江苏泰州市姜堰区励才实验学校2026-2027学年第一学期九年级第一次学情自测数学试卷

励才实验学校2026—2027年九年级数学学情了解 一、选择题（本大题共6小题．每小题3分．共18分） 1. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程x2-4x+2=0，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 4. 如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分．共30分） 7. 已知一元二次方程的一个根为3，则的值为_________． 8. 已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是________． 9. 若函数是反比例函数，则的值为__________． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 11. 如图，已知，，则的长为_____ 12. 如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且．若矩形矩形，且相似比为，则的长是__________． 13. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为__． 14. 如图，在中，，，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上，的对应线段恰好经过点O．则k的值是_________． 15. 如图，边长为8cm的正方形中，有一个小正方形，其中、、分别在、、上，若2cm，则小正方形的面积等于________． 16. 如图，矩形中，，在边上取一点，将翻折，使点落在点处，折痕为，于点．若交于点，则______． 三、解答题 17. 用适当的方法解方程． （1） （2） 18. 已知是的反比例函数，且当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）求当时，的值； （3）当取何值时，？ 19. 、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 20. 如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． （1）求证：． （2）若点E为中点，，若，求的长． 21. 如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． （1）求的值； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 22. 通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）______． （2）当时，求y与x的函数关系式． （3）数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由． 23. 如图，每个小方格均为正方形，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）如图1，与相交于点，则_________； （2）如图2，与方格线相交于点．请用无刻度直尺，在上找一点，使（保留作图痕迹）． 24. 综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 （1）下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： （2）请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 25. 曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究． （1）如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点； （2）若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由； （3）如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积． 26. 如图，在中，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为． （1）当和时，求的值． （2）试判断当时，的大小有无变化请仅就图的情况给出证明． （3）当旋转至，，三点共线时，求线段的长． 励才实验学校2026—2027年九年级数学学情了解 一、选择题（本大题共6小题．每小题3分．共18分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分．共30分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】且 【11题答案】 【答案】6 【12题答案】 【答案】10 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【22题答案】 【答案】（1）20 （2） （3） 解：经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60． 理由如下： 由题意得：， 解得， ， 经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60． 【23题答案】 【答案】（1） （2） 如图2，，点为所求， 同理（1）可得， 在图中找出格点、，同理可得， ∴，即， 又∵， ∴． 【24题答案】 【答案】（1）③ （2）解：选择甲同学的方案： 过点E作于点H，交于点G， 根据题意，得， 四边形是矩形，四边形是矩形 ，米，， 四边形是矩形， 米，米， 米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）， ∴（米）． 选择乙同学的方案： 过点E作于点M，交于点N， 根据题意，得， 四边形是矩形 米，米，， ， 根据题意，得米，米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【25题答案】 【答案】（1） 证明：∵A、C的横坐标分别是和3，且点A、C在反比例函数图像上， ∴点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （2）对角线所在直线经过原点， 证明：∵点A、C在反比例函数图像上， 设点，， ∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴， ∴，, 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得， ∴在直线上， ∴对角线所在直线经过原点． （3） 【26题答案】 【答案】（1） （2） 如图， 当时，的大小没有变化，  ，  ，  又，  ，  （3）的长为或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $