江苏无锡市宜兴市宜城中学2026～2027学年度秋学期九年级 数学 第一次小练习

宜兴市宜城中学2026～2027学年度秋学期 九年级 数学 第一次小练习 出卷：蒋美青 审核：张永 （2026年10月） 班级 姓名 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程是一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 2.如图，A，B，C是上的三个点，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 3．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（      ） A． B． C． D． 4.设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（      ） A．5 B．5或4 C． D．5或 5.若关于x的一元二次方程有实数根，则满足条件的正整数a的个数 是（      ） A．4 B．3 C．2 D．1 （第2题） （第6题） （第7题） 6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁 所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比，关于的函数图象如图所 示．若压强由减压至，则气体体积的变化情况是（      ） A．减小，减小了 B．增大，增大了 C．减小，减小了25mL D．增大，增大了25mL 7.如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形花园， 其面积为，在花园侧面中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），设边的 长为，那么x满足的方程是（      ） A. B. C. D. 8.如图，△AOB的两点A，B在反比例函数的图象上，过B作BD⊥y轴于 点D，交OA于点E．若E为OA的中点，则△AEB的面积是（      ） A．5 B．6 C．4.5 D．4 9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好 方程”．如果关于的一元二次方程与为“友好方程”，则 m可取的值有（      ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （第8题） （第10题） （第12题） 10．如图，是以正方形的顶点为圆心，长为半径的上的点，连接， 将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接.若1，则的最大面积是（      ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为___________． 12．如图，四边形内接于为的延长线上的一点.若，则的度数是___________． 13．已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是___________（写出一种可能的情况即可）． 14．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是___________． （第14题） （第15题） （第16题） 15．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则___________． 16．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么弦AC所对的圆周角的度数是___________． 17．设A，B，C，D是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形；③四边形ABCD可以是矩形；④四边形ABCD不可能是正方形.其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 18．关于的一元二次方程(，，为常数，)有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为___________； （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式 的值为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19．(8分)解下列方程：(1) ； (2) ． 20．（8分）已知y与成反比例函数关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求y的值． 21．（10分）如图，已知△ABC． (1)尺规作图：求作，使经过A，B，C三点； (2)仅用没有刻度的直尺作的内接矩形BCDE．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 22．（10分）已知关于的方程． (1)若该方程的一个根为－2，求m的值及该方程的另一根； (2)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 23． （10分）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． (1)若点B是的中点，求证：； (2)若，，求的半径r． 24．（10分）小新和同学们调查发现，一般情况下，某音乐平台的排行榜中，一首歌曲的播放量（万）随时间（天）的变化规律如图所示（其中分别为线段，为双曲线的一部分）． (1)直接写出线段和双曲线的函数关系式； (2)第5天与第30天相比较，何时歌曲的播放量更大？说明理由． (3)一首歌要保持在热搜榜，播放量需要不少于400万，那么可以保持几天？说明理由． 25．（10分）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”． 素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售 量为杯； 素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每 杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价 元，月销售量就会增加杯． 问题解决： 任务1 确定水果茶的销售量月 平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长 率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元， 该款水果茶应该降价多少元？ 26． （10分）在平面直角坐标系中，函数和直线（k为常数，且）的图象如图所示，若函数与的图象有一个交点． (1)m=___________，k=___________； (2)直接写出不等式的解集； (3)过动点作平行于x轴的直线，分别交函数和的图象于点B、C，在点P的运动过程中，点P、B、C三点中一点是另外两点的所连线段的中点，求此时n的值．    27．（10分）如图，在四边形中，，，，．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为；同时，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，线段的长为？ (2)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻，使点A在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 28．（10分）已知：、、不在同一直线上． (1)若点、、在半径为的⊙上， i）如图①，当时，则=___________，=___________； ii）当时，则等腰△ABC面积为___________． (2)若定长线段的两个端点分别在的两边、（、均与不重合）滑动，如图②，当，时，分别作，，交点为，试探索在整个滑动过程中，、两点间的距离是否保持不变？请说明理由． 宜兴市宜城中学2026～2027学年度秋学期 九年级数学第一次小练习参考答案及评分标准 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A B B D C A B 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11．6 12．65° 13．（1，4）（答案不唯一） 14．70° 15．－4 16．45°或135° 17．①③④ 18．－1； 三、解答题：（本大题共10小题，共96分．） 19．（1）公式法：或配方法：…………………………（2分） ………………………………………………………………………（4分） （2）…………………………………………………………………（2分） …………………………………………………………………（4分） 20．（1）设……………………………………………………………（1分） ∵x＝－1时，y＝3，∴k＝3………………………………………………………………（3分） ∴y与x之间的函数表达式为：………………………………………………（5分） （2）当x＝0时，…………………………………………………………………（8分） 21．（1）分别作线段，的垂直平分线……………………………………………（4分） 两条垂直平分线交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆……………………（5分） ∴即为所求……………………………………………………………………………（6分） D E （2）作直径BD，CE………………………………………………………………………（8分） 连接BE、DE、CD…………………………………………………………………………（9分） ∴矩形BCDE即为所求…………………………………………………………………（10分） 22．（1）m=1 ………………………………………………………………………………（2分） 另一根为0 …………………………………………………………………………（5分） （2）证明：…………………………………（6分） ………………………………………………………（8分） ……………………………………………………………………（9分） ∴无论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根………………………（10分） 23．（1）证明：∵，∴………………………………………………（1分） ∵点B是的中点，∴………………………………………………………（2分） ∴……………………………………………………………………………（3分） ∴…………………………………………………………………………………（4分） ∴…………………………………………………………………………………（5分） （2）连接 设的半径为r，，则 ∵，∴……………………………………………（6分） 在中， ∴…………………………………………………………………………（8分） 解得 ∴的半径r为………………………………………………………………………（10分） 24．（1）线段：……………………………………………（2分） 双曲线：…………………………………………………………（4分） （2）当时，………………………………………………………………（5分） 当时，……………………………………………………………………（6分） 第5天播放量更大………………………………………………………（7分） （3）当时，，解得…………………………………………（8分） 当时，，解得…………………………………………………（9分） 播放量不少于400万，那么可以保持天…………………………………………（10分） 25．任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是． 根据题意得：…………………………………………………………（2分） 解得：， (不符合题意，舍去)…………………………………（4分） 答：该店“满杯杨梅”5月份到月份销售量的月平均增长率是…………………（5分） 任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯． 根据题意得：…………………………………………（7分） 整理得：， 解得： (不符合题意，舍去)……………………………………………（9分） 答：应该降价元．………………………………………………………………………（10分） 26．（1）………………………………………………………………………（2分） （2）……………………………………………………………………（4分） （3）∵过点作平行于x轴的直线，分别交函数和的图象于点B、C ∴， ①当点C是线段的中点时，根据题意，得，整理，得 解得，……………………………………………………………………………（6分） ②当点P是线段的中点时，根据题意，得，整理，得 解得，（舍去）………………………………………………（8分） ③当点B是线段的中点时，根据题意，得，整理，得 ∵△＜0，∴方程无解………………………………………………………………………（9分） 综上所述，或……………………………………………………（10分） 27．（1）由题意得，AP＝tcm，BQ＝2tcm，∵AB＝3cm，∴BP＝（3﹣t）cm ∵∠ABC＝90°，PQ＝，∴（3﹣t）2+（2t）2＝8………………………………（2分） 解得t＝1或………………………………………………………………………………（3分） （2）不存在． 由题意得：（3＋6）×3（3－t）×2t＝10……………………………………（4分） 整理得2t2﹣6t+7＝0………………………………………………………………………（5分） ∵△＜0，∴方程无解，∴不存在…………………………………………………………（6分） （3）存在．建立如图平面直角坐标系． 由题意P（0，3﹣t），Q（2t，0），A（0，3） ∵PM＝MQ，∴M（t，） ∵点A在线段DM的垂直平分线上，∴AM＝AD＝3 ∴t2＋（3－）2＝9……………………………………………………………………（8分） 解得（舍去）…………………………………………………………………（9分） ∴时，点A在DM的垂直平分线上………………………………………………（10分） 28．（1）i）∠BOC＝90°，…………………………………………………（2分） ii）…………………………………………………………………（5分） （2）如图，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK 在Rt△APC中，CK＝AP＝AK＝PK 同理：BK＝AK＝PK， ∴CK＝BK＝AK＝PK， ∴点A、B、P、C都在⊙K上……………………………………………………………（7分） ∵，∴ 求得……………………………………………………………（9分） ∴ ∴在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变………………………………………（10分） ——九年级数学第一次小练习（共8页） 第8页—— 学科网（北京）股份有限公司 $