福建省南平市武夷山市第二中学2026-2027学年高二10月月考数学试题

武夷山市第二中学2026-2027学年第一学期高二10月月考 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 审核人：高二数学备课组 一、单选题 1.已知向量=(-2,1,2)，向量b=(1,3,2),则3ā-b=（) A.(-6,1,2) B.(-7,0,2) C.(-7,0,-4) D.(-7,0,4) 2.在空间直角坐标系中，点A(1,2,4)关于平面Oy对称的点的坐标为() A.1,2,-4) B.(-1,-2,4) C.1,-2,4) D.(2,1,-4) 3.如图，已知平行六面体ABCD-A'BCD,点E是CC的中点，下列结论中错误的是() D A.AB+AD=AC B.AB-AA=BA C.AB+AD+AA=AC D.AB+BC+ICC-AE 4.设x,yeR,向量d=(1xy),b=(2,-4,2),a/16,则2x-y=() A.-7 B.-5 C.-3 D.1 5.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，M为AC的中点，若AB=a,AC=b,AA=c,则BM可表示为() B A.a-1b+c 20-21 M B.a-5+ 2a-20+ c.-a-2 ，1 D.-a+。b+c 6.若{ā，b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是() A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-2b C.a-b,2a+b,c D.a+b,a+b+c,c 7.在正方体ABCD-AB,CD,中，已知E为AD的中点，则异面直线BD与AE所成角的余弦值为() A B.10 c. D.V10 10 5 4 试卷第1页（共4页） 8.如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A,B,分别连接线段AC、BD在这个二面角的两个面内， 并且都垂直于棱AB,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为() A.2a B.5a C.a D.3a 二、多选题 9.已知向量ā=(1,1,1)，b=（-1,0,2),则下列说法正确的是（) A.a+b=(0,l,3) B.d=3 C.a.b=2 D.cos(d.)= 15 10.已知1⊥a,且直线I的方向向量为a=(2,-l,0),则平面a的法向量的坐标可以是() A.(0,0,0) B.（4,-2,0) C.(1,2,0) D.（-2,1,0) 11.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD中，O为BD的中点，直线AC交平面CBD于点M, 则下列结论正确的是() D A.AC⊥CD B.AC⊥平面CBD C.直线4G与平面4BCA所成的角为名 D.B到平面CBD的距离为 2 三、填空题 12.已知空间向量d=(2,-1,-1),b=（x,-3,1),且a⊥b.则x= 13.己知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则a在b上的投影向量的坐标为 14.如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD,点O是棱AD的中点，点O到直线BC的距离为 D A B D月 0 试卷第2页（共4页） 四、解答题 15.已知向量d=（-1,-1,2),b=（-1,2,-1) (1)求a与b的夹角： (2)若ta+b与a+b垂直，求实数t的值. 16.如图，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AB=AD=3,AA'=2,∠BAD=90°，∠BAA=∠DAA'=60°， D A D. (1)以AB,AD,AA为基底向量，表示向量BD,AC: (2)求证：BD⊥AC': 17.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD,中，点M为线段AA的中点. A D B B (I)求点D到平面MCD的距离： (2)求平面ADD,A与平面MCD夹角的余弦值， 试卷第3页（共4页） 18.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,PA=AB,E为PD的中点. D (1)证明：PB∥平面EAC: (2)求直线BD与平面EAC所成角的正弦值. 19.如图，在三棱柱ABC-ABC中，AA⊥平面ABC,AB=AC=1,BC=√2，CC,=2,D、E分别 是BB、BC的中点 C E B (1)求证：A1E1CD (1)求直线AE与平面ADC所成角的大小； 2)设P为BC与CB的交点，在线段AE上是否存在点Q,使得PO/平面ADC?若存在，求4g的值；若 AE 不存在，说明理由。 试卷第4页（共4页） 《10月月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 A B B D B A AD BD 题号 11 答案 ABC 1.D 【分析】应用向量线性关系的坐标运算求3ā-b 【详解】由d=(-2,1,2),则3a=(6,3,⑤，所以3a-b=(6,3,6⑤-4,3,2)=(-7,0,4). 故选：D 2.A 【详解】若空间中两点关于平面xO少对称，则它们的x,y坐标相同，z坐标互为相反数， 综上点A(1,2,4)的对称点坐标为(1,2，-4). 3.B 【分析】利用空间向量，结合空间向量的基本定理推出结果即可. 【详解】解：底面ABCD是平行四边形可知：AB+AD=AC,所以A正确： AB-AA=AB,所以B不正确： AB+AD+AA=AC+AA=AC,所以C正确： +Bc+oc=4C+oC=E,所以D正确： 2 故选：B. 4.B 【分析】根据空间向量共线的坐标表示进行求解即可， 【详解】因为à=(1，x,y),b=(2,4,2),a11b, -4=2x 所以 2=2y ,解得x=-2,y=1. 所以2x-y=-5. 故选：B. 5.D 【分析】利用向量的三角形法则，将所求向量BM分解为己知向量或可转化为已知向量的组合，再根据向 量的线性运算规则进行计算即可， 【详解】由已知BM=BA+AA+4M=BA+A4+)4G=-AB+M+AC=-a+6+e. 2 2 答案第1页（共9页） 故选：D 6.c 【分析】利用共面向量定理及空间向量基底的意义，逐项判断即得 【详解】对于A,6=[(6+d+6-小，向量万+c5,6-c共面，A错误： 对于B,a=[2(a+b列+a-2b],故向量a,a+b,a-25共面，故B错误， 对于C,假定向量a-i,2a+i,c共面，则存在实数对x,y,使得c=x(a-b)+y(2a+b)=(x+2y)a+(y-x)b, 故c-(x+2y)a-(y-x)b=0, 「-(x+2y)=0 而ā，b,c不共面，则-(-x+y)=0,矛盾，故假设不成立，因此向量ā-b,2ā+b,c不共面，C正确： 1=0 对于D,a+b+c=(a+b)+c,向量a+b,a+b+c,c共面，D错误： 故选：C 7.B 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-ABCD的棱为2，写出点的坐标，利用异面直线夹角余 弦公式进行求解 【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD-ABCD的棱长为2，则A(2,0,0)E(1,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0), 故AE=（-1,0,2),DB=(2,2,0), 故异面直线BD与AE所成角的余弦值为 AE.D8_(-1,0,2)-(2,2,0=10 AE-DB1+0+4×V4+4+010 Z D C E D B x 故选：B 8.A 【分析】利用向量法求得CD的长 【详解】CD=CA+AB+BD, 答案第2页（共9页） 两边平方得：CD=(CA+AB+BD}, CD'=CA'+AB+BD+2(CA.AB+CA.BD+AB.BD CD'=CA'+AB'+BD'+2C4.BD CD=a2+a2+4a2+2-a-2a-cos120°=6a2-2a2=4a2, 所以CD的长为2a 故答案为：A 9.AD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算并判断. 【详解】对于A,向量à=(1,1,1)，b=(-1,0,2),则ā+b=(0,1,3),A正确： 对于B,|a=V+12+1=√5，B错误： 对于C,由数量积的定义得ā.b=1×(-)+1×0+1×2=1,C错误； 对于D,1v)y+2-5,所以cosa,)=a-6-1一=s 同53x5=15，D正确， 故选：AD, 10.BD 【分析】根据法向量的定义求解即可 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误。 设平面a的法向量为非零向量n. 由题意知n/1a,则n=a=(2,-,0),∈R且≠0. 当=2时，n=（4,-2,0),B正确：当1=-1时，n=（-2,1,0),D正确： 不存在实数1，使得d=(1,2,0),故C错误. 11.ABC 【分析】首先建立空间直角坐标系，利用向量法证明位置关系，以及利用向量法求线面角，和点到平面的 距离， 【详解】如图，建立空间直角坐标系，A(1,0,1),C(0,1,0),C(0,1,1),D(0,0,0), B1,1,0) AC=(-1,1,-1),CD=(0-1,-1),AC.CD=0,即4C⊥CD,故A正确： 答案第3页（共9页） D C By DB=(Ll,0),AC.DB=-1+1=0,则AC⊥DB,且DB∩CD=D, B DB,CDc平面CBD,所以AC⊥平面CBD,故B正确： A1,0,0),C(0,1,1),D(0,0,1),B(1,1,0),A(1,0,1), AB=(0,1,0),AD=（-1,0,1),AC=（-1,1,0) 设平面ABCD的法向量为m=(x,y,z), AB.m=y=0 令x=1,则z=1, AD·m=-x+z=0 所以平面ABCD,的法向量为m=(1,0,1), 设直线AC,与平面ABCD的夹角为O, -11 则sm0=os4Gm2X万2所以0-石故cE确： 6 由B选项可知，AC⊥平面CBD,AC=（-1,l,-1) 所以平面CBD的法向量为AC=（-1,1,-1), B(1,1,1),B(1,1,0),B,B=(0,0,-1) BB.AC1 5 点B,到平面C,BD的距离d= 33 故D错误 AC 故选：ABC 12.-1 【详解】因为à=(2，-l,-1),b=（x,-3,1),且a1b,所以ab=0,整理得2x+3-1=0,解得x=-1. 【分析】根据投影向量的概念求解即可. a-b.6-6-4+5x6=-16=3-2,-0 【详解】a在6上的投影向量为万同52文5万10010了2引 答案第4页（共9页） 故答案为： 4. 3222 22 【分析】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出CO在CB上的投影长，再由点O到直 线BC的距离公式求解即可. 【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，所以O(1,0,0),B(2,2,0),C(0,2,2), 所以直线BC方向向量CB=(2,0,-2),又C0=(1,-2,-2), C0=V1+(-2)2+(-2)2=3, CO.CB 2×1+4632 所以CO在CB上的投影长为 CE V22+(-2y222, 所以点O到直线BC的距离为d=,【 ZA D B D x 故答案为： 3V2 2 1s0a=号 (2)t=-1 【分析】(1)由向量夹角的坐标运算公式求解即可： (2)由数量积的运算律以及模和数量积的坐标计算公式即可求解. 【详解】(1)由题意cosa,6=G-6-1-2-2.1 166×V6=2' 因为a,be[0,],所以a,6=2π 3 (2)由题意(a+b)a+b)=12+b2+(t+1)a.b=0, 因为=b2=6,db=1-2-2=-3, 答案第5页（共9页） 所以61+6-3(t+1)=0,解得1=-1 16.(1)BD=-AB+AD,ACi=AB+AD+AA (2)因为AB=AD=3,AA'=2,∠BAD=90°，∠BAA=∠DAA=60°， 所以AB.AD=0,AB.AA=AD·AA=3×2×cOs60°=3， 由(1)得BD.AC=(AD-ABAB+AD+A) AD.AB+AD+AD.AA-AB'-AB.AD-AB.AA =0+32+3-32-0-3=0, 所以BD⊥AC,即BD⊥AC': (3)34 【分析】(1)依托空间向量加减法法则，用AB,AD,AA线性表示BD,AC; (2)将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为0，证明向量垂直： (3)对AC平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度. 【详解】(1)BD=BA+AD=-AB+AD, AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA': (2)略 (3)由(1)得AC=AB+AD+AA, 所以AC=(AB+AD+A AB+AD+AA+2AB.AD+2AB.AA+2AD.AA =32+32+22+2×0+2×3+2×3=34, 所以AC=V34,即AC'的长为√34. 号 【分析】(1)（2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1)如图建立空间直角坐标系A-z. 答案第6页（共9页） A D B D 因为正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，M是AA的中点， 所以C(2,2,0),D(0,2,0),M(0,0,1),D(0,2,2), 由可得MD=(0,2,1),MC=(2,2,-1), 设平面MCD的法向量为n=（x,y,z), 则 nMD =2y+z=0 ,令y=1,则z=-2,x=-2,所以n=（-2,1,-2), MC=2x+2y-z=0 因为DD=(0,0,-2),设点D到平面MCD的距离为d, 则d= D,D.4 放点D到平面MD的距离为： (2)由(1)可得平面MCD的法向量为n=（-2,l,-2), 显然平面ADD,A的法向量可以为m=(1,0,0), n.m 2 设平面ADDA与平面MCD,夹角为O,所以cos0= 园3 所以平面ADD4与平面MCD,夹角的余弦值为 3 18.(1) 证明：连接BD与AC交于点O,连接EO, 因为底面ABCD是正方形，所以点O是BD的中点， 又E是PD的中点，所以EO/IPB, 因为EOc平面EAC,PB在平面EAC,所以PB/I平面EAC. 答案第7页（共9页） p D (2)V6 3 【分析】(1)根据题意作出辅助线，根据中位线得到线线平行，进而得到线面平行. (2)根据题意在A点处建立空间直角坐标系，依次写出点的坐标，代入线面夹角的正弦值公式求解即可， 【详解】(1)略 (2)因为侧棱PA⊥底面ABCD且在正方形ABCD中AB⊥AD, 所以如图所示，以点A为坐标原点，分别以AB,AD,AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设PA=AB=2,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(0,1,1) 则BD=(-2,2,0),AE=(01,1),AC=(2,2,0), 设平面EAC的法向量n=（x,y,z) AE.n=0 y+z=0 即 AC.n=0 2x+2y=0 取x=1,则y=-1,z=1,所以n=(1,-1,1) 设直线BD与平面EAC的夹角为O BD.n 4 √6 因此sin0 BD 22xV5=3 1.(1)略 a (3)存在，且 4Q1 AE 3 答案第8页（共9页） 【详解】(1)解：AB=AC=1,BC=√2，则AB2+AC2=BC2,AB⊥AC, 因为AA⊥平面ABC,以点A为坐标原点，AB、AC、AA所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的 空间直角坐标系， 则4a2、c0o叭、p1a小、G22 4g=}50,cn=1.-11 则A1E.CD-0,则A1E1CD:即A1E1C (2)设平面ADC的法向量为m=(xy,z),AD=(1,0,-1),AC=(0,1,-2), m4C=y220取：=1，可得m=2,4E-(G行0 m.AD=x-z=0 则 3 cos A E,m>= AE.m 2=5 4网 ”2 因此，直线4E与平面4DC所成角为写 (3)解：易知点P 假设在线段AE上存在点Q,使得PQ∥平面A,DC, Z B E 12 B 设40-46-（60 其中0≤≤1， 行小m=0-(公2 因为P0平属40C,则P四后1号方0，解 2 3 421 因此，在线段4E上存在点Q,使得PO/平面4DC,且3 答案第9页（共9页）