精品解析：上海交通大学附属第二中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段学情检测数学试卷

2026学年九上数学限时训练卷 一､选择题（每题4分，满分24分） 1. 抛物线图像开口向下，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 2. 在中，已知，，，那么的正切值为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线上有三点，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知线段､､，求作线段，使，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（每题4分，满分40分） 7. 已知则=__________． 8. 抛物线顶点在直线上，则的值为__________． 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 11. 中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 12. 如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有______海里．（结果保留根号） 13. 如图，已知梯形中，E、F分别是腰、上的点，，如果，那么__________． 14. 如果抛物线与轴只有一个交点，则的值是________． 15. 如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为__________． 16. 定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则_____． 三､解答题（满分86分） 17. 计算：． 18. 已知抛物线的顶点为，与轴相交于点． （1）求点､的坐标； （2）抛物线与轴交于A､B两点（A在B左侧），在对称轴上找一点D，使得是等腰直角三角形，求的面积； （3）将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 19. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，直线与相交于点. （1）求的值； （2）如果，，，求四边形的面积. 20. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为 20m，拱顶距水面 4m． （1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式． （2）在正常水位的基础上，当水位上升 h（m）时，桥下水面的宽度为 d（m），求出将 d 表示为 h 的函数关系式． （3）设正常水位时，桥下的水深为 2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于 18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？ 21. 已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： （1）； （2）． 22. 如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）. （1）求这条抛物线的表达式； （2）P是抛物线对称轴上的点，连结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标； （3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值. 23. 如图1，在中，，且． （1）求证：； （2）连接交于点E，过点C作交于点F． ①过点C作分别交､于点G､H，如图2所示．已知，，求和的长； ②如图3，如果F为的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年九上数学限时训练卷 一､选择题（每题4分，满分24分） 1. 抛物线图像开口向下，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线开口向下，则二次项系数小于0，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵抛物线图像开口向下， ∴，解得． 2. 在中，已知，，，那么的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，然后求得的正切值即可． 【详解】解：∵在中，已知， ∴， ∴， 故选：D． 3. 抛物线上有三点，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用开口向上的抛物线的性质，通过比较三点到对称轴的距离判断纵坐标大小． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的纵坐标越小， ∵，，， 又∵， ∴． 4. 已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等积式求与的关系，再验证各选项比值. 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 整理得， 解得； ∵线段长度为正数， ∴，即， ∴； ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 5. 已知线段､､，求作线段，使，下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算，再逐项判断即可． 【详解】解：A、根据平行线分线段成比例定理，可得，整理得，结论正确，不符合题意； B、根据平行线分线段成比例定理，可得，整理得，结论错误，符合题意； C、根据平行线分线段成比例定理，可得，整理得，结论正确，不符合题意； D、根据平行得到两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例可得，整理得，结论正确，不符合题意． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合．根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可． 【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧， ∴和异号， 当时，则， 对于直线经过一、三、四象限，则选项B正确，符合题意； 当时，则， 对于直线经过一、二、四象限，则没有选项符合题意； 故选：B． 二､填空题（每题4分，满分40分） 7. 已知则=__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵2x=3y，∴x=1.5y，===. 故答案为 8. 抛物线顶点在直线上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线方程即可求得的值． 【详解】解：对抛物线配方得：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ∴将代入直线方程得：， 解得：． 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】原抛物线为顶点式，可直接得到原顶点坐标，根据点的平移规则计算新顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线是顶点式， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴将顶点向左平移2个单位，横坐标减2，得到横坐标为；再向上平移3个单位，纵坐标加3，得到纵坐标为； ∴新抛物线的顶点坐标是． 10. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， 又∵位似图形的相似比等于位似比， ∴与的位似比为. 11. 中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明与相似，列出两个相似三角形的边长比例等式，即可求出正方形边长，也就是的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴原等式为，解得， ∴正方形边长为， 即的长度为． 12. 如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有______海里．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于D，设海里，，则，根据可得，列出方程，求出x的值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点A作于点D， 根据题意得：（海里）， ， 设海里，则海里， ∴, 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得，． 13. 如图，已知梯形中，E、F分别是腰、上的点，，如果，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．延长交于G，证明，则，，设，得到，则，即可得到答案． 【详解】解：延长交于G， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴设， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 14. 如果抛物线与轴只有一个交点，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与轴只有一个交点时，对应一元二次方程的判别式为，列方程求解即可． 【详解】解：∵是抛物线， ∴该函数为二次函数，可得． ∵抛物线与轴只有一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根，即， 解得． 15. 如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的重心，解直角三角形，平行线分线段成比例．连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，解得，，证明四边形是矩形得，，然后利用平行线分线段成比例求得得，据此可得点A、O的距离． 【详解】解：连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵点O是的重心， ∴，都是的中线， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点A、O的距离为10． 故答案为：10． 16. 定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分别过点作于点，点作于点，由题意易得，然后可得，进而可分当时，当时，最后根据勾股定理可进行求解 【详解】解：分别过点作于点，点作于点，如图所示： 由题意可得：， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①当时，则在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则在中，由勾股定理得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或； 故答案为或； 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键． 三､解答题（满分86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊锐角三角函数值的混合运算，原式分别代入特殊锐角三角函数值，再根据实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 已知抛物线的顶点为，与轴相交于点． （1）求点､的坐标； （2）抛物线与轴交于A､B两点（A在B左侧），在对称轴上找一点D，使得是等腰直角三角形，求的面积； （3）将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2）的面积为 （3）的值为 【解析】 【分析】（1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标； （2）先求出，，然后求出，再画出图形，根据等腰直角三角形的性质求出三角形面积即可； （3）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴顶点的坐标为， 令，则， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：，， ∴，， ∴， 过点D作于点M，如图所示： ∵为等腰直角三角形，且点D在抛物线的对称轴上， ∴点D为直角顶点， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设平移后的解析式， 把代入得， ， 当时，， 另一个交点， ， ， ， 在中，, ． 19. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，直线与相交于点. （1）求的值； （2）如果，，，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的判定与性质得到，根据比例的性质求解即可； （2）根据平行四边形的性质得出，则，根据锐角三角函数定义求出，则，根据勾股定理求出，根据平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平行四边形的面积． 20. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为 20m，拱顶距水面 4m． （1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式． （2）在正常水位的基础上，当水位上升 h（m）时，桥下水面的宽度为 d（m），求出将 d 表示为 h 的函数关系式． （3）设正常水位时，桥下的水深为 2m，为保证过往船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于 18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？ 【答案】（1），（2），（3）当水深超过2.76m时； 【解析】 【分析】设二次函数顶点式解析式，代入一个点的坐标即可解答； 把点代入中的函数解析式就可以解决； 把点代入中的函数解析式就可以解决． 【详解】解：设二次函数解析式为代入点得，， 解得 因此二次函数解析式为； 把点代入函数解析式， 得， ∴； 当桥下水面的宽度等于时，抛物线上第四象限点的横坐标为 把代入函数解析式中， (m)， （m）； 答：当水深超过时，超过了正常水位，就会影响过往船只在桥下顺利航行． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 21. 已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 证明：∵点D是的中点， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据，则，根据，，则，再根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的性质，则，根据D是中点，则，再根据，相似三角形的判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）. （1）求这条抛物线的表达式； （2）P是抛物线对称轴上的点，连结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标； （3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值. 【答案】（1）;（2）P（1，）; （3）3或5. 【解析】 【分析】（1）将点A、B代入抛物线，用待定系数法求出解析式. （2）对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G, 由∠PBO=∠BAO，得tan∠PBO=tan∠BAO，即，可求出P的坐标. （3）新抛物线的表达式为，由题意可得DE=2，过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF，∴，∴FH=1.然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得m的值为3或5. 【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4） ∴，解得, ∴抛物线解析式为, （2）, ∴对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G, ∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO， ∴, ∴， ∴, ， ∴P（1，）, （3）设新抛物线的表达式为 则,，DE=2 过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF ∴， ∴FH=1. 点D在y轴的正半轴上，则， ∴, ∴， ∴m=3, 点D在y轴的负半轴上，则， ∴, ∴， ∴m=5, ∴综上所述m的值为3或5. 【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度不大，但是非常巧妙，学会灵活运用是关键. 23. 如图1，在中，，且． （1）求证：； （2）连接交于点E，过点C作交于点F． ①过点C作分别交､于点G､H，如图2所示．已知，，求和的长； ②如图3，如果F为的中点，求的值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接． （已知） 为等腰三角形 为中点 ， ， 在和中 ， ， ， ， 为中点 即 （2）①，;②． 【解析】 【分析】（1）关键在于利用构造等腰三角形，由“三线合一”性质得到中线兼高线，再证明，从而建立、、之间的关系 （2）①利用和，设参数求解Rt的三边长； 引用第(1)问结论求；证明（注意对应顶点），利用比例关系求；利用等面积法（的面积）求；在Rt中用勾股定理求；利用得到，结合求出； ② 作于点，将面积比转化为高之比，由得到，将转化为， 由得到，将转化为， 由（1），将转化为， 利用为中点的条件建立方程，解出，所求可得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：， 设，（） 在Rt中，由勾股定理： ， 即， 解得（负值舍去）， ，， 由第(1)问结论：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 由第(1)问证明过程知：为中点，， 在Rt中，由勾股定理： 利用等面积法： ， 在Rt中，由勾股定理： ∴， ， 、、三点共线， 综上：， ②如图，作于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 为的中点 点在线段上， 又 点在线段上 代入： 整理，得， ∴， ， 即 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $