29.3 弧长和扇形面积 知识清单 2026-2027学年人教版数学九年级上册

29.3 弧长和扇形面积　知识清单 人教版（2024）　九年级上册　第二十九章《圆》 教材 P134 起　29.3 弧长和扇形面积 图 1　本节知识地图：弧长公式、扇形面积公式、弓形面积（和差法）、圆锥 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 经历弧长公式的推导，记住弧长公式 ，会用它进行简单计算； ② 理解扇形的概念，掌握扇形面积公式 与 ，能根据已知条件选用； ③ 会用「和差法」求弓形面积（弓形 = 扇形 ± 三角形）； ④ 认识圆锥，知道母线、高、底面半径的关系 ； ⑤ 理解圆锥侧面展开图是扇形，掌握侧面积 与全面积 重点 弧长公式；扇形面积公式；圆锥的侧面积与全面积公式 难点 弓形面积的和差法（判断「加」还是「减」）；圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系（扇形的半径、弧长分别等于什么） 前面几节研究的垂径定理、圆心角与弧弦关系、圆周角定理，主要解决圆中「线段与角」的关系。本节开始研究圆的「度量」：先给圆上的一段弧规定一个长度（弧长），再研究由弧和两条半径围成的扇形面积，最后把扇形「卷」成一个圆锥，研究做这样一个圆锥要用多少材料。整节课的线索是「一段弧 → 一个扇形 → 一个圆锥」。 二、弧长的概念与计算公式 圆的周长是 ，它对应整个圆 360° 的圆心角。如果把圆周平均分成 360 份，每一份是一段弧，它所对的圆心角是 1°。 弧长公式 图 2　半径为 R 的圆中，n° 圆心角所对的弧长 （n 是不带单位的倍数） 弧长公式：在半径为 R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长 l。 几何语言：因为弧 AB 所对的圆心角是 n°，所以它的弧长 l。 推导（结合图 2 右侧）：360° 圆心角所对弧长是圆周长 ；1° 圆心角所对弧长是 ；n° 圆心角所对弧长就是 n 个这样的弧，即 。 ★ 三点提醒：① n 是「1° 圆心角的倍数」，是一个不带单位的倍数，所以公式右边不再写度； ② R 是这段弧所在圆的半径； ③ 弧长由半径和圆心角共同决定：半径越大、圆心角越大，弧越长。 练一练：直接用弧长公式 半径 R 圆心角 n° 弧长 l 1 90 1 180 2 60 10 120 三、扇形及其面积公式 什么是扇形 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。如图 3，扇形 由半径 、 和弧 围成。可以说：扇形是圆的一部分，由「两条半径 + 一段弧」围成。 图 3　扇形 OAB 由两条半径 OA、OB 与弧 AB 围成；它的面积公式有两个 扇形面积公式 面积公式 1：S（扇形）（n 为圆心角度数，R 为半径）。 面积公式 2：S（扇形）（l 为扇形的弧长，R 为半径）。 几何语言：因为扇形 OAB 的圆心角为 n°、半径为 R，所以 。 这两个公式本质上是同一个。公式 1 直接用半径和圆心角度数；公式 2 用弧长 l 和半径 R，和三角形面积公式 很像——把弧看成「底」，半径看成对应「高」。已知弧长时，用公式 2 更方便。 ★ 想一想：半径为 R 的整圆，可以看成一个圆心角为 360° 的「大扇形」。把 n = 360 代入公式 1，得到 ，正好就是圆的面积公式。所以扇形面积公式其实是圆面积公式的推广。 四、弓形面积（和差法） 什么是弓形 由弦和它所对的弧围成的图形叫做弓形。如图 4，弦 与弧 围成的就是弓形。弓形不是规则图形，但可以用「规则图形的加或减」来算。 图 4　弓形 = 扇形 OAB ± 三角形 OAB（小于半圆用「减」，大于半圆用「加」） 弓形面积：和差法 弓形小于半圆：S（弓形） = S（扇形 ） − S（） 弓形大于半圆：S（弓形） = S（扇形 ） + S（） 思路：弓形是扇形与三角形的「差」或「和」，把不规则的弓形转成规则图形来求。 以小于半圆的弓形为例（图 4）：如果在弓形里补上三角形 ，就得到扇形 ，所以弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积。大于半圆的弓形则是扇形面积 + 三角形面积。 ★ 用和差法的关键：先判断弓形小于还是大于半圆，再决定「加」还是「减」；三角形 OAB 的面积用 × 底 × 高 计算，其中底取弦 AB，高是圆心到弦的距离。 五、例题精讲 例 1　弯形管道的展直长度（教材 P134） 制造弯形管道时，常先按中心线弯成一段圆弧，再接上两段直管（图 5）。已知圆弧半径 mm，圆心角 n = 100°，两段直管各长 700 mm。求管道的展直长度 L（即下料时应该准备多长的材料）。 图 5　弯形管道：展直长度 L = 两段直管 + 中间弧长 解　先算中间圆弧的弧长：，约 1570（mm）。 展直长度 （mm）。 答：管道的展直长度约为 2970 mm。 实际下料时，要先把「弯」的部分算成直线长度，再加上两端的直管，才能知道一共需要多长的材料。这正是弧长公式的工程用途。 例 2　排水管截面的面积（教材 P135） 水平放置的排水管，截面半径 m，水面高（水深）0.3 m。求截面中有水部分的面积。 图 6　排水管截面：有水部分是弓形，用「扇形 − 三角形」求面积 解　如图 6，连接 、，过 作 ⊥ 于 。 由题意，水深 0.3 m，半径 m，故圆心到水面的距离 （m）。 在 Rt 中，，，由勾股定理：AD = = = 0.3，所以 AB = 0.6。 又 ，得 ∠AOD = 60°，故 ∠AOB = 120°。 有水部分是弓形（小于半圆），用「扇形 − 三角形」： S（有水部分） = S（扇形 ） − S（） ，约 0.22（平方米）。 答：截面中有水部分的面积约为 0.22 平方米。 六、圆锥的概念：母线、高、底面半径 圆锥是由一个底面（圆）和一个侧面围成的立体图形。图 7 中， 是圆锥的顶点， 是底面圆心， 所在的直线是圆锥的轴。 图 7　圆锥：顶点 P、底面圆心 O、高 h、底面半径 r、母线 l 圆锥的几个重要线段 高 h：从顶点到底面圆心的距离（图 7 中虚线 ）。 底面半径 r：底面圆的半径（图 7 中 ）。 母线 l：顶点到底面圆周上任意一点的线段（图 7 中 、）。圆锥的所有母线长度相等。 关系：高 h、底面半径 r、母线 l 组成一个直角三角形，满足 。 沿着高 h、底面半径 r、一条母线 l 看过去，三者构成直角三角形（直角在底面圆心 处），由勾股定理得 。已知其中任意两个量，就能求出第三个。 ★ 注意：母线不是高。母线是从顶点到底面圆周的线段，比高长（）。求侧面积时用母线 l，而底面半径 r 是底面圆的大小。 七、圆锥的侧面积与全面积 圆锥的侧面展开图 把圆锥的侧面沿一条母线剪开并展开，得到一个扇形（图 8）。这个扇形的半径等于圆锥的母线 ，扇形的弧长等于圆锥底面的周长 。 图 8　圆锥侧面展开图是扇形：扇形的半径 = 母线 l，扇形的弧长 = 底面周长 圆锥的侧面积与全面积 侧面积：S（侧）。 全面积：S（全）。 几何语言：因为圆锥母线为 、底面半径为 ，所以侧面积 ，全面积 。 侧面积公式 可以看成扇形面积公式 的特例：这里扇形的弧长就是底面周长 ，扇形的半径就是母线 ，代入即得 。全面积再加上一个底面圆 。 ★ 用公式前先确认：S = 中的 r 是底面圆半径，l 是母线长，不是高 h。如果已知的是高 h，先用 求出 l，再代入。 例 3　圆锥的侧面积与全面积 一个圆锥，底面圆半径 cm，母线长 cm。求它的侧面积和全面积。 解　侧面积 （平方厘米）。 全面积 （平方厘米）。 答：侧面积为 平方厘米，全面积为 平方厘米。 八、易错清单 本节公式不多，但「弧长」「扇形」「圆锥」三个概念容易互相串、和差法容易搞反。下面六个地方最容易出错，逐条对照检查。 易错点 错在哪里 正确做法 ① 把弧长公式分母写成 360 混淆了弧长与圆面积 弧长分母是 180（） ② 在弧长公式里给 n 带单位 把 n 当成角度值 n 是「1° 圆心角的倍数」，是不带单位的倍数，公式右边不再写度 ③ 把 S = 记错结构 记成 或 应是 × 弧长 × 半径，与三角形面积 对应 ④ 弓形面积和差法分不清加还是减 没先判断弓形大小 小于半圆用「减」，大于半圆用「加」 ⑤ 圆锥侧面积把 r 和 l 搞混 误把高 h 当母线 侧面积 （r 是底面半径、l 是母线，不是高 h） ⑥ 圆锥侧面展开图的扇形半径当成 r 把底面半径当扇形半径 扇形半径 = 母线 ，弧长 = 底面周长 九、方法总结与常见题型 把本节理一遍：先由半径和圆心角求出弧长，再求扇形面积；遇到弓形用和差法；遇到圆锥先认准母线、高、底面半径，再把侧面展开成扇形。 ★ 记忆要点 ① 弧长：（n 为 1° 圆心角的倍数，不带单位）。 ② 扇形面积： 或 （l 为弧长，R 为半径）。 ③ 弓形（和差法）：弓形 = 扇形 ± 三角形（小于半圆减、大于半圆加）。 ④ 圆锥三量：高 h、底面半径 r、母线 l 满足 。 ⑤ 圆锥侧面积：（r 为底半径，l 为母线）。 ⑥ 圆锥全面积：。 常见题型 入手点 用到的结论 直接套弧长与扇形面积公式 先确认半径 R 与圆心角 n° ； 或 求弓形面积 先判断弓形小于还是大于半圆 弓形 = 扇形 ± 三角形 弯形管道、材料下料 把弯的部分先算弧长再相加 展直长度 = 各段直管 + 中间弧长 圆锥的侧面积与全面积 认准 r 与 l，必要时先用勾股求 l ； 圆锥侧面展开图填空 抓住扇形半径 = 母线 、弧长 = 底面周长 十、课后巩固 1. 在半径为 R 的圆中，120° 的圆心角所对的弧长是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2. 半径为 6 的圆中，圆心角为 60° 的扇形面积是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3. 已知扇形的半径为 3，弧长为 ，则该扇形的面积是 ______。 4. 圆锥的母线长为 5，底面圆半径为 3，则它的侧面积是 ______。 5. 制造弯形管道，圆弧半径 R = 600 mm，圆心角 n = 90°，两段直管各长 500 mm。求管道的展直长度 L。 6. 已知圆锥的底面半径为 4，母线长为 5，求圆锥的侧面积与全面积。 参考答案与解析 1. B。由弧长公式 ，故选 B。 2. A。由扇形面积公式 ，故选 A。 3. 。 由 。 4. 。 由 。 5. 中间弧长 ，约 942 mm；展直长度 ，约 1942 mm。 6. 侧面积 ；全面积 。 十一、技能自查 序号 自查内容 能否做到 1 能说出弧长公式，并会判断公式里的 n 为什么不带单位 □ 能　□ 还需复习 2 能准确写出扇形面积的两种形式，并会根据已知条件选用 □ 能　□ 还需复习 3 遇到弓形面积会先用和差法，并判断该「加」还是「减」 □ 能　□ 还需复习 4 知道圆锥的母线、高、底面半径，会用勾股关系 互求 □ 能　□ 还需复习 5 会把圆锥侧面展开想成扇形，说出扇形的半径和弧长分别等于什么 □ 能　□ 还需复习 6 会计算圆锥的侧面积 与全面积 □ 能　□ 还需复习 十二、知识追问 追问 1　弧长公式 与圆的周长 有什么联系？ 圆的周长对应圆心角 360°，把 360 套进弧长公式，得到 ，正好就是圆周长。所以弧长公式是圆周长公式的「按比例取一段」：圆心角是 360° 的几分之几，弧长就是圆周长的几分之几。 反过来，如果已知一段弧长占圆周长的比例，也能直接写出它所对的圆心角度数。弧长、圆周长、圆心角，三者始终是「同一段弧」上的三个量。 追问 2　扇形面积公式 与圆的面积公式有什么关系？ 圆的面积是 ，对应圆心角 360°。把 n = 360 代入扇形公式，得到 ，正是圆面积。所以扇形面积是「圆面积按圆心角比例取一份」，和弧长公式的思路完全一致。 也正因如此，扇形公式 2（）和三角形面积公式 结构相同：把弧看成底、半径看成高。记住这个类比，两个扇形公式都不容易记错。 追问 3　圆锥的侧面展开图为什么一定是扇形？它的半径和弧长分别等于什么？ 圆锥的侧面是由一条母线「扫」过底面圆周得到的。沿一条母线剪开铺平后，所有母线的长度不变（都相等，等于 l），所以展开图的边是到同一顶点距离都等于 l 的弧——这正是扇形（半径 = l）。而底面圆周被「拉直」成了扇形的弧，所以扇形的弧长正好等于底面周长 。 抓住这两点（半径 = 母线 l、弧长 = 底面周长 ），圆锥的侧面积和圆心角都能从扇形公式直接得到，不用死记。 十三、章内位置与中考对接 29.3 是第二十九章《圆》中「与圆有关的计算」的核心一节。前面的 29.1、29.2 研究圆的基本性质（概念、垂径定理、圆心角、圆周角），本节开始研究圆的「度量」（弧长、扇形、弓形、圆锥），是把圆的性质用于计算的转折点。 教材位置 内容 P134 弧长公式 ；扇形面积公式 或 P134—P135 例题：弯形管道展直长度、排水管截面弓形面积 P135 起 圆锥：母线、高、底面半径关系；侧面展开图；侧面积 、全面积 本节的四组公式要按「弧 → 扇形 → 弓形 → 圆锥」的线索串起来记：弧长决定扇形的大小，扇形是弓形和圆锥的「积木」，圆锥的侧面又是一个扇形。 中考怎么考 ① 选择、填空题：直接用弧长公式、扇形面积公式进行计算；判断公式的正误（如 n 是否带单位）。 ② 计算题：用和差法求弓形面积；求圆锥侧面积、全面积（常与勾股定理 结合）。 ③ 实际应用：弯形管道、扇形零件的下料长度；排水、容器截面中有水部分的面积。 ④ 思想方法：「把曲面展成平面」「把不规则图形拆成规则图形（和差法）」的思想，后面研究其它立体图形时还会用到。 十四、本节边界 ★ 本节边界：本清单只研究弧长与扇形面积、弓形面积（和差法），以及圆锥（母线、高、底面半径的关系，侧面展开图，侧面积与全面积）。圆中其它与度量有关的问题，以及本章后续还将安排的内容（如直线与圆的位置关系、多边形与圆等），都不属于本课时。 学科网（北京）股份有限公司 $