3.1 圆的相关概念～3.4 圆周角 阶段练习-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

阶段练习 3.1 圆的相关概念～3.4 圆周角 一、选择题 1、到定点的距离等于定长的点的集合是(　　) A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 2、下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 3、如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4、如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 5、如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 6、如图，AB为的直径，点，D在上，CD与AB交于点E，连接OD，BC，AC， ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7、如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的 任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 8、如图，在中，，，，是以斜边为直径的 半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9、下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③圆内接四边形对角互补； ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等． 正确的有________________．（填序号） 10、如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 11、在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是_____． 12、如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连， 其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________． 13、如图，在中，直径弦，垂足为，若，，则________． 14、在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为_______． 15、如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． 若点与圆心不重合，，则的度数为________． 16、将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线， 此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为______． 三、解答题 17、在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． （1）用直尺作出的外接圆圆心． （2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 18、如图所示，是的直径，、在上，，求证：． 19、如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，求的长度． 20、如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． （1）求证：E为的中点； （2）若，，求． 21、如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 22、有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米， 即米时，是否要采取紧急措施？ 23、如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，， 连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若所对圆心角的度数为，，求的半径． 24、如图，在中， 为边上的一个动点，连接， 以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． （1）当时，求的长； （2）求证： ； （3）是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 25、【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】（1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点， 则_______°，_______°． （2）如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点， 求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）_______． 【问题解决】（3）如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】（4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点E、F分别是边上的动点，连接，交于点P，若始终保持，在点E从点A运动到点C过程中，的最小值是_______． 阶段练习 3.1 圆的相关概念～3.4 圆周角 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册 一、选择题 1、到定点的距离等于定长的点的集合是(　　) A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 【答案】C 2、下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 相等的圆心角所对的弦长相等 D. 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 【答案】D 解：不在同一条直线上的三点确定一个圆， “三点确定一个圆”这一说法是错误的，故A不符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， “平分弦的直径垂直于弦”这一说法是错误的，故B不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， “相等的圆心角所对的弦相等”这一说法是错误的，故C不符合题意； 三角形的外心到三个顶点的距离相等， 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故D符合题意， 故选：D． 3、如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ． 故选：D． 4、如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）． A. 60° B. 50° C. 40° D. 20° 【答案】B 解：连接， ∵为的直径，∴． ∵，∴，∴．故选B． 5、如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 解：连接OA，OB． ∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°． ∵OA=OB=2，∴AB==2．故选：C． 6、如图，AB为的直径，点，D在上，CD与AB交于点E，连接OD，BC，AC， ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 解：是的直径，， 又，， ， ，， ，． 7、如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的 任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：连接，，如图， ∵， ∴为圆的直径， ∵点和点，即，， ∴， ∴， ∴为等边三角形，∴， ∴． 故选：D ． 8、如图，在中，，，，是以斜边为直径的 半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴，∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴，∴， ∵为的中点，∴， 则点M在以为直径的圆上运动， 设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形，∴， 在中，，， ∴， ， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 二、填空题 9、下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③圆内接四边形对角互补； ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等． 正确的有________________．（填序号） 【答案】③⑤ 解：①只有不共线的三点才能确定一个圆，共线三点无法确定一个圆，故①错误； ②只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，缺少前提条件，故②错误； ③圆内接四边形对角互补，符合圆的性质，故③正确； ④只有当被平分的弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦，且平分弦所对的弧，若被平分的弦是直径，结论不成立，缺少前提条件，故④错误； ⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离都相等，符合外心的性质，故⑤正确； 综上，正确的结论是③⑤． 10、如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 【答案】5 解：如图；连接，，则 ∵；∴； ∴是等边三角形， ∵的半径为5； ∴； 故答案为：5. 11、在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是_____． 【答案】5 解：在中，，，， ， 其外接圆的直径为10，半径为5． 故答案为：5． 12、如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连， 其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________． 【答案】20 解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 13、如图，在中，直径弦，垂足为，若，，则________． 【答案】9 解：连接， 是的直径，是的弦，且于点，，， ，， ， ， ， 解得， ，，故答案为： 14、在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为_______． 【答案】1cm或7cm 解：两条平行的弦可能在圆心的同旁或两旁，应分两种情况进行讨论 圆心到两条弦的距离分别为d1== 4cm，d2==3cm． 故两条弦之间的距离d=d1-d2=1cm或d=d1+d2=7cm 15、如图，在中，为直径，为上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． 若点与圆心不重合，，则的度数为________． 【答案】##36度 解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形，∴， ∴． 16、将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线， 此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为______． 【答案】 解：取的中点O，连接、、， 由题意得：， 由勾股定理得：，，， ∴， ∴点O为经过B、C、F三点的圆的圆心，该圆的半径为， 故答案为：． 三、解答题 17、在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． （1）用直尺作出的外接圆圆心． （2）若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆的面积． 【答案】（1）如图所示，点即为所求． （2）外接圆的面积为 解：连接， ， 故外接圆的面积为． 18、如图所示，是的直径，、在上，，求证：． 【答案】证明： 连接， ， ，． ， ． ． ． 19、如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，求的长度． 【答案】（1）是等腰直角三角形， 证明过程如下： 为的直径，， ，， ， 又，是等腰直角三角形． （2）解：是等腰直角三角形， ， ， 中，，，则， ． 20、如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． （1）求证：E为的中点； （2）若，，求． 【答案】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 为的中点； （2）为的中点，E为的中点， 是的中位线， ， ， ， 在中，， ． 21、如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 【答案】5 解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ，，， 是的平分线， ，， 设的半径为，则， ，， 在中利用勾股定理得， 即， 解得． 22、有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸡，滨朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图，它的跨度米，拱高米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米， 即米时，是否要采取紧急措施？ 【答案】（1）米 （2）不需要采取紧急措施 【1】解：连接， 由题意得：米，米， 在中，有，解得米； 【2】解：连接． 米， ∴在中，（米）， 米． ， ∴不需要采取紧急措施． 23、如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，， 连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若所对圆心角的度数为，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图：连接， ∵为的直径， ∴，即 ∵点D是弦延长线上一点，， ∴垂直平分，∴，∴， ∵，∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 如图，连接，， ∵所对圆心角的度数为，∴， ∴， ∴， 由（1）可得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：（已舍去负值）， ∵为的直径，∴的半径为． 24、如图，在中， 为边上的一个动点，连接， 以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． （1）当时，求的长； （2）求证： ； （3）是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：，，， ，， ， ； （2）证明：，， ，， ，， 为的直径，， ，； （3）存在，的长为3或 解：存在点，使是以为腰的等腰三角形 ①如图1，当时，则， 四边形为圆内接四边形，， ，， ，， 为的直径，， ，， ， ，，， 在中，设，， ，，即； ②如图2，当时，则， 四边形为圆内接四边形，， ，， ，， ，，，， ，，， 在中，设， ，，． 综上所述，存在点，使是以为腰的等腰三角形，的长为3或． 25、【问题提出】我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】（1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点， 则_______°，_______°． （2）如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点， 求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）_______． 【问题解决】（3）如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】（4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点E、F分别是边上的动点，连接，交于点P，若始终保持，在点E从点A运动到点C过程中，的最小值是_______． 【答案】(1)50，130 (2)或 (3)如图3，劣弧（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形； (4) （1）解：， ， 故答案为：50，130； （2）解：当在优弧上时，， 当在劣弧上时，， 故答案为：或； （3）劣弧（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形； （4）解：如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P的运动轨迹是， ∴． 连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $