精品解析：江苏泰州市姜堰实验中学2025-2026学年九年级上学期第一次独立作业(9月月考)数学试卷

2025-2026年秋学期九年级数学独立作业一 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为（　　） A. ﹣3 B. ﹣5 C. 3 D. 5 2. 已知的半径为，点A到圆心O的距离为，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在内 B. 点A在上 C. 点A在外 D. 不能确定 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为直径，弦，垂足为点E，若的半径为13，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 一元二次方程x2=9的解是_____________． 8. 如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则__________________________． 9. 如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是_____． 10. 如图，是的直径，若，则______． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根；则的值为__________． 12. 三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为_________________． 14. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 _______寸． 15. 如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，、，动点P在以点B为圆心，半径为1的圆上，点Q在直线的上方，且满足，，则的最大值为________________． 三、解答题（共10小题，共102分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点A、B、C、D在上，，求、的度数． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两根之差为，求此时的值． 21. 如图，是的直径，弦交于点E，，，求的度数． 22. 如图，已知四边形内接于，、的角平分线分别交于点、，连接．求证：为的直径． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某商场对接的工厂车间借助智能化，对某种衬衫进行一体化加工，生产效率提升，该衬衫4月份生产2500件，6月份生产3600件． 素材2 该商场销售这批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． 问题解决 （1）该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率是多少？ （2）为使降价后商场销售这批衬衫每天赢利1250元，那么衬衫的单价应该降多少元？ 24. 如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线 （1）请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由； （2）在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径． 25. 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． （1）下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； （2）若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 26. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，一个点到达时另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． （1）当时，则的面积为 ； （2）运动过程中，的面积能否为？若能，求出此时的值；若不能，试说明理由； （3）运动过程中，以为圆心，为半径作． ①若、、三点中，其中有两个点在内，有一个点在外，直接写出t的取值范围； ②当与矩形的边只有三个交点时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年秋学期九年级数学独立作业一 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 若x＝1是方程x2﹣4x+m＝0的根，则m的值为（　　） A. ﹣3 B. ﹣5 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2. 已知的半径为，点A到圆心O的距离为，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在内 B. 点A在上 C. 点A在外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径大小的比较，确定点与圆的位置关系． 【详解】解：∵圆的半径是，点A到圆心的距离是，小于圆的半径， ∴点A在内． 故选A． 【点睛】本题考查的是对点与圆的位置关系的判断．关键要记住：若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 4. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程． 设长为步，则宽为步，根据题意，列方程． 【详解】解：设长为步，则宽为步， 由题意可得：， 故选：A． 5. 如图，为直径，弦，垂足为点E，若的半径为13，，则长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，垂径定理得到，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， ∵为直径，弦， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 6. 如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接 ，利用半径相等可得等腰三角形，结合角的和差关系及圆周角定理求解． 【详解】解：连接 ，如图， ， ，， ， 由图可知， 又， . ， ． 二、填空题（每题3分，共30分） 7. 一元二次方程x2=9的解是_____________． 【答案】x=±3 【解析】 【分析】试题分析：利用直接开平方法即可进行求解. 考点：解一元二次方程 【详解】x2=9,解得：x=±3 8. 如图，是的半径，是的弦，且于点．若，，则__________________________． 【答案】 【解析】 【分析】由，根据垂径定理，可得，在中利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：是的半径，是的弦，且于点， ，， 在中，根据勾股定理可得， ． 9. 如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根之和是，两根之积是．根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和，即可求解． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ， 故答案为：． 10. 如图，是的直径，若，则______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，连接，由圆周角定理可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根；则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，得出关于m的方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=b2-4ac=（-2）2-4×3m=0， 解得m=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，掌握知识点是解题关键． 12. 三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是． 故答案为． 13. 如图，在平面直角坐标系中，．则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键． 的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点坐标． 【详解】解：， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得， 故答案为：. 14. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 _______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 15. 如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，、，动点P在以点B为圆心，半径为1的圆上，点Q在直线的上方，且满足，，则的最大值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，将绕点A逆时针旋转得，连接，过点作轴于点，以点为圆心，为半径画圆，连接并延长，交于点，证明，得出，证明，得出，，说明点Q在以点为圆心，1为半径的圆上，从而得出当点Q在点处时，最大，且最大值为，求出最大值即可． 【详解】解：连接，，将绕点A逆时针旋转得，连接，过点作轴于点，以点为圆心，为半径画圆，连接并延长，交于点，如图所示： ∵， ∴， 根据旋转可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵、， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点Q在以点为圆心，1为半径的圆上， ∴当点Q在点处时，最大，且最大值为， ∵， ∴的最大值为． 三、解答题（共10小题，共102分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3），； （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解： ∴或； ∴，； 【小问4详解】 解： 其中，， ∴， ∴， ∴，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 19. 如图，点A、B、C、D在上，，求、的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等和圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）求解． 【详解】解：∵，， ∴，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两根之差为，求此时的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中， ，，， ． 对任意实数，，即， 方程总有两个实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负，即可证得方程总有两个实数根； （2）通过因式分解得到方程的两根，结合两根差为的条件列绝对值方程，求解得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将方程左边因式分解，得， 解得，， 方程两个根的差为， ，即， 化简得， 或， 解得或. 21. 如图，是的直径，弦交于点E，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角等于，求出，再根据外角的性质得出的度数． 【详解】解：连接． ， ， ， 是的直径， ， ， ，， ． 22. 如图，已知四边形内接于，、的角平分线分别交于点、，连接．求证：为的直径． 【答案】证明：平分， ， 、都是的圆周角， 且对，对， ， 同理，平分， ， ， ， 且，， ， 即， 为，即、为的一条直径的两个端点， 为的直径． 【解析】 【分析】根据圆内接四边形性质得到，结合角平分线得到两组相等圆周角，进而推出，，再求出的度数为，证明是直径． 【详解】证明过程见答案处． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某商场对接的工厂车间借助智能化，对某种衬衫进行一体化加工，生产效率提升，该衬衫4月份生产2500件，6月份生产3600件． 素材2 该商场销售这批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件． 问题解决 （1）该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率是多少？ （2）为使降价后商场销售这批衬衫每天赢利1250元，那么衬衫的单价应该降多少元？ 【答案】（1） 该商场对接的工厂车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为 （2） 衬衫的单价应该降15元 【解析】 【分析】（1）利用月平均增长率的数量关系列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列一元二次方程求解． 【小问1详解】  解：设4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，则6月份产量为件， 根据题意可知，， 解得，（不符合实际意义，舍去）， 答：4月份到6月份生产数量的月平均增长率是． 【小问2详解】 解：设衬衫的单价降元， ∵原平均每天售出20件，每件赢利40元，单价每降1元多售2件， ∴降价后每件利润为元，每天销售量为件， ∵每天赢利1250元， ∴， 解得， 答：衬衫的单价应该降15元． 24. 如图，已知为的直径，点D在上，弦交于点E（不与点O、B重合），F为延长线上一点，给出下列信息：①；②；③为的切线 （1）请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由； （2）在（1）的条件下，若，B为的中点，求的半径． 【答案】（1）条件①②结论③ 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线； 条件①③结论② 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∵， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴； 条件②③结论① 证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵为的切线， ∴． ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴； （2）3 【解析】 【分析】（1）选择条件①②，证明结论③，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据垂直定义得出，进而得出，即可得证； 选择条件①③，证明结论②，连接，根据半径相等得出，根据切线的性质得出，进而得出，根据垂直定义得出，进而得出，根据余角的性质和对顶角的性质即可得证； 选择条件②③，证明结论①，连接，根据半径相等得出，根据得出，等量代换后得出，根据切线的性质得出，进而得出，进而得出，即可得证； （2）设，则，，由（1）知：，，在中，根据勾股定理构建关于x的方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵B为的中点， ∴， 由（1）知：，， ∴在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为． 25. 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根、，若，那么称这样的方程为“和谐方程”．例如，方程的两个根是4和7，则这个方程就是“和谐方程”． （1）下列方程是“和谐方程”的是 （填序号） ①；②；③； （2）若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，若，，求a、b、c的值． 【答案】（1） ① （2） 的值为或 （3） ，， 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程，得出两个实数根的值，检查是否成立即可； （2）用因式分解法解方程，得出两根分别为2、，进行分类讨论，按照和谐方程的定义解出m的值； （3）将代入到根与系数的关系得到：，，用含a的代数式表示出，将、代入得到，求出a的值，利用已知条件求出b、c的值． 【小问1详解】 解： 或 所以：， ， 所以是和谐方程； 或， 所以：， ， 所以：不是和谐方程； 所以：不是和谐方程； 【小问2详解】 或， 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 若，，根据和谐方程的定义，可得：， 解得：； 综上所述，m的值为1或2； 【小问3详解】 设方程两根为，且， 根据根与系数的关系，可以得：，， ，， ，， 将代入得：， 将代入得：， 将代入得：， 解得：， 当时，，， 方程为， 解得，满足、，符合题意； 当时，，， 方程为， 解得，，不满足，不符合题意，舍去； 综上所述，，，． 【点睛】本题属于新定义型问题，主要考查一元二次方程的解法和根与系数的关系的综合应用． 26. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，一个点到达时另一个点也停止运动．设运动时间为t秒． （1）当时，则的面积为 ； （2）运动过程中，的面积能否为？若能，求出此时的值；若不能，试说明理由； （3）运动过程中，以为圆心，为半径作． ①若、、三点中，其中有两个点在内，有一个点在外，直接写出t的取值范围； ②当与矩形的边只有三个交点时，求t的值． 【答案】（1）8 （2）不能．理由是表示面积的方程  没有实数解． （3）①，② 或． 【解析】 【分析】（1）根据点的运动速度和时间得出， ．则 ．再结合三角形面积公式求解即可， （2）假设面积能为，列一元二次方程求解，根据方程无解即可得出的面积不能为． （3）根据，，在⊙Q内的两点是点B、C，在⊙Q外是点D，再列不等式求解即可；根据点的运动规律找到与矩形的边交点个数的临界状态，分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：根据题意，P到达B点需要  秒，Q到达C点需要  秒．所以  ． 运动时间为t秒．则 ， ．则 ． 当时，(cm)． (cm)． ∵是矩形，∴  ． 的面积为：  ． 【小问2详解】 解：假设面积能为，则： 整理得：， ， 所以该方程没有实数解． 答：不能．理由：表示△BPQ面积的方程  没有实数解． 【小问3详解】 解：① ∵， ∴，， 若B、C、D三点中，其中有两个点在⊙Q内，有一个点在⊙Q外，则在⊙Q内的两点是点B、C，在⊙Q外是点D， 由题可得： ．  ．  ． 当时， 即：   ，即，整理得 ，解得 或 ．   ，即 ，整理得 ，解得   ． 因此，t的取值范围是  ． ②如图1：当圆Q与边相切时，设切点为，连接， ， ∴， 解得：，， 当时，点与点重合，点与点重合，，点D、C在圆外，故此时与矩形D的边只有两个交点，不符合题意舍去， 当时， ，点D、C在圆外，故此时与边有一个交点，与边无交点，即与矩形的边只有三个交点，符合题意，当圆Q经过点时，，如图2，此时与边无交点，与矩形的边只有三个交点，符合题意， ， 解得：，（不合题意舍去，） 当时，如图3，此时与边或边必有一个交点，与边有两个交点，故与矩形的边有四个交点，不符合题意， 当时，如图4，此时与边或边没有交点，与边只有一个交点，故与矩形的边只有两个交点，不符合题意， 综上所述：当与矩形的边只有三个交点时，或． 【点睛】本题是矩形中的双动点综合题．设运动时间为 t，用勾股定理把 、、 都表示成关于 的二次式，是贯穿全题的主线．①把"两点在圆内、一点在圆外翻译为 的距离关系，平方后列不等式组取交集，注意结合 取舍．②抓“圆与矩形边恰有三个公共点“的两个临界状态——圆与边 相切（半径等于 到 的距离 ）和圆恰好经过顶点 D，再分区间排除四交点、两交点情形．核心思想是“动中取定、临界定位、分类讨论”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $