精品解析：江苏泰州市姜堰区励才实验学校2026-2027学年第一学期九年级第一次学情自测数学试卷

励才实验学校2026—2027年九年级数学学情了解 一、选择题（本大题共6小题．每小题3分．共18分） 1. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 2. 用配方法解方程x2-4x+2=0，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得． 【详解】解：∵x2-4x+2=0， 移项得x2-4x=-2， ∴x2-4x+4=-2+4， ∴（x-2）2=2， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 4. 如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先得到，然后证明，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵与是位似图形，位似中心为点O， ∴ ∴ ∴ ∴与的周长比为． 5. 若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将点A，B，C的横坐标分别代入，得，，． ∵， ∴，， ∴． 6. 如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质说明，可得，再根据一元二次方程根的判别式得出答案． 【详解】解：∵，点为中点， ∴，． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 整理，得． 关于x的方程中， ∴方程有两个相等的实数根． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分．共30分） 7. 已知一元二次方程的一个根为3，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程可得关于n的方程，然后解n的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8. 已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限内， ∴， 解得． 9. 若函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 11. 如图，已知，，则的长为_____ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边的比相等即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：6． 12. 如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且．若矩形矩形，且相似比为，则的长是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质和矩形性质求得，，进而可求解． 【详解】解：矩形矩形，且相似比为， ， 四边形为矩形， ， ， ，， ． 13. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质．延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上，的对应线段恰好经过点O．则k的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系数法求反比例函数的解析式等，求得 是等边三角形是解题的关键．先求得是等边三角形，即可求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得的值． 【详解】解：∵轴, ， ， ， ， ， 是等边三角形， 如图，过点作轴于点， ， ∴， ∴， ∴， ， ∵双曲线 经过点， ， 故答案为： 15. 如图，边长为8cm的正方形中，有一个小正方形，其中、、分别在、、上，若2cm，则小正方形的面积等于________． 【答案】 【解析】 【分析】在正方形中，由，可得CF的长；再由“一线三等角”，证得，从而推得；由相似三角形的性质，可得BE的长，从而根据勾股定理可得的值，即小正方形的面积． 【详解】解：正方形的边长为，， ， 四边形和均为正方形， ， ，， ， ， ， ， ， 小正方形的面积等于： 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用，本题难度中等，属于中档题． 16. 如图，矩形中，，在边上取一点，将翻折，使点落在点处，折痕为，于点．若交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作交的延长线于点H，根据矩形的性质得到，则可求出；证明，得到；设，则，由折叠的性质可得，由勾股定理得，解得或（舍去），，可得，解得． 【详解】解：如图所示，过点P作交的延长线于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 三、解答题 17. 用适当的方法解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得，． 18. 已知是的反比例函数，且当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）求当时，的值； （3）当取何值时，？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式计算即可； （3）由（1）中所求函数表达式，将代入表达式解方程即可． 【小问1详解】 解：是的反比例函数， 设， 当时，， ，解得， 则这个函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，； 【小问3详解】 解：由（1）知反比例函数表达式为， 当时，，解得， 经检验是分式方程的解， 当时，． 19. 、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，列式，再进行计算，即可作答． （2）先结合，整理得，根据根与系数的关系，得，再分别代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 即， 整理得， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵、是关于的一元二次方程的两个实数根． ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 则， 解得， 由（1）得， ∴． 20. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 21. 如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∵在直线上， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 22. 通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）______． （2）当时，求y与x的函数关系式． （3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由． 【答案】（1）20 （2） （3） 解：经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60． 理由如下： 由题意得：， 解得， ， 经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60． 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、不等式组的实际应用： （1）根据描述可直接得出答案； （2）设双曲线解析式为，将C点坐标代入求出k值，进而求出点D、点A坐标，再利用待定系数法求y与x的函数关系式； （3）根据一次函数、反比例函数解析式列出不等式组，求出不等式组的解集，即可判断． 【小问1详解】 解：20分钟后注意力开始分散， ， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：由（1）可知，点C的坐标为， 设双曲线解析式为， 将代入，得：，解得， 将代入，得， 点A的坐标为， 由图可得点B的坐标为， 设时，求y与x的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， y与x的函数关系式为； 【小问3详解】 略 23. 如图，每个小方格均为正方形，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）如图1，与相交于点，则_________； （2）如图2，与方格线相交于点．请用无刻度直尺，在上找一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2） 如图2，，点为所求， 同理（1）可得， 在图中找出格点、，同理可得， ∴，即， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据可得，由此得出，根据网格线段即可得出比值； （2）同理可得，再在上找一点，使即可， 本题考查了相似三角形的判定和性质，无刻度直尺作图，解题关键是以网格格点作图为背景，利用平行线和线段长转化线段比． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 24. 综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 （1）下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： （2）请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】（1）③ （2）解：选择甲同学的方案： 过点E作于点H，交于点G， 根据题意，得， 四边形是矩形，四边形是矩形 ，米，， 四边形是矩形， 米，米， 米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）， ∴（米）． 选择乙同学的方案： 过点E作于点M，交于点N， 根据题意，得， 四边形是矩形 米，米，， ， 根据题意，得米，米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的知识，发现两种方案都是可以的： （2）选择一种方案，利用相似三角形的知识给出解答即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 25. 曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． （1）如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； （2）若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； （3）如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 【答案】（1） 证明：∵A、C的横坐标分别是和3，且点A、C在反比例函数图像上， ∴点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （2）对角线所在直线经过原点， 证明：∵点A、C在反比例函数图像上， 设点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点，，得出，,再求出直线的解析式为：，证明在直线上，即可得出结论； （2）设点，，同（1）即可求解； （3）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点，证明，设，则，得出，进而根据完全平方公式变形得出，再根据三角形的面积公式以及勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点， ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设，则 ∴ ∵点A、C在反比例函数图像上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） ∴ 26. 如图，在中，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）当和时，求的值． （2）试判断当时，的大小有无变化请仅就图的情况给出证明． （3）当旋转至，，三点共线时，求线段的长． 【答案】（1） （2） 如图， 当时，的大小没有变化，  ，  ，  又，  ，  （3）的长为或， 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）①利用三角形的中位线定理即可解决问题；②证明，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． （2）证明，推出，可得结论． （3）利用勾股定理求出，再利用（2）中结论即可解决问题． 【小问1详解】 解：①当时， 中，， ， 点、分别是边、的中点， ，， ． 如图， 由①知，则 ， 当时，则在同一条直线上， ∵， ∴， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，   ，，，  ，  ，，，  四边形是矩形，    如图，连接，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点， ，，，  ，  点、分别是边、的中点，  ，  ，  由（2），可得 ，    综上所述，的长为或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 励才实验学校2026—2027年九年级数学学情了解 一、选择题（本大题共6小题．每小题3分．共18分） 1. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程x2-4x+2=0，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 4. 如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分．共30分） 7. 已知一元二次方程的一个根为3，则的值为_________． 8. 已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 9. 若函数是反比例函数，则的值为__________． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 11. 如图，已知，，则的长为_____ 12. 如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且．若矩形矩形，且相似比为，则的长是__________． 13. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为__． 14. 如图，在中，，，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上，的对应线段恰好经过点O．则k的值是_________． 15. 如图，边长为8cm的正方形中，有一个小正方形，其中、、分别在、、上，若2cm，则小正方形的面积等于________． 16. 如图，矩形中，，在边上取一点，将翻折，使点落在点处，折痕为，于点．若交于点，则______． 三、解答题 17. 用适当的方法解方程． （1） （2） 18. 已知是的反比例函数，且当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）求当时，的值； （3）当取何值时，？ 19. 、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 20. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 21. 如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 22. 通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）______． （2）当时，求y与x的函数关系式． （3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由． 23. 如图，每个小方格均为正方形，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）如图1，与相交于点，则_________； （2）如图2，与方格线相交于点．请用无刻度直尺，在上找一点，使（保留作图痕迹）． 24. 综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 （1）下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： （2）请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 25. 曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． （1）如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； （2）若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； （3）如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 26. 如图，在中，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）当和时，求的值． （2）试判断当时，的大小有无变化请仅就图的情况给出证明． （3）当旋转至，，三点共线时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $