第30章 直线与圆的位置关系 数学活动（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦直线与圆的位置关系，引导学生掌握纸条平结制作正五边形的方法、理解其边角特征及内接于圆的性质，学习等分圆周与设计几何图案。课堂导入通过生活中正五边形实物与圆形图案情境，复习正多边形与圆的关系，自然引出实操探究，搭建新旧知识联系支架。 这份导学案突出动手操作与几何思维结合，通过纸条平结实操、测量验证培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），通过证明正五边形性质提升推理能力（数学思维），设计图案环节让学生用数学语言表达对称美（数学语言），典型例题与中考题结合，强化知识应用，适合自主与合作学习，激发探究兴趣。

第30章 直线与圆的位置关系 数学活动 （导学案） (1)掌握纸条平结制作正五边形的操作方法，理解平结正五边形的边角特征；掌握等分圆周的基本方法，能结合直线与圆的位置关系、圆的对称性设计规范的几何图案. (2)通过动手打结、测量验证、圆周等分、图案绘制的探究过程，提升动手操作能力、几何观察能力和推理归纳能力，熟练运用数形结合思想分析几何图形. (3)感受几何图形的对称美、秩序美，体会数学源于生活、用于生活，激发几何探究兴趣，培养严谨的实操习惯和创新设计意识. 重点：纸条平结制作正五边形的操作流程及几何原理分析； 等分圆周的方法及利用圆周等分设计几何图案的基本思路. 难点：理解纸条平结形成正五边形的几何本质（边长相等、内角相等、内接于圆）. 结合直线与圆的位置关系、圆的对称性，自主设计规范、对称的圆形几何图案. 第一环节 自主学习 温故知新： 复习旧知、类比导入 情境展示：播放两组图片，第一组为生活中正五边形实物（五角星、建筑装饰、徽章纹样），第二组为等分圆周形成的圆形艺术图案（窗花、徽章、纹样边框） 问题设问：（1）我们已经学习了正多边形与圆的关系，正五边形如何精准内接于圆？ （2）生活中精美的圆形对称图案，用到了圆的哪些几何性质？ （3）不用圆规量角，仅用一张纸条，能否快速制作标准正五边形？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ168内容 【学法指导】自研课本Ｐ168内容 （一） 活动一：纸条平结 问题：平结是一种古老、实用的结索，以一线(或一物)为轴，将另一线的两端绕轴穿梭而成，是中国结(图1)的基本结之一、“平”有高低相等、不相上下之意，同时又有稳定的含义，给人以四平八稳之感. 利用纸条平结可以得到多种几何图形、例如，我们可以将一根足够长的矩形纸条打一个简单的结，收紧并按压平整，就得到了一个五边形(图2). 实操演示 学生动手，教师讲解并分步演示纸条平结操作步骤，学生同步实操： （1）取一条宽度均匀的长方形细长纸条； （2）将纸条打一个普通活结，轻轻拉紧、抚平，避免褶皱； （3）将多余的纸条边角向内折叠、压平，得到封闭的五边形图形. 猜想探究 设问：我们手工制作的五边形是正五边形吗？请结合工具验证猜想。 学生活动： 得出结论：纸条平结得到的是正五边形. 证明结论：通过纸条平结得到的五边形，证明该五边形为正五边形，并分析其与圆的位置关系. 分析： 证明： 位置关系分析： 1. 根据正多边形与圆的性质，任意正多边形都有唯一的外接圆，因此该正五边形存在外接圆； 2. 正五边形的五条边所在直线均与外接圆相交（直线与圆有两个公共点），符合直线与圆相交的位置关系； 3. 正五边形的五个顶点均在圆上，为圆的内接正五边形. 活动小结： 纸条平结的核心原理：均匀纸条折叠的对称性→边角相等→构成正五边形→内接于圆，各边所在直线与圆相交. （二）活动二：等分圆周，设计圆形图案 回顾核心知识点：圆具有旋转不变性、轴对称性；等分圆周可得到圆的内接正多边形；等分后的半径、弦可结合直线与圆的相交、相切关系绘制图案。 实操演示：四等分、六等分圆周 创意设计：组合设计图案 引导学生结合直线与圆的位置关系创意作图： 解决问题：已知一个圆O，半径为2cm，请通过六等分圆周的方法，绘制对称几何图案，并说明图案中直线与圆的位置关系. 分析： 详解： 【自研自探】 自研课本Ｐ168内容 典型例题 例1．阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 第二环节 合作探究 1.讨论纸条平结得到的五边形是什么五边形？ 2.讨论如何等分圆周，设计圆形图案？ 1．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 课本总复习题30第6题. 1．（2026·宁夏中考）如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 2．（2026商洛·期末）如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 3.（2026·徐州二模）正六边形在中国的传统文化中，不仅是一种优美的几何形态，还承载着深厚的文化意蕴，代表“六合相融”和“六顺安康”，象征天人合一，生活中也有很多正六边形的图案，比如中国传统园林和建筑中的六角窗，如图1． (1)如图2，已知，求作的内接正六边形； (2)如图3，在正中，点是边上的一点，求作正六边形，使点、分别在边、上． （要求：尺规作图，保留作图痕迹） 知识技能：（1）掌握 ，理解其 ，且为 . （2）熟练掌握 方法，能区分 的应用. （3）学会利用 的关系，自主设计 . 思想方法：（1）数形结合思想：将手工 . （2） 建模思想： . （3）对称与变换思想： . （4）归纳推理思想： . 易错提醒：（1）纸条平结时， ，操作需严谨规范. （2）等分圆周时， . （3）混淆 . （4）设计图案时， . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30章 直线与圆的位置关系 数学活动 （导学案） (1)掌握纸条平结制作正五边形的操作方法，理解平结正五边形的边角特征；掌握等分圆周的基本方法，能结合直线与圆的位置关系、圆的对称性设计规范的几何图案. (2)通过动手打结、测量验证、圆周等分、图案绘制的探究过程，提升动手操作能力、几何观察能力和推理归纳能力，熟练运用数形结合思想分析几何图形. (3)感受几何图形的对称美、秩序美，体会数学源于生活、用于生活，激发几何探究兴趣，培养严谨的实操习惯和创新设计意识. 重点：纸条平结制作正五边形的操作流程及几何原理分析； 等分圆周的方法及利用圆周等分设计几何图案的基本思路. 难点：理解纸条平结形成正五边形的几何本质（边长相等、内角相等、内接于圆）. 结合直线与圆的位置关系、圆的对称性，自主设计规范、对称的圆形几何图案. 第一环节 自主学习 温故知新： 复习旧知、类比导入 情境展示：播放两组图片，第一组为生活中正五边形实物（五角星、建筑装饰、徽章纹样），第二组为等分圆周形成的圆形艺术图案（窗花、徽章、纹样边框） 问题设问：（1）我们已经学习了正多边形与圆的关系，正五边形如何精准内接于圆？ （2）生活中精美的圆形对称图案，用到了圆的哪些几何性质？ （3）不用圆规量角，仅用一张纸条，能否快速制作标准正五边形？ 【学法指导】 新知自研：自研课本Ｐ168内容 【学法指导】自研课本Ｐ168内容 （一） 活动一：纸条平结 问题：平结是一种古老、实用的结索，以一线(或一物)为轴，将另一线的两端绕轴穿梭而成，是中国结(图1)的基本结之一、“平”有高低相等、不相上下之意，同时又有稳定的含义，给人以四平八稳之感. 利用纸条平结可以得到多种几何图形、例如，我们可以将一根足够长的矩形纸条打一个简单的结，收紧并按压平整，就得到了一个五边形(图2). 实操演示 学生动手，教师讲解并分步演示纸条平结操作步骤，学生同步实操： （1）取一条宽度均匀的长方形细长纸条； （2）将纸条打一个普通活结，轻轻拉紧、抚平，避免褶皱； （3）将多余的纸条边角向内折叠、压平，得到封闭的五边形图形. 猜想探究 设问：我们手工制作的五边形是正五边形吗？请结合工具验证猜想。 学生活动：利用直尺测量五条边长度，用量角器测量五个内角大小，记录数据. 得出结论：纸条平结得到的是正五边形. 证明结论：通过纸条平结得到的五边形，证明该五边形为正五边形，并分析其与圆的位置关系. 分析：解题核心思路：依托纸条宽度均匀的特征，结合折叠的对称性，证明五条边全部相等、五个内角全部相等，依据正多边形定义判定正五边形；再结合正多边形与圆的性质，推导其与圆的位置关系. 知识点关联：正多边形的判定、图形折叠的对称性、正五边形的外接圆性质、直线与圆的位置关系. 难点突破：纸条折叠后重合的线段、角度相等是解题关键，均匀纸条保证各边折叠误差一致. 证明：1. 因为所用纸条宽度均匀，打结折叠过程中，纸条各段拉伸、折叠程度完全一致； 2. 由折叠的轴对称性质可得：平结形成的五边形五条边长度对应相等，五个内角度数对应相等； 3. 根据正多边形定义：各边相等、各内角相等的五边形为正五边形，因此该平结图形为正五边形. 位置关系分析： 1. 根据正多边形与圆的性质，任意正多边形都有唯一的外接圆，因此该正五边形存在外接圆； 2. 正五边形的五条边所在直线均与外接圆相交（直线与圆有两个公共点），符合直线与圆相交的位置关系； 3. 正五边形的五个顶点均在圆上，为圆的内接正五边形. 活动小结： 纸条平结的核心原理：均匀纸条折叠的对称性→边角相等→构成正五边形→内接于圆，各边所在直线与圆相交. （二）活动二：等分圆周，设计圆形图案 回顾核心知识点：圆具有旋转不变性、轴对称性；等分圆周可得到圆的内接正多边形；等分后的半径、弦可结合直线与圆的相交、相切关系绘制图案。 实操演示：四等分、六等分圆周 学生用圆规、直尺完成基础等分： （1）四等分圆周：作圆的两条互相垂直的直径，四等分圆周，得到圆内接正方形； （2）六等分圆周：以圆的半径为弦长，依次截取圆周，六等分圆周，得到圆内接正六边形. 创意设计：组合设计图案 引导学生结合直线与圆的位置关系创意作图： （1）利用等分点连接弦（直线与圆相交），绘制对称多边形纹样； （2）过等分点作圆的切线（直线与圆相切），组合切线与弦，设计双层对称图案； （3）结合多次等分、虚实线条，完成个性化圆形几何图案. 解决问题：已知一个圆O，半径为2cm，请通过六等分圆周的方法，绘制对称几何图案，并说明图案中直线与圆的位置关系. 分析：思路：先规范完成圆的六等分，连接等分点得到弦，再按需作切线，结合直线与圆的位置关系定义分类判断. 关联：圆周等分方法、正六边形与圆的关系、直线与圆相交/相切的判定. 难点突破：精准等分圆周，规范区分弦（相交）与切线（相切）两种直线位置关系. 详解：步骤1：绘制基础圆形，用圆规作半径r=2cm的圆⊙O. 步骤2：六等分圆周，以圆O上任意一点为起点，2cm为弦长（等于半径），在圆周上依次截取6个等分点，标记为A、B、C、D、E、F. 步骤3：绘制基础图案线条 1. 依次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到圆内接正六边形； 2. 过每个等分点作圆的切线，相邻切线相交形成外框六边形。 步骤4：位置关系判定 1. 正六边形的各边（AB、BC等弦）：与圆有2个公共点，直线与圆相交； 2. 过等分点的各条切线：与圆只有1个公共点，直线与圆相切； 3. 图案外空白区域直线：与圆无公共点，直线与圆相离（可选拓展）. 5. 作品展示 选取3-4份学生优秀作品展示，点评图案对称性、规范性，强化几何原理的应用. 【自研自探】 自研课本Ｐ168内容 典型例题 例1．阅读与思考 尺规作图 一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何图案． 正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1或图2中正方形的内嵌正八边形吗？ 初步分析：从整体特征与元素特征两个角度回顾正八边形的性质． （1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性． （2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于． 深入分析：以图2正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接，，，，发现的结论如下： （1），，，分别是正方形各边的中点； （2）是顶角为，底角为的等腰三角形； （3）中，； （4）___________________________． 动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图 （1）如图4，作边，的垂直平分线，分别交，，，于点，，，； （2）分别作和的角平分线，交于点；利用旋转对称性作出点，，； （3）顺次连接这八个点． ∴八边形为正方形的内嵌正八边形． 任务： (1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________． (2)类比研究图2正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接，，交于点．线段是否与线段相等，请说明理由． (3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形中作出其内嵌正八边形（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【分析】（1）根据点，由旋转对称性作图得到，得出，即可求解． （2）根据多边形内角和定理求得，进而可得，根据四边形是正方形，得出，根据正八边形得出，证明得出． （3）根据正方形的性质和正八边形的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一，合理即可） ∵，且点，由旋转对称性作图得到， ∴对角线经过正方形内嵌正八边形的顶点和， ∴． (2)． 理由如下： ∵正八边形的内角和是， ∴， ∴，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵八边形是正八边形， ∴． 在与中， ∴， ∴． (3)如图，八边形即为所作．（答案不唯一，合理即可） 第二环节 合作探究 1.讨论纸条平结得到的五边形是什么五边形？ 2.讨论如何等分圆周，设计圆形图案？ 1．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴， ∴，即 ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为； （2）解：． 理由如下：连接，，如图， ∵六边形是等边半正六边形． ，． 在与中， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴； (3)作法一：如图，六边形即为所求， 作法二：如图，六边形即为所求， 作法一证明：∵是正三角形，是它的外接圆， ∴、、分别为、、的垂直平分线，，，， ∴，，， ∴，，， 由作图可知， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴六边形即为等边半正六边形． 作法二同理可证． 课本总复习题30第6题. 1．（2026·宁夏中考）如图，与正六边形相切，仅用无刻度直尺按要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作的角平分线； (2)过点画一条直线将图形分成面积相等的两部分． 【详解】(1)如图，即为所求； (2)如图，直线即为所求． 2．（2026商洛·期末）如图，已知直线，点是直线上一点，利用尺规作图法作正方形，使得点、在直线上，点在点右侧．（不写作法，保留作图痕迹） 【详解】 3.（2026·徐州二模）正六边形在中国的传统文化中，不仅是一种优美的几何形态，还承载着深厚的文化意蕴，代表“六合相融”和“六顺安康”，象征天人合一，生活中也有很多正六边形的图案，比如中国传统园林和建筑中的六角窗，如图1． (1)如图2，已知，求作的内接正六边形； (2)如图3，在正中，点是边上的一点，求作正六边形，使点、分别在边、上． （要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【详解】(1)所求图形如图所示 (2)所求图形如图所示 知识技能：（1）掌握纸条平结制作正五边形的实操方法，理解其几何本质为等角等边的正多边形，且为圆的内接正五边形，各边与圆相交. （2）熟练掌握四等分、六等分圆周的基本作图方法，能区分直线与圆相交、相切、相离三种位置关系在图案中的应用. （3）学会利用圆的对称性、正多边形与圆的关系，自主设计规范的几何对称图案. 思想方法：（1）数形结合思想：将手工图形、几何图案与几何定义、数量关系结合，以形助数、以数释形. （2）建模思想：通过动手操作将生活图形转化为标准几何模型. （3）对称与变换思想：利用圆的旋转、轴对称性质完成作图与设计. （4）归纳推理思想：通过实操测量、观察对比，归纳图形的几何特征与规律.易错提醒：（1）纸条平结时，未完全压平、纸条宽度不均，会导致图形边角不等，不是标准正五边形，操作需严谨规范. （2）等分圆周时，截取弦长误差过大，会导致等分不均匀，图案对称性缺失，作图需准确. （3）混淆图案中弦切线的位置关系，弦所在直线与圆相交，切点所在直线与圆相切，不可混淆定义. （4）设计图案时，只注重美观，忽略几何原理，需做到美观与几何规范性统一. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $