30.3 正多边形与圆知识清单2026-2027学年九年级数学上册人教版

30.3 正多边形与圆　知识清单 人教版（2024）　九年级上册　第三十章《直线与圆的位置关系》 教材 P161 起　30.3 正多边形与圆 图 1　本节知识地图：概念、计算套路、画正多边形、对称性与判定 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解正多边形与圆的关系，会说出正多边形的中心、半径、边心距、中心角； ② 会把正多边形的计算化为解直角三角形的问题，会求边长、边心距与面积； ③ 会用量角器与尺规两种方法画正多边形，知道正多边形的对称性； ④ 会判断「各边相等」「各角相等」的多边形不一定是正多边形。 重点 正多边形与圆的四个概念；连半径、作边心距求边长与边心距 难点 把正多边形的计算归结为解直角三角形；正多边形与圆的相互转化 前面研究了直线与圆的位置关系，以及圆与三角形的关系。本节把圆与正多边形联系起来：把一个圆等分，就能得到圆的内接正多边形；正多边形也一定有外接圆与内切圆。圆是正多边形的「根」，正多边形的度量最终都能回到圆中解决。 二、情境引入：画正五角星 七年级我们画过正五角星（图 2）：任意画一个圆，以圆心为顶点，用量角器连续画五个 （）的角，角的边与圆周交于五个分点，连接相间的点就得到五角星。 图 2　情境引入：用量角器把圆五等分，连接相间的点得五角星 这样画的道理是：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等。五个 的圆心角正好把圆五等分，等分弧就能等分弦，顺次连接各分点就得到圆的内接正五边形。把「等分圆周」作为画正多边形的总思路，本节的所有内容都从这里长出来。 三、正多边形与圆 定义　各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 内接正多边形　把圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。 四个名字　外接圆的圆心（也是内切圆的圆心）叫做正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；中心到正多边形一边的距离叫做边心距；正多边形每一边所对的圆心角叫做中心角。 图 3　正六边形的中心、半径、边心距与中心角 设正多边形的边数为 n，半径为 R，边心距为 r，则每个中心角都等于 。 常用角度　正 n 边形的每个中心角 = ； 每个内角 = ；每个外角 = 中心角 = 。 记忆　中心角与外角都「绕圆心一周平分给 n 条边」，所以相等；内角与外角互补，也可以用多边形内角和直接算。 四、例 1：五等分点得正五边形 等分圆周为什么一定得到正多边形（图 4）？设 A、B、C、D、E 是 ⊙O 的五等分点，依次连接得五边形 ABCDE。 图 4　例 1：五等分点依次连接得正五边形 解　第 1 步，证各边相等。 因为五段弧相等，而同圆中相等的弧所对的弦相等， 所以 。 第 2 步，证各角相等。 弧 BCE = 3 倍弧 AB = 弧 CDA， 所以 ；同理 。 五边形各边相等、各角也相等，所以五边形 ABCDE 是正五边形。 这个证明给出一个判定套路：要证一个圆的内接多边形是正多边形，分两步——用「等弧对等弦」证各边相等，用「弧的倍数关系」证各角相等。两步都离不开「等分圆周」这个前提。 五、正多边形的计算 正多边形的半径 R、边心距 r、边长 a 之间有什么关系（图 5）？套路是两句话：连半径，作边心距。 图 5　计算套路：连半径得中心角，作边心距得直角三角形 直角三角形　连接中心与相邻两个顶点，再作一边的边心距，就把正 n 边形分成了 2n 个全等的直角三角形。 在这个直角三角形中： 斜边 = 半径 R；一条直角边 = 边心距 r；另一条直角边 = 边长的一半； 一个锐角 = 中心角的一半，即 。 由勾股定理，。 面积也可以从这个分割看出来：正 n 边形被分成 n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的底是正 n 边形的一条边、底边上的高是边心距，所以 面积公式　S（正多边形）（l 为正多边形的周长，r 为边心距）。 几何语言　设正 n 边形的边长为 a、边心距为 r，则 。 把三个最常用的正多边形按边数排成一张表（图 6），计算时先查表、再推导，不要死记。 图 6　正三角形、正方形、正六边形的中心角、边长、边心距与面积 三个特殊值　正三角形：中心角 120°，边长 R，边心距 ； 正方形：中心角 90°，边长 R，边心距 ； 正六边形：中心角 60°，边长 ，边心距 。 面积依次为 、、。 六、例题精讲 例 2　已知正六边形的半径为 R，求它的边长、边心距和面积（教材 P163） 如图 7，正六边形 ABCDEF 的半径为 R，求它的边长、边心距和面积。 图 7　例 2：正六边形半径为 R，△OAB 是等边三角形 解　中心角 。 又 ，所以 △OAB 是等边三角形，边长 。 过 O 作 ⊥ AB 于 M，则 。 在 Rt△OAM 中，OM = ，即边心距 。 面积 ，即 。 本题是「连半径、作边心距」套路的标准示范：中心角 60° 让 △OAB 成为等边三角形，边长直接等于半径；边心距再用勾股定理从直角三角形中求出。 例 3　六边形地基的周长与面积（变式） 一个亭子的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）。 解　由例 2，正六边形的边长等于半径，所以周长 （m）。 边心距 r = = 2（m）。 面积 （平方米）。 实际问题的套路不变：先把「半径」找准，再用例 2 的结论算边长与边心距，最后代入面积公式。半径是中心到顶点的距离，不是中心到边的距离，读题时要分清。 例 4　正三角形与正方形的边长、边心距和面积（拓展） 分别求半径为 R 的圆的内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积。 解　正三角形：中心角 120°，一半是 60°。 在直角三角形中，边长 a = R，边心距 。 面积 。 正方形：中心角 90°，一半是 45°。 边长 a = R，边心距 。 面积 。 三个特殊正多边形凑成一张「半径 R」表：正三角形 R、、；正方形 R、、；正六边形 、、。顺着中心角推一遍，比背表可靠。 七、画正多边形与对称性 画正多边形的原理只有一句话：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，等分弧就能等分弦。具体有两种方法。 方法一（量角器）　量出 的圆心角，在圆上依次截取等弧，顺次连接各分点。简单常用，边数很多时误差较大。 方法二（尺规）　只限于特殊的正多边形：作两条互相垂直的直径得正方形；在圆上用圆规依次截取等于半径的弦得正六边形；隔一个分点连接正六边形的顶点得正三角形；类似还可得到正八边形、正十二边形。 随堂练习（教材 P164）：画一个半径为 2 cm 的正五边形，再作出它的各条对角线，画出一个五角星。作法与图 2 完全相同：量角器五等分圆周，顺次连接得正五边形，连接相间的点得五角星。 正多边形还是轴对称图形（图 8）。 图 8　正六边形有 6 条对称轴；菱形、矩形都不是正多边形 对称性　正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴（每条过中心和一个顶点，或过中心和一条边的中点）；当 n 为偶数时，正 n 边形还是中心对称图形，对称中心就是它的中心。 反例　菱形各边相等但各角不相等，矩形各角相等但各边不相等，它们都不是正多边形。「各边相等」与「各角相等」两个条件缺一不可。 八、易错清单 本节的名字多、角度多、公式多，稍不留神就混。下面六个地方逐条对照检查。 易错点 错在哪里 正确做法 ① 见各边相等就说是正多边形 把菱形当成正多边形 还要各角相等；菱形各角不相等，不是正多边形 ② 见各角相等就说是正多边形 把矩形当成正多边形 还要各边相等；矩形各边不相等，不是正多边形 ③ 把边心距当成半径 求边长、面积时用错线段 半径是中心到顶点的距离 R，边心距是中心到边的距离 r，R 大于 r ④ 把中心角当成内角 求角度时两数混用 中心角 = 360° 除以 n，内角 = (n−2) 乘 180° 再除以 n；中心角等于外角 ⑤ 面积公式漏掉二分之一 记成「周长乘边心距」 正多边形面积 = 二分之一 × 周长 × 边心距，是 n 个等腰三角形面积之和 ⑥ 半径、边心距、边长关系搞混 三个量随意代换 连半径、作边心距构造直角三角形，用勾股定理建立 R、r、边长之间的联系 九、方法总结与常见题型 把本节理一遍：从画五角星引出「等分圆周」，得到正多边形与圆的关系与四个概念；计算靠「连半径、作边心距」化为解直角三角形；画图分量角器与尺规两条路线；最后用对称性收尾。 ★ 记忆要点 ① 一个关系：把圆 n 等份，依次连接各分点得圆的内接正 n 边形；等弧对等弦，等分圆周就得正多边形。 ② 四个概念：中心、半径 R、边心距 r、中心角。 ③ 一个套路：连半径得中心角，作边心距构造直角三角形，用勾股定理求边长与边心距。 ④ 两个公式：中心角 = ；面积 = 二分之一 × 周长 × 边心距。 ⑤ 三个特殊值：正三角形中心角 120°、正方形 90°、正六边形 60°。 常见题型 解法要点 求边数、中心角、内角、外角 中心角 = 360° 除以 n；内角 = (n−2) 乘 180° 再除以 n；外角 = 中心角 已知半径求边长、边心距、面积 连半径、作边心距构造直角三角形；正三角形、正方形、正六边形可直接查表 已知边心距反求半径 在直角三角形中用勾股定理，斜边是半径，不要与边心距混用 判断是不是正多边形 各边相等、各角相等两个条件都要满足；找菱形、矩形作为反例 画正多边形 量角器等分圆周（任意 n）；尺规只能画正三、四、六、八、十二边形 十、课后巩固 1. 求正八边形的每个中心角、每个内角和每个外角的度数。 2. 已知正六边形的半径为 4，求它的边长、边心距、周长和面积。 3. 半径为 2 的圆的内接正方形的边长、边心距和面积各是多少？ 4. 正三角形的边心距为 2，求它的半径、边长和面积。 5. 一个正多边形的每个外角为 30°，求它的边数、每个内角的度数和内角和。 6. 正六边形的内切圆半径为 ，求它的中心角、边长和面积。 参考答案与解析 1. 中心角 ； 内角 ；外角 = 中心角 = 。 2. 边长 = 半径 = 4；边心距 2； 周长 ；面积 。 3. 中心角 90°，一半是 45°。 边长 a = × 2 = 2；边心距 ； 面积 。 4. 边心距是半径的一半，所以半径 。 边长 a = × 4 = 4； 面积 （R = 4），即 。 5. 外角 = 中心角 = 30°，边数 。 内角 ；内角和 。 6. 边心距 r = ，由 得半径 。 中心角 ；边长 = ；面积 。 第 3、4 题是「查表思想的逆用」：已知边心距反求半径，仍在直角三角形中用勾股定理。第 6 题是教材 P164 的练习，注意此时 是边心距不是半径，要把它代入 反解，得半径 。 十一、技能自查 序号 自查内容 能否做到 1 能说出正多边形、内接正多边形、外接圆的定义，会区分半径与边心距 □ 能　□ 还需复习 2 会算正 n 边形的中心角、内角、外角，知道中心角等于外角 □ 能　□ 还需复习 3 会用「连半径、作边心距」构造直角三角形，求边长、边心距与面积 □ 能　□ 还需复习 4 记住正三角形、正方形、正六边形在半径为 R 时的边长、边心距、面积 □ 能　□ 还需复习 5 会用量角器画任意正多边形，会用尺规画正三、四、六边形 □ 能　□ 还需复习 6 知道正 n 边形有 n 条对称轴，n 为偶数时是中心对称图形；能举出「各边相等」「各角相等」不是正多边形的反例 □ 能　□ 还需复习 十二、知识追问 追问 1　为什么等分圆周得到的多边形一定是正多边形？ 分两步看。边：n 段弧都相等，同圆中相等的弧所对的弦相等，所以 n 条边都相等。角：每一条边都对着同样长的弧，由「弧的倍数关系」可得每个内角都相等（例 1 中弧 BCE = 3 倍弧 AB = 弧 CDA，所以角 A = 角 B）。各边相等、各角也相等，符合正多边形的定义。 追问 2　半径与边心距哪一个大？二者与边长什么关系？ 半径一定大于边心距。连接中心与一边的两个端点，再作边心距，得到直角三角形：半径是斜边，边心距与边长的一半是两条直角边。由勾股定理，。 所以已知半径可以求边心距与边长，已知边心距也可以反求半径。计算时先判断题目给的是「中心到顶点」还是「中心到边」，两者差一个直角边的关系。 追问 3　为什么尺规作图只能画特殊的正多边形？ 尺规作图能作出的角是有限的：可以二等分、三等分某些角，得到 90°、60°、45°、30°、15° 这些特殊圆心角，对应正方形、正六边形、正八边形、正十二边形、正二十四边形等。正五边形虽然能尺规作出，但作法超出课本要求；正七边形、正九边形等不能仅用尺规作出。边数任意时，用量角器等分圆周更现实。 追问 4　边数越来越多，正多边形会变成圆吗？ 会「越来越像」。边数 n 增大时，每条边所对的弧变小，中心角 变小，边长变小而边数变多。 周长趋近于外接圆的周长，面积趋近于外接圆的面积，边心距趋近于半径，图形越来越「圆滑」。历史上「割圆术」正是用这个思路逼近圆周率：圆可以看成边数无限多的正多边形。 十三、章内位置与中考对接 30.3 是第三十章《直线与圆的位置关系》的最后一节，也是全册「圆」的收官一节。前面用直线与圆的位置关系研究了切线，用三角形的内切圆研究了圆与三角形的关系；本节反过来，用圆来「生成」正多边形，把等分圆周、圆心角与弧弦的关系、勾股定理串成一条线。 教材位置 内容 P147—P155 已学：30.1 直线与圆（三种位置关系、切线的性质与判定、切线长定理） P156 探究与发现：两个圆的位置关系 P158—P160 已学：30.2 三角形的内切圆（内切圆、内心、尺规作图） P161—P163 本节：正多边形与圆的概念，例 1，正多边形的计算，例 2 P163—P165 本节：画正多边形，对称性，练习与习题 30.3 从「一个圆与三角形三边相切」到「等分圆周得正多边形」，研究对象从三角形变成正 n 边形，工具却没有变：还是等弧对等弦，还是勾股定理，还是连半径、作边心距。正多边形的内切圆圆心就是中心，它到各边的距离都等于边心距——这与三角形内心到三边等距，是同一种「到边等距」的性质。 中考怎么考 ① 选择、填空题：由边数求中心角、内角、外角；由外角反求边数；判断「各边相等」「各角相等」是不是正多边形。 ② 计算题：已知半径求正三角形、正方形、正六边形的边长、边心距、周长、面积，常带实际背景（地基、图案、零件）。 ③ 综合应用：与全等三角形、勾股定理、垂径定理综合；正多边形与圆的对称性综合。 十四、本节边界 ★ 本节边界：本清单只研究正多边形与圆的关系（等分圆周得内接正多边形）、正多边形的中心、半径、边心距、中心角四个概念、正多边形的计算（连半径、作边心距，化为解直角三角形）、画正多边形的两种方法与正多边形的对称性。其它图形与圆的位置关系、圆中其它与度量有关的量和角，都不属于本课时。 学科网（北京）股份有限公司 $