精品解析：江苏无锡惠山区洛社初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测 数学试卷

义务教育学生学业质量监测模拟练习数学试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校，以及考试证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可． 【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交； 故选：C． 2. 关于x的一元二次方程中，二次项系数是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式 ，其中 即为二次项系数，整理后即可得到结果 【详解】解：原方程为 移项得 根据一元二次方程一般形式定义，二次项为，其系数为 3. 关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 下列函数中，是的反比例函数的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数．逐一分析各选项是否符合定义即可． 【详解】解：① ：是正比例函数，不符合反比例函数的形式，故错误． ② ：可化简为，符合（），是反比例函数． ③ ：变形为，符合（），是反比例函数． ④ ：分母为，非单独，不符合定义，故错误． ⑤ ：即，次数为，不符合的形式，故错误． ⑥ ：只有当为非零常数时成立，故错误． 综上，②、③反比例函数，共2个， 故选B． 5. 在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（ ） A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相交 C. 与x轴相交，与y轴相切 D. 与x轴相交，与y轴相交 【答案】B 【解析】 【分析】由已知点（-2，3）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系，设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d>r，则直线与圆相离． 【详解】解：∵点（﹣2，3）到x轴的距离是3，等于半径，到y轴的距离是2，小于半径， ∴圆与y轴相交，与x轴相切． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 6. 下列5个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧；⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①直径是过圆心的弦，正确； ②当被平分的弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，错误； ③④等弧的定义、优弧与劣弧的大小比较均需以同圆或等圆为前提，仅长度相等的弧不一定是等弧，优弧也不一定大于劣弧，均错误； ⑤圆的对称轴为任意过圆心的直线，对称中心为圆心，既是轴对称图形又是中心对称图形，正确. 综上，正确的说法共2个. 7. 若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：， 分两种情况： （1）当，时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 8. 如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂径定理得到，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵半径于点D， ∴， 由圆的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴． 9. 如图，在边长为2的正方形中，以点D为圆心，为半径画，再以为直径画半圆，若阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∴ ． 10. 如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用矩形性质得出为定值1，确定点的轨迹是以为圆心、1为半径的圆，当与该圆相切时最大，利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， ，，， 四边形为矩形， ， ∵为中点， ∴为矩形对角线的交点， ， 半径为2，即， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 当与此圆相切时，度数最大， 此时， 在中，，， ． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 方程的解是______________． 【答案】， 【解析】 【分析】方程左侧已经分解为两个一次因式的乘积，根据乘积为则至少一个因式为求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 12. 反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质，得到比例系数小于0，列出不等式求出的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、第四象限， ，解得， 只要取小于的任意实数都符合条件，例如． 13. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系列关于的方程，求出的可能值，再结合方程有两个实数根，利用判别式验证，舍去不符合要求的解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴根据根与系数的关系可得． 又∵， ∴， 解得或． ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ∵． 当时，，不符合有两个实数根的要求，舍去． 当时，，符合要求． ∴的值为． 14. 如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，由得即可解答． 【详解】解：设在上， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为6． 15. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据月增长率，分别表示出三个月的进馆人次，结合前三个月累计进馆750人次，即可列出方程． 【详解】解：∵第一个月进馆人次，进馆人次的月增长率为， ∴第二个月进馆人次为，第三个月进馆人次为， ∵前三个月累计进馆人次，即三个月进馆人次总和为， ∴可列方程为． 16. 如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【解析】 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 17. 某圆锥形零件的尺寸如图所示，若给该零件侧面涂漆，则需涂漆部分的面积为_________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，牢记圆锥的侧面积计算公式是解答本题的关键． 先根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径，最后求扇形的面积即可． 【详解】解：圆锥的底面周长为， ∵圆锥的底面圆周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， 答：需要涂漆的面积为． 故答案为：． 18. 如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是________________（把正确结论的序号都填上）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】连接，由题意易得，然后可得①，根据圆中直径最大可判定②，由内心可知，然后根据三角形外角的定义及圆周角定理可进行排除③，过点P作于点D，进而可得，最后可得出选项． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， ∵的角平分线交于点Q，点I为的内心， ∴， ∴，且是等腰直角三角形， ∴，即点Q是定点，故①正确； 由圆中最长的弦是直径可知的最大值为8，故②正确； ∵，且， ∴， ∴，即的长为定值，故③正确； 过点P作于点D， ∴， 当的值为最大，则的值为最大，即的值为最大， ∴当是半径时，即为， ∴的最大值为；故④错误； 综上所述：正确的有①②③； 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查三角形的内心、圆周角定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的内心、圆周角定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，，， ， 代入求根公式得 ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 化简得 或， ∴，． 20. 一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，设该两位数的十位数字为． （1）试用含的代数式表示： ①该两位数的个位数字为___________； ②该两位数为___________； （2）求的值． 【答案】（1）①；②或 （2）2 【解析】 【分析】本题考查列代数式、一元二次方程的求解： （1）①根据该两位数“十位数字比个位数字小2”即可表示出其个位数字；②根据两位数的个位和十位数字即可表示该两位数，或者根据该两位数“两位数等于各位数字之积的3倍”也可表示该两位数； （2）利用该两位数的两种不同表示方法列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：①设该两位数的十位数字为， ∵其十位数字比个位数字小2， ∴其个位数字为； ②∵该两位数的个位是，十位是x， ∴该两位数是； 又∵该两位数等于各位数字之积的3倍， ∴该两位数也可表示为，即； 故答案为：①；②或； 【小问2详解】 解：由题意，得， 整理得， 即， 解得， 由题可知x为整数， ， 即的值为2． 21. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）方程的解为 ； （3）不等式的解集为 ． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入中求解，即可得到反比例函数解析式，进而求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可解题； （2）根据一次函数与反比例函数的交点即可得出结果； （3）根据、坐标，结合图象直接写出不等式的解集，即可解题． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， 则点坐标为， 把、代入得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 ∵、是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． ∴的解为； 【小问3详解】 解：、， 由图知，当或时，不等式， 即不等式的解集是或． 22. 内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理可知； （2）取格点，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得到平分． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点F即为所求： 23. 数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．” 请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ②当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ∴原方程的解是，． （1）我们在解方程时用到的数学思想方法是（ ）． A．数形结合的思想 B．整体的思想 C．分类讨论的思想 D．特殊到一般的思想 （2）解方程：． 【答案】（1）C （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：观察题目例题的解答过程，发现分或两种情况， ∴在解方程时用到的数学思想方法是：分类讨论的思想． 【小问2详解】 解：①当，即时，原方程可化为： ，解得：（舍去），． ②当，即时，原方程可化为： ，解得：，（舍去）， ∴原方程的解是，． 24. 已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 即． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ． 25. 如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵是的直径，且点在上， ∴是的切线 （2） 【解析】 【分析】（1）由是直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到，结合条件，可知既是边上的高，又是边上的中线，由此得到，设，结合已知角的倍数关系得到，利用等腰三角形内角和求出，计算推出，根据切线的判定定理证明是的切线； （2）已经得到，设，利用勾股定理列方程，求解得到与的长度，连接，再次利用直径所对圆周角是直角，得，用直角三角形面积的两种表达方式，面积法求出线段，最后在中，再通过勾股定理计算的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，且， ∴， 解得， ∴，， 连接，如图： ∵是的直径，且点在上， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得， ∵在中，， ∴． 【点睛】三角形同一条边上高线与中线重合，可以判定该三角形为等腰三角形，题目出现直径优先使用直径所对圆周角为直角，直角三角形可以利用面积法求斜边上的高． 26. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 【答案】（1）该商品销售的个数为460个 （2）售价应定为60元 【解析】 【分析】（1）先算出提高的价格，用原来的销售量减去减少的销售量即可； （2）设售价提高了元，然后将单件利润和数量表示出来，根据“总利润单件利润数量”列一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：当售价定为54元时，商品售价较元提高元， ∴销售量为（个）； 【小问2详解】 解：设售价提高了元，则利润为元／个， 销售数量为个， 根据题意，得， 解得或， ∵要兼顾顾客的利益， ∴， 则售价为（元）． 27. 如图，反比例函数过点，直线与x轴交于点，交y轴于点E，过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B． （1）求k的值与B点的坐标； （2）将直线向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线上，并说明理由； （3）在（2）的条件下，在平面内有点M，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出符合条件的所有M点的坐标． 【答案】（1）， （2）点B在直线上，理由如下： 设直线A、的表达式为 则，解得：， 故直线的表达式为：， 令，则，故点， 设直线向右平移个单位， 则平移后直线的表达式为：，则点， 点在反比例函数上， 将点坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 则平移后直线的表达式为：， 令，则，故点； 当时，，故点在直线上； （3）点M的坐标为：或或 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数综合运用、一次函数的性质、平行四边形的性质、函数的平移等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将A点的坐标代入反比例函数求得的值，然后将代入反比例函数解析式求得相应的的值，即得点的坐标； （2）确定平移后直线的表达式即可求解； （3）分为平行四边形的边、对角线两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得， 故该反比例函数解析式为：． 点，轴， 把代入反比例函数，得：， ． 综上所述，的值是，点的坐标是； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：设点的坐标为，而点A、、的坐标分别为：、、； 当是边时，点A向右平移4个单位向下平移个单位得到， 同样点向右平移4个单位向下平移个单位得到， 故或，解得：或， 故点的坐标为：或； 当是对角线时， 由中点公式得：，解得：， 故点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 28. 在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在的圆的半径长为_____； ②面积的最大值为_____． （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部，我们记为P，请你利用图1证明； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点M在直线的左侧，且． ① 用尺规作出点M的运动路径，并求线段长的最小值； ② 过点M作，垂足为H，若不小于，则长的范围是． 【答案】（1）①；② （2） 证明：如图2所示，设与弦所在圆交于点D，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）①如图所示， ； ② 【解析】 【分析】（1）①设弦所在圆的圆心为O，连接，由圆周角定理得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案；②要使的面积最大，则点A到的距离要最大，故当点A运动到时（运动到图中），此时点A到的距离要最大，即此时的面积最大，据此求解即可； （2）设与弦所在圆交于点D，连接，由同弧所对的圆周角相等得到，由三角形外角的性质得到，据此可证明； （3）如图所示，以为边向左作等边三角形，以为圆心，的长为半径作圆，则点M的轨迹为优弧（不包括端点C、D）；如图所示，过点O作于E，由矩形的性质得到，，由等边三角形的性质得到，则，据求出，，则；当B、M、O三点共线，且点M在线段上是，线段有最小值，据此由勾股定理得，则线段的最小值为；②如图所示，过点O作于P，于G，连接，利用三角形面积计算公式得到；利用等边三角形的性质和勾股定理得到，再证明四边形是矩形，得到，，则，求出，可得；同（1）②可知，当时的面积最大，此时，由圆的对称性可知当点M继续向点C运动直至时，此时刚好有，点M再继续运动，则，故当不小于时． 【小问1详解】 解；①如图所示，设弦所在圆的圆心为O，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）； 故答案为：； ②∵要使的面积最大， ∴点A到的距离要最大， ∴当点A运动到时（运动到图中），此时点A到的距离要最大，即此时的面积最大， 设直线与交于H，则， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①以为边向左作等边三角形，以为圆心，的长为半径作圆，则点M的轨迹为优弧（不包括端点C、D）； 如图所示，过点O作于E， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点M在优弧（不包括端点C、D）上运动， ∴当B、M、O三点共线，且点M在线段上是，线段有最小值， 在中，由勾股定理得， ∴线段的最小值为； ②如图所示，过点O作于P，于G，连接， 当时，则， ∴， ∴； ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 同（1）②可知，当时的面积最大，此时， 由圆的对称性可知当点M继续向点C运动直至时，此时刚好有，点M再继续运动，则， ∴当不小于时． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合，勾股定理，矩形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 义务教育学生学业质量监测模拟练习数学试卷 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校，以及考试证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，这是一张海上日出照片，如果把太阳看作一个圆，把海平面看作一条直线，那么这个圆与这条直线的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 2. 关于x的一元二次方程中，二次项系数是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 3. 关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 下列函数中，是的反比例函数的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（ ） A. 与x轴相切，与y轴相切 B. 与x轴相切，与y轴相交 C. 与x轴相交，与y轴相切 D. 与x轴相交，与y轴相交 6. 下列5个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧；⑤圆既是轴对称图形又是中心对称图形．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9. 如图，在边长为2的正方形中，以点D为圆心，为半径画，再以为直径画半圆，若阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，⊙的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点P是⊙上任意一点，过点P作于M，于N，点Q是的中点，点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当度数取最大值时，线段的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 方程的解是______________． 12. 反比例函数（为常数）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_________． 13. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为_________． 14. 如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 15. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程_________． 16. 如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 17. 某圆锥形零件的尺寸如图所示，若给该零件侧面涂漆，则需涂漆部分的面积为_________．（结果保留） 18. 如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是________________（把正确结论的序号都填上）． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，设该两位数的十位数字为． （1）试用含的代数式表示： ①该两位数的个位数字为___________； ②该两位数为___________； （2）求的值． 21. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）方程的解为 ； （3）不等式的解集为 ． 22. 内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 23. 数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．” 请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ②当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ∴原方程的解是，． （1）我们在解方程时用到的数学思想方法是（ ）． A．数形结合的思想 B．整体的思想 C．分类讨论的思想 D．特殊到一般的思想 （2）解方程：． 24. 已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 25. 如图，点在以为直径的上，连接并延长至点，使，连接交于点，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 26. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？ 27. 如图，反比例函数过点，直线与x轴交于点，交y轴于点E，过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B． （1）求k的值与B点的坐标； （2）将直线向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线上，并说明理由； （3）在（2）的条件下，在平面内有点M，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出符合条件的所有M点的坐标． 28. 在一次数学探究活动中，王老师设计了一份活动单： “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决： ①该弧所在的圆的半径长为_____； ②面积的最大值为_____． （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形的外部，我们记为P，请你利用图1证明； （3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点M在直线的左侧，且． ① 用尺规作出点M的运动路径，并求线段长的最小值； ② 过点M作，垂足为H，若不小于，则长的范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $