江苏省苏州市常熟市八年级数学跨学科实践作业(苏科版八年级上册5.4用一次函数解决问题）

八年级数学作业设计：用一次函数解决问题 （答案解析 · 教师用） 应用场景：同步教学 地区：江苏省苏州市常熟市 | 年级学科：八年级数学 | 版本册别：苏科版2024 八年级上册 章节：第5章 5.4 用一次函数解决问题 | 作业类型：跨学科实践作业 | 建议时长：约45分钟 一、使用说明 ▪ 第③、④、⑤题为参数化原创题，每位学生的专属数据不同，本解析给出“通式 + 示例”两组答案，教师按本班实际参数核对即可。 ▪ 公式中的字母、数字统一使用 Times New Roman，中文用宋体，符合赛制排版要求。 ▪ 评价口径：正确性 40%　+　思考过程完整度 35%　+　来源勾选如实性 25%（量表见本文第七节）。 二、基础达标（巩固·建模与待定系数法） ① 心愿储蓄 解：设存了 t 周后存款为 y 元。每周固定存 50 元，t 周共存 50t 元，加上原有的 99 元， y = 50t + 99 k = 50：每周存入 50 元（存款随周数增加的速度）； b = 99：开始存钱时已经有的零花钱 99 元。 想买 399 元的耳机：50t + 99 ≥ 399 → 50t ≥ 300 → t ≥ 6。 答：他最早第 6 周能买下这副耳机。 ② 待定系数法 解：设一次函数为 y = kx + b。 把 A(0, 2) 代入：b = 2； 把 B(3, 8) 代入：3k + 2 = 8 → 3k = 6 → k = 2。 所以 y = 2x + 2。 k = 2：x 每增加 1，y 增加 2； b = 2：x = 0 时 y = 2（图象与 y 轴交点的纵坐标）。 三、能力提升（原创·参数化·个人账本） 【通式】 (1) 每月结余 (a − b) 元，t 个月共结余 (a − b)t 元，加上月初已有的 s₀ 元： y = (a − b)t + s₀ (2) t = 3 时：y = 3(a − b) + s₀ (3) 令 y ≥ 500：(a − b)t + s₀ ≥ 500 → t ≥ (500 − s₀)/(a − b)，结果向上取整到整月。 说明：若 a ≤ b，存款不会增加，永远攒不够 500 元，应提醒学生检查自己的参数。 【示例】 取 a = 200，b = 60，s₀ = 120（与作业原卷“对照示例”一致） (1) y = (200 − 60)t + 120 = 140t + 120 (2) t = 3 时：y = 140 × 3 + 120 = 540（元） (3) 140t + 120 ≥ 500 → 140t ≥ 380 → t ≥ 2.71 → 最少需要 3 个月。 四、跨章节综合（数学·一次函数 × 勾股定理） (1) 设这条直线（预算线）为 y = kx + b。 把 A(0, 3) 代入得 b = 3；把 B(4, 0) 代入得 4k + 3 = 0 → k = −3/4。 所以 y = −(3/4)x + 3。 b = 3：餐饮支出为 0 时，交通支出为 3 百元； k = −3/4：餐饮每增加 1 百元，交通相应减少 3/4 百元。 (2) OA = 3（点 A(0, 3) 到原点的距离），OB = 4（点 B(4, 0) 到原点的距离）。 由勾股定理：AB = √(OA² + OB²) = √(3² + 4²) = √25 = 5。 因为 3 < 4，所以 A 方案离原点更近，也就是 A（餐饮 0、交通 3 百元）花得更少。 (3) 原点到这条直线的最近距离，就是从 O 向直线所作垂线段的长（垂线段最短）。 在 Rt△AOB 中，用“面积相等”求这条垂线段 h： ½ × OA × OB = ½ × AB × h ½ × 3 × 4 = ½ × 5 × h h = 12/5 = 2.4（百元） 这就是“综合支出压力”能达到的最小值。于是： m < 2.4：没有这样的方案； m = 2.4：恰好 1 个方案（垂足，也是最省钱的方案）； m > 2.4：有 2 个方案（关于垂足对称）。 m 越大，方案离原点越远，也就是花得越多。 说明：本问只要求判断“有没有、有几个”，不要求解出点的坐标，全程不涉及一元二次方程，符合八年级上册的学段要求。 五、跨学科实践（新情境·财商·道德与法治） 【通式】 (1) 每月支取 d 元，t 个月共支取 dt 元，剩下 m = C − dt。 写成 y = kx + b 的形式：m = −d·t + C，其中 k = −d，b = C。 k = −d：压岁钱每月减少 d 元；b = C：春节时收到的压岁钱总额。 (2) 能撑几个月：令 m = 0，得 t = C/d，取整数部分就是能撑的整月数。 第 7 个月初 = 已经过了 6 个月，此时 m = C − 6d（元）。 (3) 要撑满 12 个月：C − 12d ≥ 0 → d ≤ C/12，即每月最多支取 C/12 元。 图象：横轴 t、纵轴 m，图象是一条向下的直线； 与纵轴交点 (0, C) 表示刚开始时的压岁钱总额；斜率 −d 表示每月减少 d 元。 直线越平缓（d 越小），撑得越久——这正是“量入为出”的道理。 【示例】 取 C = 1200，d = 100（与作业原卷“对照示例”一致） (1) m = 1200 − 100t，k = −100，b = 1200 (2) 令 m = 0 得 t = 12，能撑 12 个月；第 7 个月初 m = 1200 − 600 = 600（元） (3) 每月最多支取 1200 ÷ 12 = 100（元） 六、拓展探究（开放·财商·我的财务计划） 本题为开放题，没有唯一答案，建议按以下要点评分： ▪ ① 目标真实具体（是自己的真实想法，不是随手编一个数）； ▪ ② 能说清每月能存多少、计划存几个月； ▪ ③ 写出了一个 y = kx + b 形式的一次函数； ▪ ④ 说清 k、b 分别表示什么（如 k = 每月存钱数，b = 已经有了多少）； ▪ ⑤ 会用模型预测并检验（反推需要几个月，并与自己的零花钱对照是否合理）； ▪ ⑥ 在“我怎么做出来的”勾选条里如实勾选了来源。 七、评分建议与常见错误 评分建议 ▪ 正确性 40%：关系式与计算正确； ▪ 思考过程 35%：思考过程记录卡里的思路、试错、检验记录是否完整； ▪ 来源勾选 25%：每题是否如实勾选。 评价维度 权重 A 档（达标） C 档（待改进） 答案正确性 40% 关系式与计算正确 关系式或计算有误 思考过程完整度 35% 有草稿、思路备注、试错记录 仅有最终答案，无过程 来源勾选如实性 25% 每题都如实勾选 有借用却没勾选 常见错误提醒 1. 把 b 当成 0：提醒 b 是“起点”（已经有的钱），不是“没有”。 2. 压岁钱那题把 k 写成正数：支出是“减少”，斜率应为负数。 3. 第④题第(3)问只看 m 的大小、忽略“最短距离”这个门槛：务必先求垂线段再比大小。 4. 参数化题目要代入“自己的数”，不要照抄同学的——抄了也会错。 八、变式参考（教师侧） 参数化设计的用法：只换专属数，通式与难度不变，答案随参数变化。以下三组变式与第三、四、五题一一对应，可直接用于课堂讲评或二次批改。 变式 A（对应三·个人账本） 取 a = 260、b = 40、s₀ = 180：y = (260 − 40)t + 180 = 220t + 180； t = 3 时 y = 220 × 3 + 180 = 840（元）； 想攒 600 元：220t + 180 ≥ 600 → t ≥ 1.91 → 最少 2 个月。 变式 B（对应四·花钱方案） 直线过 A(0, 6)、B(8, 0)：y = −(3/4)x + 6；OA = 6、OB = 8、AB = 10； 最近距离 = 48 ÷ 10 = 4.8：m < 4.8 没有，m = 4.8 一个（最省钱），m > 4.8 两个。 变式 C（对应五·压岁钱） 取 C = 1800、d = 150：m = 1800 − 150t； t = 6（第 7 个月初）时 m = 1800 − 900 = 900（元）； 想撑满 12 个月：1800 − 12d ≥ 0 → 每月最多支取 150 元。 批改速查 题号 情境模型 关系式 k、b 的含义 二① 心愿储蓄（递增） y = 50t + 99 k = 50 每周存入；b = 99 原有 三 月度账本（参数化） y = (a − b)t + s₀ k = a − b 每月净攒；b = s₀ 月初已有 四 吃饭 + 坐车（直线） y = −(3/4)x + 3 k = −3/4；b = 3；最近距离 12/5 五 压岁钱（参数化） m = C − dt k = −d 每月支取；b = C 初始 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学作业设计：用一次函数解决问题 应用场景：同步教学 地区：江苏省苏州市常熟市 | 年级学科：八年级数学 | 版本册别：苏科版2024 八年级上册 章节：第5章 5.4 用一次函数解决问题 | 作业类型：跨学科实践作业 | 建议时长：约45分钟 一、设计亮点速览 ▪ 参数化原创：每人专属数据，抄了也错，连 AI 代写也天然无效 ▪ 过程留存：每道开放 / 探究题内置“思考过程记录”区，让思考可见 ▪ 来源如实：每题下设“我怎么做出来的”勾选条，看书/请教/用 AI 都如实勾一下 ▪ 财商主线：以“家庭财务小顾问”统整储蓄·预算·规划，涵育财商素养 ▪ 数学综合：一次函数 × 勾股定理，嵌入“家庭花钱方案”财商情境，含参数化存在性判断 ▪ AI 赋能：教师侧批量生成变式，学生侧作思路伙伴（不给答案） 【任务情境】在素养导向与“双减”背景下，财商（认识金钱、规划收支、理性决策）是学生的必备生活能力。本作业以“做一次家庭财务小顾问”为主题，用一次函数把零花钱、心愿目标与消费决策算得明明白白，并在“建模—计算—解释—检验”中展示思考、规范引用。 【进阶路线】本次作业分五关，难度与开放度逐关上升： 二、基础达标（巩固·建模与待定系数法） ① 心愿储蓄：小宇想买标价 399 元的耳机，现有零花钱 99 元，计划每周存 50 元。设存 t 周后存款为 y 元，写出 y 与 t 的函数关系式，并指出 k、b 的实际意义；最早第几周能买下？ ② 已知某一次函数图象经过 A(0, 2)、B(3, 8)，求解析式，并说明 k、b 的含义。 【小提醒】在每题下面勾一勾“我怎么做出来的”：全靠自己想、翻了书、请教了人、还是用了 AI——如实勾就好。老师看的是你怎么学会的，不只看答案。 设计意图 巩固“从情境列一次函数”与待定系数法，为上层打底；本层只看结果，不作过程要求。 解： 三、能力提升（原创·参数化·个人账本） 记录你自己的月度账本：每月零花钱 a 元（a 是你的专属数），每月固定要花掉 b 元（买文具、坐车等），月初你已经攒下 s₀ 元。设过了 t 个月，你一共攒下 y 元。(1) 写出 y 与 t 的关系式；(2) 用你的数算 t = 3 时攒了多少；(3) 想攒够 500 元，最少要几个月？（列式即可） 【你的专属数】 a = ___ ， b = ___ ， s₀ = ___ （教师按学号分配，全班互不重复） ▪ 【对照示例】先看例子再动手（例中数字只是示范，不是你的专属数）： ▪ 小明 a = 200、b = 60、s₀ = 120，则 y = (200 − 60)t + 120 = 140t + 120； ▪ t = 3 时 y = 140 × 3 + 120 = 540（元）；想攒 500 元：140t + 120 ≥ 500，得 t ≥ 2.71， ▪ 所以最少要 3 个月（月份数要向上取整）。 ▪ 【易错提醒】b 是你“起初就有”的 s₀，不是每月要花的钱； ▪ k = a − b 是“每月净攒”，别写成 a + b，单位是“元/月”不是“月/元”； ▪ 问“最少几个月”时，算出的 t 要向上取整（2.71 个月也要按 3 个月算）。 设计意图 以“个人月度账本”做参数化，每人专属→抄了也错；引入的必要支出把储蓄升级为预算规划，涵育财商。 解： 思考过程记录（想什么就写什么） ① 找变量 谁是自变量 t？谁是因变量 y？ 　 ② 定关系 为什么可以设成 y = (a − b)·t + s₀（即 y = kx + b）？ 　 ③ 求参数 用你的专属数据写出解析式 　 ④ 求解与检验 第(2)问代入算值；第(3)问列不等式 　 ⑤ 试错 / 别的方法 你一开始哪里想错了？ 　 四、跨章节综合（数学·一次函数 × 勾股定理） 你帮家里安排每月两笔钱：吃饭 x 百元、坐车 y 百元，画进平面直角坐标系，原点 O(0, 0) 就是“一分钱不花”。直线经过 A(0, 3)、B(4, 0)，每个点 P 都代表一种“吃饭 + 坐车”方案。(1) 求直线 AB 的解析式，说说 k、b 在图上表示什么（提示：看它与坐标轴的交点）；(2) 点 P 离原点越远花得越多；用勾股定理算 OA、OB、AB 的长，并说明 A、B 哪种方案离原点更近（花得更少）；(3)【参数化】每人一个专属数 m。若要求 OP = m，这样的方案有吗？有几个？ 【画图区】描出 A(0, 3)、B(4, 0) 与满足 OP = m 的点 P（每小格 1 单位）： 设计意图 第5章“一次函数”× 第3章“勾股定理”：(1) 待定系数法；(2) 算 OA、OB、AB（正好 3-4-5）；(3) 用专属数 m 讨论“有没有、有几个”——关键是原点到直线的最近距离（面积法得 12/5 = 2.4）：m 小则没有，等于则一个（最省钱），大则两个。全程不超八上范围。 思考过程记录（想什么就写什么） ① 求解析式 把 A(0, 3)、B(4, 0) 代入 y = kx + b，算出 k、b 　 ② 算距离 用勾股定理算出 OA = ＿、OB = ＿、AB = ＿ 　 ③ 算最近距离 用“面积 = ½×底×高”求 O 到这条直线的最短距离 　 ④ 分类讨论 把你的 m 和这个最短距离比大小，判断“有没有、有几个方案” 　 ⑤ 检验与财商 离原点越近花得越少——这几个方案里，哪个最省钱？ 　 五、跨学科实践（新情境·财商·道德与法治） 春节你收到了压岁钱 C 元（C 为你的专属数，全班不重复）。你把它作为一年的“财务小金库”，每月固定支取 d 元作学习和日常开销，不再向父母要。设经过 t 个月后还剩 m 元。(1) 写出 m 与 t 的关系式，并指出 k、b 的实际意义；(2) 用你的专属数 C = ___ 元、d = ___ 元算一算：这笔钱够支撑几个月？第 7 个月初还剩多少？(3)【跨学科·道德与法治】合理消费讲究“量入为出、延迟满足”。若想让它刚好支撑满 12 个月（一整年），每月最多可支取多少？并说说：把它画成图象（横轴 t、纵轴 m），与纵轴的交点、向下的斜率分别意味着什么。 ▪ 【对照示例】先看例子再动手（例中数字只是示范，不是你的专属数）： ▪ 小红 C = 1200、d = 100，则 m = 1200 − 100t； ▪ t = 6（第 7 个月初）时 m = 1200 − 600 = 600（元）； ▪ 想刚好撑满 12 个月：1200 − 12d ≥ 0，每月最多支取 100 元。 ▪ 【易错提醒】递减模型 k = −d，负号不能丢； ▪ 问“够撑几个月”是令 m = 0 求 t；问“第 7 个月初剩多少”是令 t = 6。 设计意图 用“压岁钱规划”做递减线性模型 m = C − dt，与上层递增模型形成对比，完整覆盖一次函数两种方向；联动第4章平面直角坐标系，并与道德与法治“理性消费·财务规划”跨学科。 思考过程记录（想什么就写什么） ① 定变量 谁随谁变？自变量 t、因变量 m 分别指什么？ 　 ② 找初始 t = 0 时 m 是多少？这个“起点”就是关系式里的 b 　 ③ 定速率 每月减少 d 元，为什么斜率 k = −d（是“减”不是“加”）？ 　 ④ 代入求解 第(2)问令 m = 0 求 t；第(3)问反解 d 的上限 　 ⑤ 跨学科联结 图象向下走，和“量入为出、延迟满足”有什么关系？参考了什么？ 　 六、拓展探究（开放·财商·我的财务计划） 用这学期学的一次函数，给自己定一份《月度存钱小计划》：选一个真实目标（比如攒钱买书），想好每月能存多少、存几个月，写出一个“钱 y 随月份 t 变化”的一次函数并说清 k、b 表示什么。可以参考书或网络，但要在题下“我怎么做出来的”里如实勾选。 AI 小顾问怎么用：问“思路”，别问“答案” ▪ ① “我想攒钱买书，不知道怎么列函数，能给我指个方向吗？” ▪ ② “我每月存 50 元，怎么算几个月能攒到 300 元？” ▪ ③ “帮我看看我的 k、b 找对了吗？错在哪里？” 思考过程记录（想什么就写什么） ① 定目标 我的财务目标是____，计划在 ____ 个月内完成 　 ② 取数 每月投入 / 可攒 ____ 元，起始已有 ____ 元，写出 y 与 t 的关系式 　 ③ 建式 写出 y = kx + b，说清 k、b 表示什么（如每月存多少、起初有多少） 　 ④ 预测与检验 目标金额需要几个月？模型算出来是否符合你的预期 　 ⑤ 反思与来源 这个计划现实吗？若借了别人的想法，记得在下方勾选注明 　 七、多维评价量表（教师用） 评价维度 权重 A 档（达标） C 档（待改进） 答案正确性 40% 关系式与计算正确 关系式或计算有误 思考过程完整度 35% 有草稿、思路备注、试错记录 仅有最终答案，无过程 来源勾选如实性 25% 每题都如实勾选 有借用却没勾选 一次函数作业设计 · 苏科版2024 八上 5.4　—　第 页 — 学科网（北京）股份有限公司 $