精品解析：上海市西南模范中学2026-2027学年九年级上学期10月课堂作业4数学试卷（10.10）

初三上数学课堂作业4 斑级：___________学号：___________姓名：___________ 一、选择题 1. 在下面条件中不能解直角三角形的是（ ） A. 已知两条边 B. 已知两锐角 C. 已知一边一锐角 D. 已知三边 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质对每个选项注意论证得到选项． 【详解】A、已知两条直角边，可以确定一个直角三角形； B、一直两个锐角，若两个锐角的和不等于90°，则不能确定一个直角三角形； C、已知一边和一个锐角，可以得到一直角，则能确定一个直角三角形； D、已知一条直角边和斜边，可以确定一个直角三角形． 故选B． 【点睛】此题考查的知识点是直角三角形的性质，关键是根据其性质论证． 2. 观察下列各组图形，其中属于位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、两个图形不相似，故不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个图形是相似图形，故是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，故不是位似图形，不符合题意； D、两个图形不是相似图形，故不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 3. 已知在中，，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义，在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值．已知的对边，斜边为，利用正弦函数即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴根据正弦函数的定义，， ∴，故A正确． 故选：A． 4. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得，，， ∴， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 5. 如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ） A. △BAC∽△BDA B. △BFA∽△BEC C. △BDF∽△BEC D. △BDF∽△BAE 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】∵∠BAD=∠C， ∠B=∠B， ∴△BAC∽△BDA．故A正确． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴△BFA∽△BEC．故B正确． ∴∠BFA=∠BEC， ∴∠BFD=∠BEA， ∴△BDF∽△BAE．故D正确． 而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误． 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 二、填空题 6. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知比例关系，设参数表示a和b，代入所求分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，，则 ． 7. 已知点是线段上的黄金分割点，，，那么___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到比例式，把已知数据代入即可求得． 【详解】解：设： 点是线段上的黄金分割点，， 或（舍去）． 8. 如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是_____． 【答案】##3.75 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，CE＝3，BD＝1.5， ∴，即， 解得：BF＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 9. 已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为______米． 【答案】26 【解析】 【详解】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2．4，AE=10米，AE⊥BD， ∵i=， ∴BE=24米， ∴在Rt△ABE中，AB==26（米）． 10. 如图，，如果，，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，，又因为两组对顶角相等，得和，再根据相似三角形对应线段成比例即可求解． 【详解】解： ∵， ∴，， 又∵， ∴； ∴， ∵， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，， 又∵， ∴； ∴， ∴， ∴， 即． 11. 如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，连接，如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】在中，点是重心，连接，并延长交于点，得点为边的中点，；由过点作，交边于点，得；再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】 解：在中，点是重心，连接，并延长交于点， 则点为边的中点，且， ∵点是重心， ∴，即， ∵， ∴， ∵过点作，交边于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 12. 在中，，于D．若，则的正切值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明，可得，设，则，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ， ∴，即， ∴． 13. 如图，正方形的边长为2，，线段的两端分别在上滑动，那么当_____时，与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，先计算出，再分和两种情况，代入数值计算即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，， 即，解得； 当时，， 即，解得； 综上所述，为或时，与相似． 故答案为：或． 14. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，向下2个格点，向右2个格点为，连接，，设正方形的边长为，由勾股定理得，，，由，可知是直角三角形，，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，向下2个格点，向右2个格点为，连接，， 设正方形的边长为， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦，平行线的性质．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦，平行线的性质是解题的关键． 15. 如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上（）．请画出点A、B、C、D分别关于的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是___________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】尺规作图作出点P、Q、R、S．连接，设正方形的边长为1，，，运用正方形性质和折叠性质证明点Q在上，点R在上，点S在上，点P在上，８个小三角形全等，．根据，得，代入，，得到方程，解方程求出x的值，即可得到的长，即可计算的正切值． 【详解】以点A为圆心，以长为半径画弧交于另一点， 分别以这点和点H为圆心，以大于点H和这点之间的距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点， 从点A向两弧交点作射线， 在射线上取点P，使点P和点A到的距离相等． 以同样方法作出点Q、R、S． ​连接，，设正方形的边长为1，，， ∵正方形中，， 令，则， ∵， ∴， 解得， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证图中四个直角三角形、、、互相全等， 由折叠知，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在上， 同理点R在上，点S在上，点P在上， ∴小正方形与8个全等的小直角三角形密铺在大正方形内， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴． 三、解答题 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】代入特殊角的三角函数值计算即可求解． 【详解】解： ． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，在的正方形网格中，与是位似图形． （1）在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； （2）以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； （3）在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 【答案】（1），， （2）如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）利用点和的坐标画出直角坐标系，然后写出点坐标，连接，，其交点即为位似中心，由计算位似比； （2）分别取中点为，中点为，连接即可； （3）求出直线，的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图建立直角坐标系，连接，， 由图可知，点的坐标为， ，交于原点，则与的位似中心的坐标为， 已知，， 故与的位似比为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，，与交于点， 已知点的坐标为，的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为 直线为直线， 当，， 故点的坐标为． 19. 已知：如图，在中，，，．求： （1）的面积； （2）的余弦值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先作AH⊥BC，再利用∠B=60°，AB=6，求出BH=3，AH=3 ，即可求出答案； （2）利用Rt△ACH中，AH= ，CH=5，求出AC进而求出∠C的余弦值． 【详解】分（1）作AH⊥BC，垂足为点H． 在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6， ∴BH=3，AH=3， ∴S△ABC=×8×3=12， （2）∵BC=8，BH=3， ∴CH=5． 在Rt△ACH中，∵AH=3，CH=5， ∴AC=2． ∴cosC=． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构建直角三角形得出是解题关键． 20. 【项目背景】学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】素材一：凸透镜成像规律：（）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（）表示像到凸透镜的距离，规律如表： 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线传播方向不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 【项目任务】 （1）任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①___________，②___________，③___________； （2）任务二：某实验小组取焦距为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距（）时，测量蜡烛的成像的高为， ①当为时，的值为___________； ②以为自变量，为因变量；写出与的关系式：___________； ③当时，随的增大而___________（选填“增大”或“减小”）（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分） 【答案】（1），， （2）①；②；③减小 【解析】 【分析】（1）先由求出，再由求出，最后代入数值算出； （2）①结合和列式计算即可；②结合和，将、代入建立等式，化简得到函数关系式；③把函数看成平移后的反比例函数，根据反比例函数性质，判断范围内的增减性． 【小问1详解】 解：据图可知，，，， 则四边形为矩形， 可知，， 可得， ， ， ， ， ， ，， ， ，即，， 解得，， ， ． 【小问2详解】 ①解：当，即， 由（1）可知，，即， 解得， 可得， 由（1）可知， 则，即， 解得； ②解：当， 由（1）可知，，即， 解得， 可得， 同（1）可知， 则，即， 解得； ③解：已知， 可以看成向右平移个单位， ， 则当，随的增大而减小． 21. 如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF． （1）求证：△BFD∽△CAD； （2）求证：BF•DE＝AB•AD． 【答案】 （1）证明：∵AD2＝DE•DF． ∴， 又∵∠ADE=∠FDA， ∴△ADE∽△FDA， ∴∠DAE=∠F， ∵∠ADB＝∠CDE， ∴∠FDB=∠ADC， ∴△BFD∽△CAD； （2）证明：∵△BFD∽△CAD， ∴， ∵， ∴， ∵△BFD∽△CAD， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC， ∴， ∴BF•DE＝AB•AD． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△FDA，推出∠DAE=∠F，依据∠ADB＝∠CDE，推出∠FDB=∠ADC，即可得到结论； （2）根据△BFD∽△CAD，推出，∠B=∠C，得到AB=AC，由此推出结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定及性质定理并熟练应用解决问题是解题的关键． 22. 如图，直线l：交x轴于点A，交轴于点，点在轴正半轴上，且．点在线段上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，连结． （1）求点的坐标； （2）求证：； （3）若点是直线上的动点，连结，当时，直接写出点坐标． 【答案】（1）点的坐标为 （2） 证明：， ， ， ， ， ， ， 过点作于，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线的解析式求出点的坐标，再利用，求出的长，进而求出点的坐标； （2）过点作于，利用，得到，求得点的坐标，最后利用垂直的定义求得结论； （3）过点作于，证明，再利用相似三角形求出的长，推出点是的中点，求出点的坐标，进而求得点坐标． 【小问1详解】 解：对于，令，得，令，得， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得， ， ， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：过点作于点， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， 点是的中点， 由（2）得， ∴， ∴ 点坐标为，即． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得，即可得出答案； （2）先延长交于点H，连接交于点M，由（1）得，即可得出，再根据“角边角”证明，即可说明四边形是矩形，可得，然后说明，可得，接下来证明，可得，最后根据勾股定理求出，进而得出答案； （3）当时，作，作，可得四边形是矩形，再设，再说明，可表示出，然后根据勾股定理求出答案； 当时，作，可得四边形是矩形，再根据勾股定理求出． 【小问1详解】 解：∵， 根据勾股定理得， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于点H，连接交于点M， 由（1）得， ∴． ∵是的中线，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当时，过点B作于点Q，过点D作于点P，则， ∴四边形是矩形， ∴． 设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）， 所以； ②如图所示，，过点B作于点Q，则， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三上数学课堂作业4 斑级：___________学号：___________姓名：___________ 一、选择题 1. 在下面条件中不能解直角三角形的是（ ） A. 已知两条边 B. 已知两锐角 C. 已知一边一锐角 D. 已知三边 2. 观察下列各组图形，其中属于位似图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，，，，那么的长等于（ ） A. B. C. D. 4. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 5. 如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ） A. △BAC∽△BDA B. △BFA∽△BEC C. △BDF∽△BEC D. △BDF∽△BAE 二、填空题 6. 已知，则___________． 7. 已知点是线段上的黄金分割点，，，那么___________． 8. 如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝3，BD＝1.5，那么BF的长是_____． 9. 已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为______米． 10. 如图，，如果，，那么___________． 11. 如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，连接，如果，那么___________． 12. 在中，，于D．若，则的正切值为___________． 13. 如图，正方形的边长为2，，线段的两端分别在上滑动，那么当_____时，与相似． 14. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，那么的值为________． 15. 如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上（）．请画出点A、B、C、D分别关于的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是___________． 三、解答题 16. 计算： 17. 计算： 18. 如图，在的正方形网格中，与是位似图形． （1）在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； （2）以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； （3）在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 19. 已知：如图，在中，，，．求： （1）的面积； （2）的余弦值． 20. 【项目背景】学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】素材一：凸透镜成像规律：（）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（）表示像到凸透镜的距离，规律如表： 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线传播方向不发生改变：平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 【项目任务】 （1）任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①___________，②___________，③___________； （2）任务二：某实验小组取焦距为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距（）时，测量蜡烛的成像的高为， ①当为时，的值为___________； ②以为自变量，为因变量；写出与的关系式：___________； ③当时，随的增大而___________（选填“增大”或“减小”）（提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分） 21. 如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，∠ADB＝∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2＝DE•DF． （1）求证：△BFD∽△CAD； （2）求证：BF•DE＝AB•AD． 22. 如图，直线l：交x轴于点A，交轴于点，点在轴正半轴上，且．点在线段上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，连结． （1）求点的坐标； （2）求证：； （3）若点是直线上的动点，连结，当时，直接写出点坐标． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $