则扇形面积为，故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数恒有意义，则实数的取值范围是 D. 函数（且）在区间上单调递增，则实数取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域求法即可判断A；根据复合函数的单调性即可求解B，由对数真数大于零及一元二次不等式恒成立即可判断C，根据对数函数的单调性，结合复合函数的单调性即可求解D. 【详解】对于A，因为的定义域为， 则，令，则， 因此，解得， 所以的定义域为，故A错误； 对于B, 令解得， 故函数的定义域为， 又，故单调递减区间为，B正确， 对于C，若对数恒有意义，则恒成立， 当即时，不等式，符合要求； 当即时，因为恒成立， 则满足，解得， 综上，实数k的取值范围是，故C正确； 对于D, 函数（且）在区间上单调递增， 则，解得，故D错误， 故选：BC 11. 函数过定点，若，则下列结论正确的有（ ） A. 定点的坐标为 B. C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式、重要不等式、配方法逐一判断即可. 【详解】A：因为， 所以定点的坐标为，因此本选项结论不正确； B：因为， 所以， 因此本选项结论正确； C：因为， 所以， 即，当且仅当时取等号， 因此当时，的最小值为，所以本选项结论正确； D： ， 因为，当且仅当时取等号， 所以有，当且仅当时取等号， 又，所以， ， 因为， 所以当时，即当时， 的最小值为，因此本选项结论不正确， 故选：BC 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. =________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数和对数的运算法则化简即可. 【详解】 . 故答案为： 13. 函数与的图象关于_____________对称；若函数是函数的反函数，则_________________. 【答案】 ①. 原点 ②. 【解析】 【分析】根据点的对称得出函数图象的对称关系；根据反函数的定义求出，再求函数值即可. 【详解】在函数图象上任取一点， 其关于原点对称的点为， 因为，故点在函数图象上， 所以函数与的图象关于原点对称； 因为的反函数为，所以. 故答案为：原点；. 14. 设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】将已知等式变为，构造函数，结合其单调性推出，即得，由此可化简求值，即得答案. 【详解】由题意知，得， 即， 设，则在上单调递增， 则由可得， 而实数是关于的方程的解，即， 故， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能够变形得到，从而结合的单调性推出，即，即可求解. 三、解答题 15. （1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合. 【答案】（1）①，②，③； （2） 【解析】 【分析】（1）（2）由终边相同角的概念即可求解. 【详解】（1）由终边相同角的概念可得： ①， ②， ③； （2）. 16. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求其并集即可； （2）求出集合，再由题意可得是的真子集，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 解不等式，即， 得，即， 解不等式，即，且， 得，即， 所以； 【小问2详解】 由， 由是的充分不必要条件，可得是B的真子集， 又集合的区间长度为，集合的区间长度为2， 所以，解得, 所以实数m的取值范围是. 17. 为解决大气污染等环境问题，某工厂产生的废气必须过滤后才能排放，在过滤过程中，废气中的污染物含量（单位：）与过滤时间（单位：）之间的函数关系式为：（为污染物的初始含量，为常数）.已知过滤3小时消除了10%的污染物，求： （1）后还剩百分之几的污染物； （2）若规定污染物减少到初始含量的30%才可以排放，求达到排放标准所需的时间（，结果保留整数） 【答案】（1）；（2）至少需过滤39小时. 【解析】 【分析】（1）由过滤3小时消除了10%的污染物得出的关系式，再代入，可得结论； （2）由已知式列不等式求解． 【详解】解：（1）根据题设，得，，． 当时，. （2）由（1），，得， 两边取以10为底的对数，，即，，得． ∴至少需过滤39小时. 18. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. （1）求函数解析式； （2）当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值； （3）已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值； （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性分类讨论进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可； （3）利用换元法，结合对数函数的单调性、一元二次方程根的分布性质进行求解即可. 【小问1详解】 当时，函数单调递增， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 由题意可得：， 此时区间为； 当时，此时，显然区间不成立， 综上所述：，即； 【小问2详解】 令，因为，所以， 所以， 所以，， ， 所以当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值； 【小问3详解】 令， 方程， 因为关于的方程的两个实根满足， 所以， 即 所以关于的方程的两个实根满足， 设， 要想关于的方程的两个实根满足， 只需， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）讨论的奇偶性； （2）当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围； （3）若是奇函数，对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为，定义域为，则， 若，即，所以， 所以，解得，即当，为偶函数； 若，即，所以， 所以，解得，即当时，为奇函数； 综上可得，当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当且时，为非奇非偶函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的定义域，分、两种情况讨论，分别求出相应的，即可得解； （2）参变分离可得，当时，能成立，令，结合复合函数的单调性说明的单调性，进而得到其值域，即可得解； （3）由（1）可得，即可判断函数的单调性，依题意可得，求出的范围，即可得到，再分和两种情况讨论，分别求出的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不等式可化为， 即当时，能成立. 令，令，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，时，，所以在上的值域是， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 对任意时，不等式恒成立， 则有， 由（1）可知，， 又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在定义域上单调递增， 当时，，所以，所以， 当时，所以，所以， 所以，所以恒成立， 当时，有，化简得，解得或， 当时，有，化简得，解得或， 综上：的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期高一年级十二月阶段性学业水平调研 数学试题 2025.12 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 与终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 2. 在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 4 5. 设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法： ①浮萍每月的增长率为1； ②第5个月时，浮萍面积就会超过； ③浮萍每月增加的面积都相等； ④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 7. 已知函数为偶函数，若，则的值为 （ ） A. B. C. 2019 D. 2025 8. 已知a，，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 第四象限角不一定是负角 B. 是第三象限角 C. 若角为锐角，则角为钝角 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数恒有意义，则实数的取值范围是 D. 函数（且）在区间上单调递增，则实数取值范围为 11. 函数过定点，若，则下列结论正确的有（ ） A. 定点的坐标为 B. C. 的最小值为3 D. 的最小值为 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. =________________. 13. 函数与的图象关于_____________对称；若函数是函数的反函数，则_________________. 14. 设为实数，若实数是关于的方程的解，则_________. 三、解答题 15. （1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合. 16. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的范围. 17. 为解决大气污染等环境问题，某工厂产生的废气必须过滤后才能排放，在过滤过程中，废气中的污染物含量（单位：）与过滤时间（单位：）之间的函数关系式为：（为污染物的初始含量，为常数）.已知过滤3小时消除了10%的污染物，求： （1）后还剩百分之几的污染物； （2）若规定污染物减少到初始含量的30%才可以排放，求达到排放标准所需的时间（，结果保留整数） 18. 已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1. （1）求函数解析式； （2）当，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值； （3）已知关于的方程的两个实根满足，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论的奇偶性； （2）当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围； （3）若是奇函数，对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $