精品解析：黑龙江哈尔滨市第三中学校2026-2027学年度高二上学期10月月考数学试题

哈三中2026—2027学年度上学期 高二学年10月月考数学试卷 考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设的倾斜角为，则，由经过，两点，得斜率，故. 2. 过点的面积最小的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 4. 已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，当的面积最大时，其内切圆的半径是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义和三角形面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，设的内切圆的半径为， 由，则，，，所以，， 由，即， 若的面积最大，即最大，又因为，所以， 所以，故D正确. 5. 已知直线：与：交于，两点，当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，再结合圆心角条件求圆心到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式列方程求解． 【详解】已知：， 整理得，即， 可得圆心的坐标为，半径 已知，， 所以为等腰三角形， 过点作的垂线，垂足为， 则为圆心到直线的距离，且 在中，． 已知直线：， 点到直线的距离公式为：， 则， 两边同时平方得：， 整理得，即， 解得． 6. 已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画草图，发现和圆心在直线的同侧，所以需要借鉴将军饮马的思路先将通过对称转化到异侧的，这样根据两点之间线段最短就可以得出，再利用圆的性质得出即可. 【详解】设关于直线的对称点，则 ，解得，所以，由对称可知，， 所以， 由圆的性质可知，圆心，， 所以， 当且仅当四点共线时，等号成立，如图所示. 7. 设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用椭圆的定义表示出、，结合的直角条件，通过勾股定理求出与的关系；再在中用勾股定理建立与的等式，进而推导离心率. 【详解】设，由得，因此. 根据椭圆的定义， ， ， 由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理， 得，展开并化简： 因，两边除以得， 由此可得，， 又因为共线，且，所以，即为直角三角形， 由勾股定理，得， 得，所以，因此离心率. 8. 已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由圆的切线的性质以及向量的数量积公式得到，利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】 已知点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为。 圆的圆心为，半径，根据切线的性质，，，且， 设，则， 在直角三角形中，有，， 向量点积公式为， 由于，， 所以， 令，因为在直线上，所以的最小值为圆心到直线的距离， 其中，所以，即， 利用对勾函数 的性质，其在时取得最小值， 由于，所以， 因此，在定义域内，此时取得最小值， 将代入得，， 所以 的最小值为，故A正确. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 若，则与的距离为 C. 若在两坐标轴上的截距相等，则 D. 原点到的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出直线的斜率即可判断；对于B，根据求出，再利用平行直线距离公式即可计算；对于C，根据在两坐标轴上的截距相等列出方程即可计算；对于D，先求出直线过定点，进而原点到的距离的最大值即为，因此计算即可． 【详解】对于A，，即，斜率为2，故直线的方向向量为, 而,故是直线的一个方向向量，A正确； 对于B，由得，解得， 此时，两直线不重合， 故与的距离，B正确 对于C，令解得，令解得， 则，解得或2， 当时，，在两坐标轴上的截距都为0，满足条件， 当时，，在两坐标轴上的截距都为5，满足条件， 所以或，C错误； 对于D，由得， 令，得，故直线过定点， 因此原点到动直线的距离最大值就是， 而，故D正确． 10. 已知椭圆，左，右焦点分别为、，点为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 C. 若，则的面积为 D. 当，时，坐标原点为，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A、利用均值不等式即可得到乘积的最大值；选项B、根据椭圆的焦半径范围求解离心率；选项C、先利用椭圆定义得到，再根据焦点三角形余弦定理以及面积公式，即可求解；选项D、先求出，设，再把坐标代入中，转化为二次函数求值域问题． 【详解】选项A、由椭圆定义， 由均值不等式得， 当且仅当时取等号，则选项A正确； 选项B、已知，又， 联立可得，则， 由，可得， 解不等式，可得， 解不等式，可得，所以， 则该椭圆离心率的取值范围为，则选项B错误； 选项C、设，， 已知，， 由余弦定理得，即， 则，解得， 所以的面积为，则选项C正确； 选项D、因为，，则， 所以，，，则， 设，满足． 则，，， 可变形为， 代入上式，可得， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 在对称轴处，， 在端点处，， 在端点处，， 所以的取值范围为，则选项D正确． 11. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若是圆上的两点，且，则的中点到直线距离的最大值为 B. 已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5 C. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D. 设为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，求出中点的轨迹方程为，转化为利用圆外一点到圆上一点距离的最大值即可求解；对于B，设圆心到弦的距离为，到弦的距离为，写出四边形面积的表达式，利用基本不等式即可求解；对于C，利用切点弦公式求出直线的方程即可求解；对于D，设出切线方程，结合韦达定理写出的表达式即可求解． 【详解】对于A，设中点为，则，且， 故，所以点的轨迹为， 又直线到圆心的距离， 故点到直线距离的最大值，A错误； 对于B，设圆心到弦的距离为，到弦的距离为， 则，，， 故四边形的面积 当时等号成立，故四边形的面积的最大值为5，B正确 对于C，设，则，设切点， 由于直线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线的方程为，即， 又因为在圆上，故，故切线的方程为， 当时，，切线方程为，上式亦成立， 因此切线的方程为， 又由在切线上可得， 同理，， 所以满足，所以直线的方程为， 代入，得，， 由可得，因此直线过定点，C正确； 对于D，设，设过的切线方程为，即， 则由得，即， 设两根为（两条切线斜率），则， 把代入切线方程可得， 故， 因此， 当时等号成立，故的最小值为，D正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知圆：和圆：有条公切线，则______. 【答案】 【解析】 【详解】两圆有3条公切线说明两圆外切，圆，圆心，半径为， 圆，化为标准方程， 圆心，半径为，圆心距为， 由外切性质可知，，即，解得. 13. 已知线段的长为6，动点满足，则动点形成的轨迹的长度为______. 【答案】 【解析】 【详解】如图，以线段中点为原点，建立平面直角坐标系. 则，，设， 则，整理得. 所以动点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 其轨迹长度为. 14. 离心率满足的椭圆被称为“黄金椭圆”.若是“黄金椭圆”，则______；“黄金椭圆”：的两个焦点分别为，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“黄金椭圆”的定义列式求的值；设，内切圆半径为，利用面积用表示，再利用，结合“黄金椭圆”的离心率可求解. 【详解】因为， 所以，得， 解得. 如图， 设，内切圆半径为， 由. 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）点为圆内一点，弦恰好被点平分，求直线的方程，并判断为钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形？ 【答案】（1） （2），直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质可得圆心在AB的垂直平分线上，又因为圆心在AD的垂直平分线上，所以可以求出圆心坐标，从而得到半径； （2）根据垂径定理得到，可求出直线的斜率，代入点得到的方程，利用三边关系进行三角形形状的判断. 【小问1详解】 直线的斜率为 因此的垂直平分线方程为：，即 的垂直平分线方程为 解得圆心. 圆的半径 故圆的标准方程为：. 【小问2详解】 由垂径定理可知：，，， 所以的直线方程为：，即 圆心到直线距离， 所以， ∵， ∴为直角三角形. 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求： （1）直线的方程； （2）的面积． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）设点，通过中点坐标公式求得点，进而联立方程组求出点坐标，再设点，通过两直线垂直时的斜率关系，联立方程组求出点坐标，即可求解； （2）通过两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，分别求出三角形的一条边及此边上的高，即可求解． 【小问1详解】 设点，则点． 由已知有，解得，则点． 边上的高所在直线方程为，则． 由于这两直线垂直时，斜率之积为，则． 设点，则，解得，则点． 故，所以直线的方程为， 化为一般式方程为． 【小问2详解】 由（1）知． 直线的一般式方程为， 则边上的高的长度，即点到直线的距离为， 则． 17. 若椭圆：的长轴长为4，短轴长为，为椭圆的左焦点. （1）求椭圆的方程； （2）若，为过点的两条互相垂直的直线，设直线与椭圆交于，两点，直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得即可求椭圆方程； （2）设出的方程为，利用直线与椭圆求出，由的方程得到的方程，利用直线与圆的位置关系，求出，则四边形的面积，利用的变化即可求的取值范围. 【小问1详解】 由已知可得，则. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由椭圆的方程得. 设的方程为，，. 联立得，故 . 过且与垂直的直线：，则圆心到的距离为， 所以， 故四边形面积：. 因为，所以. 则，得. 所以. 当的斜率为0时，， 则， 当的斜率不存在时，， 则， 故四边形面积的取值范围为. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆经过点，点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知点为圆上的动点，求的取值范围； （3）点，设圆的半径为，，为圆上不同的两点，若对于线段上任意一点，都存在，使，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由圆上两点坐标，以及圆心在弦的中垂线上，可确定圆心所在直线方程，再通过联立方程组即可求出圆心，然后通过两点间的距离公式求出半径，即可求解； （2）设，可理解为直线，由于点为圆上的动点，即可转化为该直线与圆的位置关系进行处理； （3）设点，点，通过表示出点坐标，再根据，为圆上不同的两点，构造出方程组，由方程的几何意义出发，转化为圆与圆的位置关系，从而再转化不等式恒成立问题，即可求解． 【小问1详解】 已知圆经过点，，则圆心在线段的中垂线上． 又有圆心在直线上，将代入，可得， 则圆心，半径， 故圆的方程为． 【小问2详解】 设，则，即这是斜率为，截距为的直线． 已知点为圆上的动点，则该直线与圆有公共点． 圆心到直线的距离， 化简得，即，则， 故的取值范围为． 【小问3详解】 已知点，点，则，直线的方程为． 设点，则． 设点，且，则． 又有，都在半径为的圆上， 所以，即． 因为关于，的方程组有解， 即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点， 所以． 又因为，所以对成立． 而在上的值域为， 所以且，即． 当时，线段与圆切于点，不满足题意，所以， 故圆的半径的取值范围为． 19. 在平面直角坐标系中，对给定的圆与定直线，可通过射线截取的方式生成一条叶状曲线，该曲线从坐标原点出发，上下两支向上下两侧无限撑开，因形状像叶子而得名，其方程为：，.如图所示，平面内给定直线：和定圆：，从坐标原点引射线分别交圆和直线于，两点，在射线上取一点，满足. （1）求叶状曲线的横坐标的取值范围； （2）求证：点在叶状曲线上； （3）当时，已知不过原点的直线与叶状曲线交于三点，记直线的斜率为，直线与圆交于点，若，试探究：的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） ：，联立：得：，，， ：，联立：得：. ∵ ，∴， 把代入， 可得点坐标满足方程， 所以点在叶状曲线上. （3）的值是定值，定值为2. 【解析】 【分析】（1）将叶状曲线方程中的x与y分离，根据解得x的范围； （2）依据向量相等的性质得到点的坐标，再将点的横坐标代入叶状曲线方程的右边，通过化简计算与进行比较，若相等则可证明点在叶状曲线上； （3）求的值，可先由直线与圆的交点表示，得到，再结合直线与叶状曲线交点的三次方程，利用韦达定理和已知的进行计算. 【小问1详解】 ∵：， ∴，，解得 ∴叶状曲线的横坐标的取值范围是 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得时，，， 直线不过原点，不妨设：，代入 得，两边同除以 整理得，即 所以关于的方程有三个根，， 所以， 又已知 ∴ 所以的值是定值，定值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2026—2027学年度上学期 高二学年10月月考数学试卷 考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟； （2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过点的面积最小的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，当的面积最大时，其内切圆的半径是（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知直线：与：交于，两点，当时，（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A. B. C. D. 8. 已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 是直线的一个方向向量 B. 若，则与的距离为 C. 若在两坐标轴上的截距相等，则 D. 原点到的距离的最大值为 10. 已知椭圆，左，右焦点分别为、，点为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 C. 若，则的面积为 D. 当，时，坐标原点为，则的取值范围为 11. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 若是圆上的两点，且，则的中点到直线距离的最大值为 B. 已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5 C. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D. 设为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上. 12. 已知圆：和圆：有条公切线，则______. 13. 已知线段的长为6，动点满足，则动点形成的轨迹的长度为______. 14. 离心率满足的椭圆被称为“黄金椭圆”.若是“黄金椭圆”，则______；“黄金椭圆”：的两个焦点分别为，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程； （2）点为圆内一点，弦恰好被点平分，求直线的方程，并判断为钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形？ 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求： （1）直线的方程； （2）的面积． 17. 若椭圆：的长轴长为4，短轴长为，为椭圆的左焦点. （1）求椭圆的方程； （2）若，为过点的两条互相垂直的直线，设直线与椭圆交于，两点，直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆经过点，点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）已知点为圆上的动点，求的取值范围； （3）点，设圆的半径为，，为圆上不同的两点，若对于线段上任意一点，都存在，使，求的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中，对给定的圆与定直线，可通过射线截取的方式生成一条叶状曲线，该曲线从坐标原点出发，上下两支向上下两侧无限撑开，因形状像叶子而得名，其方程为：，.如图所示，平面内给定直线：和定圆：，从坐标原点引射线分别交圆和直线于，两点，在射线上取一点，满足. （1）求叶状曲线的横坐标的取值范围； （2）求证：点在叶状曲线上； （3）当时，已知不过原点的直线与叶状曲线交于三点，记直线的斜率为，直线与圆交于点，若，试探究：的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $