精品解析：江西赣州市定南中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

定南中学2026-2027学年度高二年级10月月考卷 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是虚数单位，，则复数的实部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以复数的实部是. 2. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线和平面位置关系判断A；根据面面平行的判定定理以及直线和平面位置关系判断B；结合平面与直线垂直的性质判断C；根据直线与平面垂直的性质和直线与平面平行的性质判断D. 【详解】选项A：平行于同一个平面的两条直线，位置关系可以是平行、相交或异面，并非一定平行，因此A错误. 选项B：两个平面内各存在一条互相平行的直线，无法推出两个平面平行， 比如两个相交平面，也能找到分别在两个平面内的平行直线，因此B错误. 选项C：根据垂直于同一条直线的两个不同平面互相平行，可知C正确. 选项D：若且，则或者，并非一定平行于平面，因此D错误. 4. 已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】B 【解析】 【分析】圆关于直线对称时，圆心必在该直线上．先由此求出 ，进而确定圆 的圆心和半径；再求两圆圆心距，与两圆半径之和、之差比较，判断两圆的位置关系． 【详解】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 5. 如图，在正方体中，给出以下四个结论： ①平面 ②与平面相交 ③平面 ④平面平面 正确的结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【详解】对于①，因为平面平面，而平面，所以平面，故①正确； 对于②，因为，则与确定一个平面，所以平面，故②错误； 对于③，与平面内的直线不垂直，故③错误； 对于④，在正方体中，得平面，而平面，所以平面平面，故④正确. 6. 如图，在三棱锥中，两两垂直且相等，E为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】取的中点，连接，因为是的中点，则， 连接，则直线与所成角为或其补角， 由题设，令，而，，两两垂直，为等边三角形， 所以，，， 在中，， 故直线与所成角的余弦值为． 7. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对称性将转化为（为原点关于直线的对称点），从而将问题转化为，求圆上动点到定点的最短距离，再由圆心到定点的距离减去半径即可得到最小值． 【详解】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 8. 已知直线（k为常数）与圆相离，P是l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，圆的半径为3． 设，由题可知，．设与交于点． 由，可得，则， 因为取最小值的充要条件是取最小值，的最小值为圆心到的距离，即， 所以，解得，此时满足与圆相离． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 复数在复平面内的对应点位于第四象限 【答案】AD 【解析】 【详解】∵复数在复平面内的对应点为，∴的坐标为. ∵，∴点的坐标为，即. 选项A：，正确； 选项B：，为实数，不是纯虚数，错误； 选项C：，错误； 选项D：， 其在复平面内对应点为，位于第四象限，故D正确. 10. 已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线必过点 B. 直线与圆必相交 C. 圆：与圆有3条公切线 D. 当时，直线被圆截得的弦长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由直线方程确定过定点，判断定点与圆位置关系判断A、B；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长. 【详解】A：由：，则必过定点，正确； B：将定点代入圆，有， 故点在圆内，即直线与圆必相交，正确； C：由题设且半径为，而且半径为， 所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，正确； D：当时，，则到直线的距离， 故直线被圆截得的弦长为，错误. 11. 如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 过，，三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形 C. 为棱上动点，则最小值为 D. 三棱锥与四棱锥体积之比为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用三角形中位线定理证明线线平行，进而根据判定定理得出线面平行，B选项，通过线线平行关系确定截面，并利用侧面正三角形的高计算腰长以证明其为等腰梯形，C选项，将相邻的两个侧面沿公共边展开至同一平面内，利用余弦定理求出两点间的直线距离即为最小值，D项，利用同高不同底，通过底面积的比例关系将目标三棱锥与整体四棱锥的体积进行两次转换即可求解. 【详解】对于A，由题意得是与的交点，且为的中点， 且为的中点，所以在中，是中位线，所以， 因为平面，且平面，所以平面，故A正确， 对于B，因为分别为的中点，所以且， 在正方形中，，所以， 所以四点共面，即截面为， 由于且，所以四边形为梯形， 在边长为2的正和正中，， 所以截面为等腰梯形，故B正确， 对于C，将与沿展开到同一平面， 展开后，当三点共线时，取得最小值，此时最小值为的长度， 因为，所以展开后的平面内，， 在中，由余弦定理得， 即，因此， 即的最小值为，故C错误， 对于D， 因为分别为的中点，所以与的相似比为， 所以面积比， 三棱锥与共顶点，底面在同一平面上，所以高相等， 所以体积比，即， 三棱锥与四棱锥共顶点，底面在同一平面上，所以高相等， 且底面积，因此， 综上，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的共轭复数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算法则及共轭复数的概念即可求解． 【详解】， 所以复数的共轭复数为． 13. 已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线恒过定点，当时， 圆心到直线的距离取得最大值为，由直线被圆截得的弦长公式求解最短弦的长度. 【详解】由，令，得， 所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 由，可得点在圆内部，即直线与圆始终相交， 因直线被圆截得的弦长公式为，为圆心到直线的距离， 当取最大值时，弦长最短，则当时， ， 此时最短弦的长度为. 14. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将图形补形为长方体，进而求该长方体外接球的表面积即可. 【详解】该鳖臑如图所示： 因为，，，所以， 所以，所以， 又平面，平面，所以， 将该鳖臑补形为长方体，该鳖臑的外接球即该长方体的外接球， 又是长方体的体对角线，也是外接球的直径， 设外接球半径为，则，所以 所以此鳖臑的外接球表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 完成下列各题： （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）在复数集中解方程：； （3）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数实部为、虚部不为列方程组求解； （2）计算判别式，负数开方引入虚数单位，套用求根公式得复数根； （3）根据复平面第二象限横纵坐标符号列不等式组，解出参数范围． 【小问1详解】 由，得或， 又，所以； 【小问2详解】 方程的判别式， 所以． 【小问3详解】 由复数在复平面上对应的点位于第二象限， 得，解得， 所以的取值范围是． 16. 分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点且与直线垂直的直线方程； （2）过点且与直线平行的直线方程； （3）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）通过垂直关系求得所求直线的斜率，然后代入点斜式方程求解即可； （2）通过平行关系求得所求直线的斜率，然后代入点斜式方程求解即可； （3）按照截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，将点的坐标代入方程即可求解. 【小问1详解】 因为的斜率为3，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． 【小问2详解】 因为的斜率为，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． 【小问3详解】 ①当截距为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即． ②当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线方程为，即． 综述：所求直线方程为或． 17. 已知圆. （1）过点作倾斜角为的直线，求被截得的弦长； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）和. 【解析】 【分析】（1）利用点斜式可得直线的方程为，求得圆心到直线的距离，利用弦长公式可求弦长； （2）分过点的直线斜率存在与不存在两种情况讨论可求切线方程. 【小问1详解】 由已知得，圆心，半径为5，直线的方程为， 圆心到直线的距离， 故直线被圆截得的弦长为. 【小问2详解】 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当过点的直线存在斜率时，设直线方程为， 圆心到直线的距离，解得，则切线方程为， 综上，满足条件的切线方程为和. 18. 过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点． （1）若，求直线的方程； （2）证明：直线的斜率之和为定值． 【答案】（1）或 （2） 由题设容易得到点坐标， 设直线方程为，联立圆的方程，可得关于的一元二次方程：， 设点，，由根与系数的关系（韦达定理）可得，， 的斜率， 的斜率， 则 ， 所以与的斜率之和为定值，从而结论得证． 【解析】 【分析】(1)首先考虑斜率不存在是否满足题意，再考虑斜率存在时，假设直线方程，结合垂径定理列方程求解斜率即可； (2)由题设得到点坐标,假设直线方程并联立圆的方程，结合韦达定理写出的表达式，化简即可. 【小问1详解】 ①直线垂直于轴时，可得出直线为， 此时直线与圆的两交点距离为，满足题意； ②当直线不垂直轴时，设直线方程为， 因为，所以半弦长为，由勾股定理得弦心距， 又有点到直线的距离公式可得弦心距，解得， 此时直线方程为， 所以满足题设条件的直线的方程为或 【小问2详解】 略 19. 如图，在三棱柱中，点、分别为、的中点，平面与平面相交于． （1）求证： （2）已知，，，，， （ⅰ）求证：； （ⅱ）若为中点，为上动点，求三棱锥的体积． 【答案】（1）如图，取的中点，连接, 因分别为、的中点.，则 ， 又，故， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面， 所以； （2）（ⅰ）因为，，， 所以平行四边形为正方形，即， 又，平面， 所以平面，即三棱柱为直三棱柱， 又因为，，，由，可得， 在直三棱柱中，因平面，平面，则， 又平面，故平面， 因平面,故； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明，利用线线平行推出线面平行，再结合线面平行的性质定理即可求证； （2）（ⅰ）利用勾股定理证，再利用题设条件证平面，由线面垂直的性质即可证得；（ⅱ）由（ⅰ）平面，考虑等体积转化，易求得其体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（1）知， 所以，故， 又为中点，所以， 由（ⅰ），已得平面， 故 所以 即三棱锥的体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定南中学2026-2027学年度高二年级10月月考卷 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 是虚数单位，，则复数的实部是（ ） A. B. C. D. 2. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 5. 如图，在正方体中，给出以下四个结论： ①平面 ②与平面相交 ③平面 ④平面平面 正确的结论的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 6. 如图，在三棱锥中，两两垂直且相等，E为中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 已知直线（k为常数）与圆相离，P是l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（ ） A. B. 是纯虚数 C. D. 复数在复平面内的对应点位于第四象限 10. 已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线必过点 B. 直线与圆必相交 C. 圆：与圆有3条公切线 D. 当时，直线被圆截得的弦长为 11. 如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 过，，三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形 C. 为棱上动点，则最小值为 D. 三棱锥与四棱锥体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的共轭复数为___________． 13. 已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 14. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，满足平面，且，，，则此鳖臑外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 完成下列各题： （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）在复数集中解方程：； （3）若复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. 分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点且与直线垂直的直线方程； （2）过点且与直线平行的直线方程； （3）求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 17. 已知圆. （1）过点作倾斜角为的直线，求被截得的弦长； （2）求过点的圆的切线方程. 18. 过点的直线与圆交于两点，为圆与轴正半轴的交点． （1）若，求直线的方程； （2）证明：直线的斜率之和为定值． 19. 如图，在三棱柱中，点、分别为、的中点，平面与平面相交于． （1）求证： （2）已知，，，，， （ⅰ）求证：； （ⅱ）若为中点，为上动点，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $