精品解析：黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

哈尔滨师范大学附属中学2026-2027学年度上学期高二10月考 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线经过、两点，且倾斜角是，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或1 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（ ） A. B. C. 8 D. 4 5. 已知椭圆，椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，分别为椭圆的左、右焦点，A，B为C上两点，且，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分． 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当时，半径 C. 圆心到直线的距离为 D. 当时，圆面积为 10. 已知曲线，则（ ） A. 当时，是焦距为的椭圆 B. 当是焦点在轴上的椭圆时， C. 若曲线为椭圆，的取值范围是 D. 若椭圆的离心率为时， 11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C与y轴的交点为， B. 曲线C关于x轴对称 C. 面积的最大值为2 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆和圆外一点，过点作圆的切线，则切线方程为________． 13. 若双曲线：的离心率为，为的左支上一点，，分别为的左、右焦点，且，则_______________． 14. 著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面内，椭圆经过平移和旋转后，能得到以为一个焦点，且过点的椭圆，则椭圆面积的最大值为_________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，，且重心G的坐标为． （1）求C点坐标； （2）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．求的欧拉线的方程． 16. 已知圆（，）过原点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 17. 已知，为双曲线：（，）上的两点. （1）求的离心率； （2）过点的直线与的下支交于点，若的面积为12，求的方程. 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）若直线l经过点，求的面积的最大值； （3）C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 19. 已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． （1）求的标准方程； （2）设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ． （ⅰ）证明：点到直线的距离为定值； （ⅱ）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨师范大学附属中学2026-2027学年度上学期高二10月考 数学试题 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线经过、两点，且倾斜角是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 2. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或1 【答案】C 【解析】 【详解】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得，解得或， 当时，代入可得与，两条直线平行且不重合，符合题意； 当时，代入可得与，两条直线重合，不符合题意. 所以 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的性质，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】由， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】设，， 已知，故， 整理得， 故的轨迹是圆心为，半径为的圆， ， ， 是到轴的距离，圆上， 故． 5. 已知椭圆，椭圆上一点到直线距离的最大值为，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设椭圆上任意点，, 根据点到直线的距离公式，可知到直线的距离为： ，其中， 所以的最大值为：， ​ 两边平方整理得， 椭圆中，则， 即离心率：. 6. 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直关系推出，再由焦点到直线的距离推出，即可代入的关系式求出从而求得双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以， 又C的焦点到l的距离为，所以，所以， 因为，所以，故C的标准方程为． 7. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】设，则，. 因为，所以，即. 所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以. 即，解得. 8. 设，分别为椭圆的左、右焦点，A，B为C上两点，且，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据已知及椭圆的定义得，从而有，，，再由及余弦定理得到椭圆参数的齐次方程，即可得. 【详解】设，则，而， 由，则，即， 由，则，故， 所以，，则， 由，则， 所以， 所以，整理得， 所以. 故选：D 二、多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对部分分，有选错的得0分． 9. 已知表示圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 当时，半径 C. 圆心到直线的距离为 D. 当时，圆面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简圆的方程为，结合选项，分别求得圆心坐标和半径，以及圆心到直线的距离和圆的面积，即可得到答案. 【详解】对于A，由圆的方程，可化为，得圆心为，A不正确； 对于B，当时，得圆的方程，则圆的半径为，B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到直线的距离为，C正确； 对于D，当时，得圆的方程为，则圆的半径为，圆的面积为，D正确. 故选：BCD. 10. 已知曲线，则（ ） A. 当时，是焦距为的椭圆 B. 当是焦点在轴上的椭圆时， C. 若曲线为椭圆，的取值范围是 D. 若椭圆的离心率为时， 【答案】AB 【解析】 【分析】当时，求出椭圆的焦距，可判断A选项；根据方程所表示的曲线的形状求出的取值范围，可判断BC选项； 对椭圆焦点位置进行分类讨论，根据椭圆的离心率公式可得出关于的等式，求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，曲线的标准方程为，则，， 所以，此时椭圆是焦距为的椭圆，A对； 对于B选项，若是焦点在轴上的椭圆，则，解得，B对； 对于C选项，若曲线为椭圆，则，解得或，C错； 对于D选项，若椭圆的焦点在轴上时，，则，， 所以，解得，符合题意， 若椭圆的焦点在轴上，则，解得， 则，，所以，解得， 综上所述，若椭圆的离心率为时，或，D错. 故选：AB. 11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C与y轴的交点为， B. 曲线C关于x轴对称 C. 面积的最大值为2 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，由判断A；由曲线方程对称性判断B；取特值计算判断C；求出的范围计算判断D作答. 【详解】设点，依题意，，整理得：， 对于A，当时，解得 ，即曲线C与y轴的交点为，，A正确； 对于B，因，由换方程不变，曲线C关于x轴对称，B正确； 对于C，当时，，即点在曲线C上，，C不正确； 对于D，由得：，解得， 于是得，解得，D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称； (2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆和圆外一点，过点作圆的切线，则切线方程为________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先讨论斜率不存在是否适合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径的长度，利用点到直线的距离公式，构造方程解斜率得答案. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程 是圆的切线， 当直线的斜率存在时，设直线方程为： ，即： ， 直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径的长度，即： ，解得： ，代入切线方程整理得： ， 综上可得，圆的切线方程为：或. 故答案为：或. 13. 若双曲线：的离心率为，为的左支上一点，，分别为的左、右焦点，且，则_______________． 【答案】6 【解析】 【详解】由题可知，的标准方程为，离心率，解得， 由双曲线的定义可得，与联立，解得. 14. 著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面内，椭圆经过平移和旋转后，能得到以为一个焦点，且过点的椭圆，则椭圆面积的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出椭圆半焦距c的范围，即可求得短半轴b的范围，即可求得答案. 【详解】由椭圆可知，结合题意知椭圆的面积为， 设椭圆另外一个焦点为，则，，即， 所以在以为圆心，1为半径的圆上，故，即， 当三点共线时等号成立（F在之间）， 所以，所以椭圆面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，，且重心G的坐标为． （1）求C点坐标； （2）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．求的欧拉线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设出点的坐标，然后根据重心的坐标公式列方程求解出点坐标. （2）先确定点的位置，根据外心的性质求出外心坐标，然后利用外心和重心坐标写出直线方程. 【小问1详解】 设，则由重心的坐标为，得 ，解得，所以点坐标为. 【小问2详解】 设的外心为，则由外心性质可得在的中垂线上，即. ，. ，解得，. 又，故欧拉线的斜率. 故的欧拉线的方程为，即. 16. 已知圆（，）过原点，且与直线相切. （1）求圆的方程； （2）判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 【答案】（1） （2）相交， 【解析】 【分析】（1）利用圆过原点，以及直线与圆相切，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆与圆的位置关系可判断出圆与圆相交，将两圆方程作差，可得出相交弦方程，再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆所得弦长即可. 【小问1详解】 圆过原点，，① 圆与直线相切，，② ①②联立，解得，，圆的方程为. 【小问2详解】 圆，圆心，半径. ， 圆与圆相交. 圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为， 圆的圆心到公共弦所在直线的距离， 公共弦的长为. 17. 已知，为双曲线：（，）上的两点. （1）求的离心率； （2）过点的直线与的下支交于点，若的面积为12，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入双曲线方程可得，再代入可得，最后利用离心率公式即可求得； （2）先求出和直线的方程，再利用三角形面积公式得到点到直线的距离，联立点到直线的距离公式和双曲线方程，求出符合下支条件的点，最后即可求得直线的方程. 【小问1详解】 将代入的方程，得. 将代入的方程，得，即 故离心率为. 【小问2详解】 由题意知，直线的方程为. 设点到直线的距离为，则，即， 由点到直线的距离公式得，所以. 又点在的下支上，由（1）知，且. 由，解得或， 由，得，解得，舍去. 所以点的坐标为或， 当时，直线的斜率为，所以方程为：； 当时，直线的斜率为，所以方程为：，即， 所以直线的方程为或. 18. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）若直线l经过点，求的面积的最大值； （3）C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心律和椭圆系数求得； （2）设而不求，联立直线与椭圆联立，用伟达定理求出得到三角形面积；第三小问，设直线为横截距式，设与轴交点为，联立求解。 【小问1详解】 设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2． 【小问3详解】 设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点． 19. 已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． （1）求的标准方程； （2）设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ． （ⅰ）证明：点到直线的距离为定值； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设直线的斜率存在，其方程为，. 联立，消去得 ， 则， 化简得，， 因为 ，所以 ，即 ， 而， 代入得 ， 所以 ， 整理得 ，所以，满足. 所以点到直线的距离， 由，得. 当直线的斜率不存在时，设：，代入椭圆方程得， 则，由 ，得 ， 即，解得，所以，仍然成立. 综上，点到直线的距离为定值. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率，得出 的关系，再由直线 与椭圆有且只有一个公共点，判别式为0，从而求出 的值. （2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系，结合 ，得出，再由点到直线的距离求解，当直线的斜率不存在时，求出点到直线的距离，即可得定值. （ⅱ）当直线的斜率存在时，根据弦长公式表示出，得出面积与的关系，通过换元，求出面积的最大值，再求出直线的斜率不存在时的面积，比较即可求得最大值. 【小问1详解】 由，得，即， 因此椭圆方程可写为 ，即， 将直线 代入椭圆方程得， 即 ， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以 ， 即 ，解得 ，则 ， 所以椭圆的标准方程为 . 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）当直线的斜率存在时， 由（ⅰ）知 . 的面积， 由，令，则，， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以当，即时，满足，取最大，最大值为. 所以面积的最大值为. 当直线的斜率不存在时，由（ⅰ）知，，，， 所以，， 所以， 因为，所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $