2.2 直线的方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2直线的方程同步练习及答案解析 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 3．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 4．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 5．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 6．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 7．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 四、求直线方程的方法 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 2．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 1、 单项选择题 1. 经过点（1，-3），倾斜角是150°的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程求解． 【详解】解：∵直线的倾斜角为150°，∴所求直线的斜率k=tan150°=， 又直线过点（1，-3）， ∴所求直线方程为y+3=（x-1），即． 故选B． 2. 已知直线l的方程为y+(x1)，则l在y轴上的截距为（    ） A．9 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】把方程化为斜截式方程，即可得结论． 【详解】解：由y+(x1)，得y=x，∴l在y轴上的截距为. 故选：B 3. 已知点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入直线的两点式方程:,即可的到直线的方程. 【详解】 直线的两点式方程为:，代入得: 整理得直线的方程是: . 故选A. 4. △ABC的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出线段中点坐标，由两点式写出直线方程，再化简即得． 【详解】，，∴边中点为，∴中线方程为，即． 故选D． 5. 直线和直线在同一坐标系中可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四个选项中的可知，分别由四个选项中的的符号推导的斜率和纵截距的符号可得解. 【详解】根据题意可知，， 对于、、，由可知，，所以：的斜率为正数，故、、不正确； 对于，由可知，，此时：符合，故正确. 故选：D. 6. 已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用同角三角关系可得直线l的斜率，结合直线的点斜式方程运算求解. 【详解】设直线l的倾斜角为，则，可得， 则直线l的斜率， 且直线l经过点，所以直线l的方程为，即. 故选：A. 7. 与向量平行，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可知，所求直线的斜率为，所以所求直线方程为，即. 故选：A 8. 直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】把直线方程整理为， 令，故，所以直线恒过定点为. 故选：C. 2、 多项选择题 9. 下列说法正确的是（    ） A．点斜式可以表示任何直线 B．过、两点的直线方程为 C．直线与直线相互垂直． D．直线在轴上的截距为 【答案】CD 【详解】对于A选项，点斜式不表示与轴垂直的直线，A错； 对于B选项，过、两点且斜率不为零的直线方程为，B错； 对于C选项，直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，，故直线与直线相互垂直，C对； 对于D选项，直线在轴上的截距为，D对. 故选：CD. 10. 已知直线l：，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】ABD 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为，不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确.故选：ABD. 11. 下列四个结论，正确的是（    ） A．平面直角坐标系中，过点且的所有直线可以用方程表示 B．直线的斜率为 C．直线的倾斜角为 D．直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1 【答案】BC 【分析】举反例判断A；将直线方程化为点斜式得出斜率以及倾斜角，从而判断BC；分别令，从而判断D. 【详解】对于A，直线过点，但不能用方程表示，故A错误； 对于B，直线可化为，则其斜率为，故B正确； 对于C，直线可化为，其斜率为，则倾斜角为，故C正确； 对于D，令，得出，令，得出，则直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，故D错误； 故选：BC 3、 填空题 12. 过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____. 【答案】 【分析】设直线的方程为，根据条件列方程组求解即可. 【详解】设直线的方程为，则解得 则直线的方程为+=1，即. 故答案为： 13. 有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为 __.    【答案】 【详解】当时,直线段过点, ,∴此时方程为. 当时,直线段过点,, ∴此时方程为.即. 故答案为： 14. 已知点，.若直线与线段恒相交，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由直线方程，令，解得，故直线过定点，如下图： 则直线的斜率，直线的斜率，由图可知：. 4、 简答题 15. 已知点和直线.求： (1)过点P与直线平行的直线方程； (2)过点P与直线垂直的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解即得. 【详解】（1）设过点P与直线l平行的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线方程为. （2）过点P与直线l垂直的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线的方程为. 16. 已知直线的方程为． (1)求直线过的定点的坐标； (2)直线与 轴正半轴和 轴正半轴分别交于点， ，当面积最小时，求直线的方程； 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由题意，直线的方程可化为， 联立方程组解得， 所以直线过的定点． （2）设直线 ，则， 由 （1） 知，直线 过的定点，可得， 因为， 所以，解得， 当且仅当且即时，等号成立， 所以面积为 ， 此时对应的直线方程为，即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2直线的方程同步练习 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 3．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 4．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示 过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程. 5．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 6．辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 7．方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 四、求直线方程的方法 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 2．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 1、 单项选择题 1. 经过点（1，-3），倾斜角是150°的直线方程是（　　） A． B． C． D． 2. 已知直线l的方程为y+(x1)，则l在y轴上的截距为（    ） A．9 B．9 C． D． 3. 已知点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4. △ABC的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为. A． B． C． D． 5. 直线和直线在同一坐标系中可能是（    ） A． B． C． D． 6. 已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 7. 与向量平行，且经过点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8. 直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题 9. 下列说法正确的是（    ） A．点斜式可以表示任何直线 B．过、两点的直线方程为 C．直线与直线相互垂直． D．直线在轴上的截距为 10. 已知直线l：，则下列说法正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 11. 下列四个结论，正确的是（    ） A．平面直角坐标系中，过点且的所有直线可以用方程表示 B．直线的斜率为 C．直线的倾斜角为 D．直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1 3、 填空题 12. 过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____. 13. 有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为 __.    14. 已知点，.若直线与线段恒相交，则的取值范围是 . 4、 简答题 15. 已知点和直线.求： (1)过点P与直线平行的直线方程； (2)过点P与直线垂直的直线方程. 16. 已知直线的方程为． (1)求直线过的定点的坐标； (2)直线与 轴正半轴和 轴正半轴分别交于点， ，当面积最小时，求直线的方程； 学科网（北京）股份有限公司 $