5.5 一次函数与二元一次方程(讲义，1大知识5大题型+刷好题)数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦一次函数与二元一次方程的核心关联，系统梳理二元一次方程与一次函数解析式的互化方法，明确方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，搭建从代数变形到几何直观的学习支架。 资料以“数”“形”结合为特色，通过典例变式训练发展学生几何直观与推理能力，实际情境题（如引流烧杯问题）培养模型意识。课中助力教师突破数形结合难点，课后供学生强化练习，有效查漏补缺。

第五章 一次函数 5.5 一次函数与二元一次方程 课标要点 1.理解二元一次方程与一次函数解析式的等价转化，能灵活互化两种形式。 2.掌握二元一次方程组的解对应两个一次函数图像交点坐标，会用图像法解方程组。 3.结合图像，利用函数与方程关系求解简单不等式、比较函数值，解决数形结合小题。 学习重难点 重点： 1.二元一次方程与一次函数的互相变形转化。 2.方程组的解与两直线交点坐标的对应关系。 3.图像法解二元一次方程组的基础步骤。 难点： 1.数形结合：根据交点坐标反写方程组，由方程组判断直线交点位置。 2.利用函数图像求解二元一次不等式，确定自变量取值范围。 3.结合实际情境，联立两个一次函数构建方程组求解交点实际含义。 知识点一 一次函数与二元一次方程 思路：一般地，二元一次方程都能写成的形式，因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是多少； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 【补充】 特别提醒 1）二元一次方程组无解⇔两条直线平行（无交点）； 2）二元一次方程组有唯一解⇔两条直线相交（有一个交点）； 3)二元一次方程组有无数组解⇔两条直线重合（有无数个交点）； 4）二元一次方程组的图解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解. 5）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标. 即学即练 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·广东惠州·二模）如图，两条直线的交点坐标可以看作两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是，则另一个方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型01 图象法解二元一次方程组 典｜例｜精｜析 例1．（22-23八年级下·四川眉山·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 题型02 两直线的交点与二元一次方程组的解 典｜例｜精｜析 例2．（22-23八年级上·山东青岛·期末）一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）直线与直线的交点坐标是__________． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）若方程组的解是，则直线与的交点坐标是______． 3．（25-26八年级上·辽宁阜新·期末）已知直线与的交点的坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为_______． 题型03 已知二元一次方程组的解求满足的二元一次方程 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与的交点坐标可以看成是二元一次方程组_____的解． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）图中两条直线与的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）如图，以两条直线的交点坐标为解的方程组是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）小华用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了两个一次函数的图象，，如图所示，则小华解的这个方程组是（     ） A． B． C． D． 题型04 根据二元一次方程组解的情况判断一次函数位置关系 典｜例｜精｜析 例4．（安徽省蚌埠市禹会区蚌埠田家炳中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试题）由于直线与平行，则方程组的解的情况是（   ） A．有唯一解 B．无解 C．无数解 D．有限解 变｜式｜巩｜固 1．（2025-2026学年度第一学期期末教学质量评估八年级数学试题（沪科版））已知关于，的二元一次方程组没有解，则一次函数与的图象必定（   ） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）方程组没有解，因此直线和直线在同一平面直角坐标系中的位置关系是______． 题型05 求直线围成的图形面积 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求的值； (2)填空：不等式：的解集是______； (3)若点在的图象上，且满足，直接写出点的坐标． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的表达式； (2)是射线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，当时，请求出点的坐标． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． (1)求点坐标，并写出不等式的解集； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若直线的图象上有一点，且时，求点的坐标． 基础通关 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C．无解 D．不能确定 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数的图像与的图像交点为，则关于x、y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数与的图像，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，直线与直线交于点，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 6．（18-19八年级上·四川成都·期末）如图，直线、的交点坐标可以看作哪一个方程组的解（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 素养提升 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）点是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不会经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024年湖南省三湘大联考中考模拟数学试题）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 3．以方程和的解为坐标的点一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4（江苏省连云港市赣榆区2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题）已知平面直角坐标系中有三点，，，若过点C的直线将分成面积之比为两部分，则k的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 5．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标点，，点，则的重心坐标为________． 迁移创新 1．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【学习探究】 任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如果将二元一次方程的每个解对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象． 【初步探究】 (1)探究二元一次方程的图象． ①在表格中列出二元一次方程的解： … 0 1 2 … … 0 1 2 … ②将表中每组对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，得到点的坐标：…，，（ ， ），（ ， ），…请在平面直角坐标系内描出以上各点，并画出图象； 【类比探究】 (2)已知二元一次方程，类比以上方法完成下表： … 1 2 … … 1 … 表中 ， ，并在平面直角坐标系中画出二元一次方程的“图象”，请写出上述两个二元一次方程“图象”的交点的坐标：（ ， ），并解释交点的意义： ； 【拓展探究】 (3)若二元一次方程的“图象”与轴相交于点，求三角形的面积． 2．（2026·江苏盐城·三模）如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U形管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为，（单位：），图2是，与引流时间x（单位：s）的函数图象，第秒时引流停止． (1)与的交点坐标为_______；木垫的高度为______厘米； (2)请分别求出，与的函数关系式（不写自变量x的取值范围）； (3)求甲、乙容器中的液面高度相差时的时间． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一次函数 5.5 一次函数与二元一次方程 课标要点 1.理解二元一次方程与一次函数解析式的等价转化，能灵活互化两种形式。 2.掌握二元一次方程组的解对应两个一次函数图像交点坐标，会用图像法解方程组。 3.结合图像，利用函数与方程关系求解简单不等式、比较函数值，解决数形结合小题。 学习重难点 重点： 1.二元一次方程与一次函数的互相变形转化。 2.方程组的解与两直线交点坐标的对应关系。 3.图像法解二元一次方程组的基础步骤。 难点： 1.数形结合：根据交点坐标反写方程组，由方程组判断直线交点位置。 2.利用函数图像求解二元一次不等式，确定自变量取值范围。 3.结合实际情境，联立两个一次函数构建方程组求解交点实际含义。 知识点一 一次函数与二元一次方程 思路：一般地，二元一次方程都能写成的形式，因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是多少； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 【补充】 特别提醒 1）二元一次方程组无解⇔两条直线平行（无交点）； 2）二元一次方程组有唯一解⇔两条直线相交（有一个交点）； 3)二元一次方程组有无数组解⇔两条直线重合（有无数个交点）； 4）二元一次方程组的图解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解. 5）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标. 即学即练 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图象可知：方程组的解是． 2．（2022·广东惠州·二模）如图，两条直线的交点坐标可以看作两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是，则另一个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两条直线的交点坐标，将分别代入每个方程中，求出的值即可判断． 【详解】解：两条直线的交点坐标为， A．当时，， 解得：，故此选项不符合题意； B．当时，， 解得：，故此选项符合题意； C．当时，， 解得：，故此选项不符合题意； D．当时，， 解得：，故此选项不符合题意． 3．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出两点的坐标，得到，结合题意得到，进而求出，由即可得出结果． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则时，，时，，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 题型01 图象法解二元一次方程组 典｜例｜精｜析 例1．（22-23八年级下·四川眉山·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（21-22八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 2．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 题型02 两直线的交点与二元一次方程组的解 典｜例｜精｜析 例2．（22-23八年级上·山东青岛·期末）一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 【答案】 1 3 【分析】利用表中的对应值得到时，，则可判断一次函数的图象和的图象的交点坐标为，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：由表中数据得到时，， 所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为， 所以方程组的解为，． 故答案为：1，3． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）直线与直线的交点坐标是__________． 【答案】 【分析】联立两直线解关于x、y的二元一次方程组即可得交点坐标． 【详解】解：∵直线与直线相交， 联立直线方程可得，解得， ∴交点坐标为． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）若方程组的解是，则直线与的交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组与一次函数的关系，二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，结合已知条件即可得到结果． 【详解】解：直线变形可得，直线变形可得， 直线与直线的交点坐标就是方程组的解， 该方程组的解为， 两直线的交点坐标为． 3．（25-26八年级上·辽宁阜新·期末）已知直线与的交点的坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为_______． 【答案】 【分析】根据题意求出，交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：直线与的交点的坐标为， ， 交点坐标为， 关于、的二元一次方程组的解为． 题型03 已知二元一次方程组的解求满足的二元一次方程 典｜例｜精｜析 例3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与的交点坐标可以看成是二元一次方程组_____的解． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据题意得到二元一次方程组． 【详解】解：根据题意得直线与的交点坐标可以看成是二元一次方程组的解． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）图中两条直线与的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系；根据题意联立直线与的解析式，再整理成一般形式即可． 【详解】解：由图可知直线的解析式为，直线的解析式为， 联立方程组得，即为， ∴直线与的交点坐标可以看作方程组的解； 故选A． 2．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）如图，以两条直线的交点坐标为解的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两直线交点与二元一次方程组的解，二元一次方程组的解等知识，数形结合是解题的关键；由图知两直线的交点为，即为对应二元一次方程组的解，由解可得，即可作出判断． 【详解】解：由图知两直线的交点为，即为对应二元一次方程组的解， 由两个解得：， 由四个选项知，只有选项D满足题意，其它三个选项中，至少有一个方程不满足． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）小华用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了两个一次函数的图象，，如图所示，则小华解的这个方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组成方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组． 【详解】解：设直线的函数解析式为， 由图可知，直线过，， ，解得， ∴直线的函数解析式为． ， ． 设直线的函数解析式为， 由图可知，直线过，， ，解得， ∴直线的函数解析式为． ． 因此所求的二元一次方程组为． 故选：A． 题型04 根据二元一次方程组解的情况判断一次函数位置关系 典｜例｜精｜析 例4．（安徽省蚌埠市禹会区蚌埠田家炳中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试题）由于直线与平行，则方程组的解的情况是（   ） A．有唯一解 B．无解 C．无数解 D．有限解 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，平行的两条直线无交点，对应的二元一次方程组无解，也可通过消元法验证方程组是否有解． 【详解】解：∵直线与平行，两直线没有交点 ∴方程组无解 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（2025-2026学年度第一学期期末教学质量评估八年级数学试题（沪科版））已知关于，的二元一次方程组没有解，则一次函数与的图象必定（   ） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的关系，利用方程组无解的条件判断对应一次函数图象的位置关系． 【详解】解：∵将方程组中的方程化为一次函数形式． 第二个方程两边同时除以2，得，即． 第一个方程移项得． 又∵该二元一次方程组没有解． ∴一次函数与的图象无交点． ∴这两个一次函数的图象必定平行． 故选：B． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）方程组没有解，因此直线和直线在同一平面直角坐标系中的位置关系是______． 【答案】平行 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据方程组无解表明两条直线没有交点，即可得出结论． 【详解】解：∵没有解，即没有解， ∴直线和直线在同一平面直角坐标系中的位置关系是平行； 故答案为：平行． 题型05 求直线围成的图形面积 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求的值； (2)填空：不等式：的解集是______； (3)若点在的图象上，且满足，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，根据函数图象求不等式的解集，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合． （1）根据题意得出，再利用待定系数法求解即可； （2）根据两条直线的交点坐标，结合函数图象得出答案即可； （3）先求出点B的坐标，得出的面积，分两种情况分析：当点D在直线左侧时，当点D在直线右侧时，结合图形分别计算面积求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， 将点、代入得：， 解得：； （2）解：根据图象可知：不等式的解集是：； 故答案为：； （3）解：由（1）得直线的解析式为：， 令，则，令，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点D在直线左侧时， ， ∴此时点M与点D重合， ∴； 当点D在直线右侧时， 设点D的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∴点D的坐标为 综上：点D的坐标为或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． (1)求一次函数的表达式； (2)是射线上一点，过点作轴的平行线交直线于点，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数解析式的确定、一次函数与正比例函数的交点问题以及平面直角坐标系中线段长度的计算，熟练运用待定系数法和数形结合思想是解答本题的关键． （1）先利用正比例函数解析式求出交点的坐标，再结合已知点的坐标，通过待定系数法求解一次函数的表达式； （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，进而得到的长度，再设出点的横坐标，根据平行于轴的直线上点的坐标特征表示出、的坐标，结合线段长度关系列方程求解点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把和代入得： ， 解得：， 一次函数表达式为； （2）解：把代入得：， ， ， 设点的横坐标为，则，， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点、． (1)求点坐标，并写出不等式的解集； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，两条直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）将代入可以求得点的坐标，再由图象即可求解不等式的解集； （2）根据待定系数法即可求得一次函数的函数解析式； （3）先求出、的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 点的坐标为； 由函数图象可得，不等式的解集为； （2）解：将，代入得， 解得， 一次函数的函数解析式为； （3）解：对于， 当时，， 即点A的坐标为， 对于， 当时，， 即点B的坐标为， 则， 点D的坐标为， 的边上的高为， 则的面积为． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若直线的图象上有一点，且时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积． （1）根据点C的坐标，利用待定系数法求出k、b的值； （2）求出点B的坐标，利用三角形的面积公式结合，列出关于的一元一次方程求解即可； 作轴交直线于点，设点的坐标为，求得，根据三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为． 将代入， 得：， 解得：； （2）解：由（1）知， 当时，有， 解得：， ∴点的坐标为． 设点的坐标为， ， 解得：， ∴点的坐标为或； （3）解：作轴交直线于点，设点的坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴， ∵点的坐标为， 由题意得， 即， 解得或， ∴点的坐标为或． 基础通关 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x，y的方程组的解是（     ） A． B． C．无解 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解，即可得出答案． 【详解】解：由图可知直线和直线相交于点， 则关于x和y的二元一次方程组，即的解是． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数的图像与的图像交点为，则关于x、y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，明确两个一次函数图像的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题关键，先求出交点的纵坐标，再结合方程组与函数的转化关系得出方程组的解． 【详解】解：∵点在的图像上． ∴将代入得，． ∴两个一次函数图像的交点为． 又∵方程组可变形为． ∴该方程组的解就是两个一次函数图像的交点坐标． ∴方程组的解为． 3．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数与的图像，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答． 【详解】解：由题图得一次函数与的图象交于点， 二元一次方程组的解是 ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是两条直线的交点问题，根据定义，“亮点”是一次函数与的交点，联立和解方程组即可． 【详解】解：∵亮点是和的交点， ∴联立方程：， 解得： ∴交点为，即“亮点”为， 故选：B． 5．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，直线与直线交于点，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．两个一次函数图象的交点坐标即为联立解析式组成方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为， 即方程组的解为． 故选：A． 6．（18-19八年级上·四川成都·期末）如图，直线、的交点坐标可以看作哪一个方程组的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二元一次方程组的解与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用待定系数法求得两个一次函数的解析式，即可求得答案． 【详解】解：不妨设、为，， 不妨设过，将代入，得到 ， 解得， 为，即， 由题意可知，过，将代入，得到 ， 解得， 为，即， 直线、的交点坐标可以看做方程组的解， 故选：A． 7．（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项结论正确，不符合题意； ∴不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项结论正确，不符合题意； 将点P的坐标代入直线与直线可得直线与直线 ∴直线与x轴交于点， ∴不等式组的解集是，故C选项结论正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是， 无法求出方程组的解，故D选项结论错误，符合题意． 故选：D． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键． 素养提升 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）点是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不会经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是首先消去a，求出y与x的函数关系式．首先用消元法消去a，得到y与x的函数关系式，然后根据一次函数的图象及性质即可得出结论． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴的图象经过一三四象限，不经过第二象限． 故选B． 2．（2024年湖南省三湘大联考中考模拟数学试题）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】这是一道关于一次函数的综合题，考查了一次函数的交点问题，一次函数与一元一次不等式，求三角形的面积等，应用割补法表示出不规则三角形的面积是解题的关键． 先将代入，求出点C的坐标；可得一次函数关系式为．再求出分别求出点A，B的坐标，再分两种情况，根据求出坐标即可． 【详解】解：根据题意，将代入，得， 解得， ∴点C的坐标是； 将点代入，得， 解得， ∴一次函数关系式为． ∵当时，；当时，， ∴，； 如图，当点D在直线上方时，设点， 则， 解得， ∴； 如图，当点D在直线下方时，设点， 则， 解得， ∴， 综上，点D的坐标是或． 故选：D． 3．以方程和的解为坐标的点一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组及判断点所在象限，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 通过解方程组得到点的坐标，分析坐标的符号与参数的关系，判断点可能出现的象限，发现点的横纵坐标不可能同时为负，因此一定不在第三象限，即可得到答案． 【详解】解：联立， 解得， ， A、当在第一象限，则，解得，存在这样的使在第一象限，不符合题意； B、当在第二象限，则，解得，存在这样的使在第二象限，不符合题意； C、当在第三象限，则，不等式组无解，不存在这样的使在第三象限，符合题意； D、当在第四象限，则，解得，存在这样的使在第四象限，不符合题意； 故选：C． 4（江苏省连云港市赣榆区2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题）已知平面直角坐标系中有三点，，，若过点C的直线将分成面积之比为两部分，则k的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值． 【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D， ∵，， ∴， 当点为原点时，如图， ∵，， ∴，， ∴，符合要求， 此时直线过原点， ∴， 解得：； 当点在时，如图， 此时，， ∴，符合要求， 此时直线过和， ∴， ∴， 综上，k的值是或， 故选：D． 5．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标点，，点，则的重心坐标为________． 【答案】 【分析】取、的中点、，连接、交于点，则点是的重心，根据中点坐标公式可得，，利用待定系数法求出直线和的解析式，再求出两直线的交点坐标即可得解． 【详解】解：如图，取、的中点、，连接、交于点，则点是的重心， ，，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， ，即的重心坐标为． 迁移创新 1．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【学习探究】 任何一个二元一次方程在一般情况下有无数个解，如果将二元一次方程的每个解对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，在平面直角坐标系内描出各点，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象． 【初步探究】 (1)探究二元一次方程的图象． ①在表格中列出二元一次方程的解： … 0 1 2 … … 0 1 2 … ②将表中每组对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，得到点的坐标：…，，（ ， ），（ ， ），…请在平面直角坐标系内描出以上各点，并画出图象； 【类比探究】 (2)已知二元一次方程，类比以上方法完成下表： … 1 2 … … 1 … 表中 ， ，并在平面直角坐标系中画出二元一次方程的“图象”，请写出上述两个二元一次方程“图象”的交点的坐标：（ ， ），并解释交点的意义： ； 【拓展探究】 (3)若二元一次方程的“图象”与轴相交于点，求三角形的面积． 【答案】(1)0，0，1，1， (2)，，3，3，方程组的解为函数的图象与函数的图象交点坐标； (3) 【分析】（1）根据①所求填空并描出对应的点，连接这些点得到图象； （2）将对应值代入求出a，b的值，仿照（1）画出对应的图象，并找到交点坐标，根据交点坐标满足两个方程即可得到结论； （3）求出点的坐标为，利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：②将表中每组对应值中的值作为一个点的横坐标，的值作为这个点的纵坐标，得到点的坐标：…，，，，… 图略； （2）解：将代入，得，解得； 将代入，得，解得； 图象略， 解，得， ∴交点A的坐标为， 表示方程组的解为函数的图象与函数的图象交点坐标； （3）解：当时，解得， ∴二元一次方程的“图象”与轴相交于点的坐标为， ∴三角形的面积． 2．（2026·江苏盐城·三模）如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U形管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为，（单位：），图2是，与引流时间x（单位：s）的函数图象，第秒时引流停止． (1)与的交点坐标为_______；木垫的高度为______厘米； (2)请分别求出，与的函数关系式（不写自变量x的取值范围）； (3)求甲、乙容器中的液面高度相差时的时间． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）由图象可知，当时，，且初始点和，可分别求出，，引流时停止，此时液面相平，因此木垫高度等于此时 ． （2）由（1）直接写出，与的函数关系式即可． （3）由题意得，分和两种情况，代入解析式解方程即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知， 当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等． 初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水， 时，两个杯子中的水面离杯底的高度都是． 与的交点坐标为， 设的函数关系式为． 由图象可知，经过点和． 将代入得． 将代入得，解得． 设的函数关系式为． 由图象可知，经过点 和． 将代入得． 将代入得，解得． 两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止， 由函数图象可得，时，引流停止， 当时，，， 木垫的高度为． （2）解：由（1）可得 与的函数关系式为，与的函数关系式为． （3）解：根据题意，甲、乙容器中的液面高度相差，即． ① 当时： ，解得； ②当时： ，解得， ，符合题意， 甲、乙容器中的液面高度相差时的时间为或． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】先将点代入直线解析式求出，得到点坐标，再将、两点坐标代入，列方程组求解、即可； 不等式的几何意义为：直线的图像在直线图像 上方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标直接判断； 先求出、坐标，计算，再根据面积关系得，结合三角形面积公式求出的长度，分点在左右两侧求解坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， ， 直线过点、， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：不等式即， 由图像可知：当时，直线在直线上方， 不等式的解集为． （3）解：在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， ， ， ． 设，，， ，的高为点纵坐标， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数解析式求解、一次函数与不等式关系、坐标与三角形面积，解题关键是利用函数图像几何意义和面积公式分类讨论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $