精品解析：福建省莆田第二中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

莆田二中2026-2027学年高二10月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列的第7项为（ ） A. 23 B. 25 C. 27 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差，再利用通项公式求出第7项的值. 【详解】根据等差数列的定义可得：首项，公差， 所以通项公式为：， 当时，. 故选：D. 2. 在正三棱柱中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 3. 在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A. 6 B. 13 C. 7 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理求得，由等差数列的性质可得的值. 【详解】因为，为方程的两根，所以. 又数列是等差数列，所以. 故选：C. 4. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，， 又等比数列奇数项的符号相同，所以，则，故． 5. 等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据已知有得，再结合求公差. 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此 ， 由，得， 两式相减 ， 因此数列公差为. 6. 已知正项等比数列，其前n项和为．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，则公比， 则，得，因为，所以. 7. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，则大约为（ ） （参考数据：） A. 1429 B. 1472 C. 1519 D. 1571 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得数列递推公式，再用构造法求出通项，代入计算即可. 【详解】由题可知， 设， 解得. 即， 故数列是首项为，公比为1.1的等比数列. 所以， 则， 所以. 故选：B. 8. 已知，为等差数列，为坐标原点，直线上三点，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三点共线可得，由已知得，再利用倒序相加法即可求的值. 【详解】因为，，三点在直线上，且， 所以.又因为为等差数列，所以 因为， 所以. 所以. 所以. . 所以. 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差 B. 数列的通项公式 C. 数列的前项和 D. 数列是公比为2的等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据等差数列已知的首项和项的关系求出公差，再依次验证通项公式、前n项和公式、新数列的公比即可. 【详解】选项A：设等差数列的公差为，由，可得： ，代入得，解得，故A正确. 选项B：等差数列通项公式为，故B错误. 选项C：前项和，故C正确. 选项D：令，则，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，，则向量在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线l的方向向量为，平面的法向量，则直线 【答案】AC 【解析】 【分析】应用投影向量定义计算求解判断A，应用系数间关系判断四点共面判断B，应用基底的定义判断C，根据空间向量证明线面关系判断D. 【详解】A，向量在上的投影向量，故A正确； B，由，则四点不共面，故B不正确； C，是空间的一组基底，不共面，且， 令，显然无解，也是空间的一组基底，故C正确； D，由题设，而直线与平面的位置关系不定，则或，故D不正确. 11. 已知数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. B. C. 随着的增大，逐渐变小 D. 当取得最小值时，的值为7 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用，判断正负，比较大小，判断选项A；推导恒等式，倒序相加求​，判断选项B；代入相邻两项对比，判断数列单调性，判断选项C；解不等式，区分正负项，前项和在最后一个负项处取最小值，判断选项D． 【详解】因为，， 所以，即，故A正确； 由，得．①，同时②，①＋②得：，所以，故B正确； ，，故，随着的增大，不是单调递减，故C错误； 令，解得，即当时，为负数，， 当时，，所以当取得最小值时，n的值为7，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知与共线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量共线得到方程组解得求解. 【详解】因为与共线，所以存在，， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 【答案】 【解析】 【详解】，， 当时，，，，，. ，即； ； 当时，，符合题意； 数列的通项公式. . ； . 14. 已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 【答案】29 【解析】 【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值. 【详解】由题意得数列的结构为：在和之间插入个3， 即数列由，个3，，个3，等依次构成， 当时， ， 当时， ， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. （1）若，求的值. （2）若，且，，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可求解； （2）利用空间向量基本定理结合向量的数量积即可求解. 【小问1详解】 因为 ，又， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， ， 所以，. 16. 如图，在正方体中，分别是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 所以直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则得取，则， 得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 17. 已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式. （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 根据题意，数列的前n项和为，且， 即，也就是， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列，则， 【小问2详解】 由（1）可得：，所以， 可得， 两式相减得 所以； 18. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 ∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． 【小问2详解】 由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 19. 记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）考虑利用作差，结合，得出，根据等差数列求得数列的通项公式； （2）根据的通项公式得到的通项公式，然后对奇数项与偶数项分组求和即可； （3）根据的通项公式，得到的前项和的表达式，然后根据的奇偶性分别讨论数列不等式的恒成立问题即可求解. 【小问1详解】 令，则， 化简得，又，所以 由题意 于是两式相减可得 化简可得 因为，所以，所以， 所以为首项为3，公差为2的等差数列. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由上可知，当为奇数时，设，则，. 当为偶数时，设，则， 所以当为偶数时,. 【小问3详解】 由上可知，当为偶数时，设，, ,即 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上， 最接近对称轴的整数为，所以当时,有最小值，即. 当为奇数时，设，. ，化简得 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上 最接近对称轴的整数为，所以当时有最小值.即. 综上所述， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田二中2026-2027学年高二10月月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列的第7项为（ ） A. 23 B. 25 C. 27 D. 29 2. 在正三棱柱中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3. 在等差数列中，已知，为方程的两根，则等于（    ） A. 6 B. 13 C. 7 D. 42 4. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项等比数列，其前n项和为．若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，则大约为（ ） （参考数据：） A. 1429 B. 1472 C. 1519 D. 1571 8. 已知，为等差数列，为坐标原点，直线上三点，，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差 B. 数列的通项公式 C. 数列的前项和 D. 数列是公比为2的等比数列 10. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，，则向量在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线l的方向向量为，平面的法向量，则直线 11. 已知数列的通项公式为，前项和为，则（ ） A. B. C. 随着的增大，逐渐变小 D. 当取得最小值时，的值为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知与共线，则___________． 13. 已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 14. 已知数列的通项公式，在其相邻两项和之间插入个3，得到新数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. （1）若，求的值. （2）若，且，，求的长. 16. 如图，在正方体中，分别是的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离． 17. 已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式. （2）求数列的前n项和. 18. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 19. 记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $