2.2.1直线的点斜式方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.1直线的点斜式方程 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·新疆喀什高二上期中）直线过点，且倾斜角为，则下列方程中能表示直线的是（） A. B. C. D. 2.直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是(　　) A.y＝x＋1 B.y＝x－1 C.y＝－x＋1 D.y＝－x－1 3.（2025-2026·湖南湘潭高二下期末）点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（） A.3 B.2 C.1 D. 4.把五个边长为1的正方形按如图的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线l将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为(　　) A.y＝x B.y＝x C.y＝x D.y＝x 5.直线y＝2x＋1在x轴上的截距为(　　) A.－ B. C.－1 D.1 6.已知k＋b＝0，k≠0，则直线y＝kx＋b的位置可能是(　　) A.　 B.　 C.　 D. 7.已知直线l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则下列各图形中，正确的是(　　) A.　 B.　 C.　 D. 8.（2025-2026·河南南阳高二上期中）若直线y=ax+1与连接的线段总有公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题） 9.已知直线l的一个方向向量为u＝，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　) A.l的倾斜角等于120° B. l与x轴的交点坐标为 C.l与直线y＝x＋2垂直 D. l与直线y＝－x＋2平行 10.（2025-2026·安徽亳州高二上期中）已知两点，到直线的距离相等，则其方程可能为（） A. B. C. D. 11.（2025-2026·浙江杭州高二上期中）直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（ ） A.－8 B.－5 C.3 D.4 三、填空题（共3小题） 12.已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是                  . 13.已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率，则直线l一定经过点                  ． 14.（2025-2026·湖南岳阳高二上期中）已知，，若点在线段上，则的取值范围是                   . 四、解答题（共2小题） 15.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 16.已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.1直线的点斜式方程 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2025-2026·新疆喀什高二上期中）直线过点，且倾斜角为，则下列方程中能表示直线的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由直线的倾斜角为,得直线斜率不存在,故直线方程为为常数). 由直线过点,得,即直线的方程为. 故选:C. 2.直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是(　　) A.y＝x＋1 B.y＝x－1 C.y＝－x＋1 D.y＝－x－1 【答案】B 【解析】∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1， 又∵过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x， 整理可得y＝x－1，故选B. 3.（2025-2026·湖南湘潭高二下期末）点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（） A.3 B.2 C.1 D. 【答案】D 【解析】直线整理得，联立，解得，，即直线恒过定点. 由点，，得，因为与横坐标相同，故直线斜率不存在. 直线与线段有交点，可得直线的斜率，又直线的斜率，故，解得. 故选：D. 4.把五个边长为1的正方形按如图的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线l将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为(　　) A.y＝x B.y＝x C.y＝x D.y＝x 【答案】C 【解析】直线l将这五个正方形分成面积相等的两部分，在直线下方是面积为的直角三角形，所以直线过点，所以直线l的方程为y＝x.故选C. 5.直线y＝2x＋1在x轴上的截距为(　　) A.－ B. C.－1 D.1 【答案】A 【解析】由直线y＝2x＋1，令y＝0，即2x＋1=0， 解得x＝－. 所以直线在x轴上的截距为. 6.已知k＋b＝0，k≠0，则直线y＝kx＋b的位置可能是(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【答案】B 【解析】因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即b＝－k，所以y＝kx－k＝k(x－1)，令y＝0，得x＝1，所以直线与x轴的交点坐标为(1,0)，只有选项B中的图象符合要求． 7.已知直线l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，则下列各图形中，正确的是(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【答案】D 【解析】对于D，l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx－a.由l1经过第一、二、四象限可知a<0，b>0，此时l2经过第一、二、三象限，符合题意． 8.（2025-2026·河南南阳高二上期中）若直线y=ax+1与连接的线段总有公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】直线过定点,由,得,由,得. 因为直线与线段总有公共点, 所以或, 即或. 故选:B. 二、多项选择题（共3小题） 9.已知直线l的一个方向向量为u＝，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　) A.l的倾斜角等于120° B. l与x轴的交点坐标为 C.l与直线y＝x＋2垂直 D. l与直线y＝－x＋2平行 【答案】AD 【解析】因直线l的一个方向向量为u＝，故直线l的斜率k＝＝－，于是直线l的倾斜角为120°，A正确； 直线l的方程：y＋2＝－(x－1)，当y＝0时，x＝1－，即直线l与x轴交于点，B不正确； 直线y＝x＋2的斜率为，显然×(－)≠－1，即l与直线y＝x＋2不垂直，C不正确； 直线y＝－x＋2的斜率为－，它与x轴的交点坐标为，于是得l与直线y＝－x＋2平行，D正确．故选A、D． 10.（2025-2026·安徽亳州高二上期中）已知两点，到直线的距离相等，则其方程可能为（） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】由,得,故与平行的直线斜率为. 对于选项:的斜率为,符合题意. 由,得的中点为. 对于选项A:将代入,得, 故过中点,符合题意. 对于选项B:将代入,得,不符合题意. 对于选项C:将代入,得,不符合题意. 故选:AD. 11.（2025-2026·浙江杭州高二上期中）直线l过点且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，，，则k可以取（ ） A.－8 B.－5 C.3 D.4 【答案】AD 【解析】已知，，根据斜率公式，则. 已知，，同理可得. 因为直线与线段有公共点，所以直线的斜率的取值范围是或. 选项A：，满足的取值范围，该选项正确. 选项B：，不满足的取值范围，该选项错误. 选项C：，，不满足的取值范围，该选项错误. 选项D：（），满足的取值范围，该选项正确. 三、填空题（共3小题） 12.已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是                  . 【答案】 【解析】由已知得，直线l恒过定点P(2，1)，如图所示. 若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB， 因为kPA＝＝－2，kPB＝＝，∴－2≤k≤. 13.已知直线l在y轴上的截距等于它的斜率，则直线l一定经过点                  ． 【答案】(－1,0) 【解析】由题意可设方程为y＝ax＋a， 即y－0＝a(x＋1)， 由点斜式方程可知，直线过定点(－1,0)． 14.（2025-2026·湖南岳阳高二上期中）已知，，若点在线段上，则的取值范围是                   . 【答案】 【解析】由的几何意义,可知其表示点与点连线的斜率. 已知,点在线段上. 与连线的斜率由斜率公式得. 与连线的斜率由斜率公式得. 因为点在线段上运动,所以与连线的斜率的取值范围,就是与所确定的范围,即. 四、解答题（共2小题） 15.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)解　将直线l的方程整理为y－＝a， ∴直线l的斜率为a，且过定点A，又点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． (2)解　直线OA的斜率为k＝＝3. 如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3， ∴实数a的取值范围是[3，+∞). 16.已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 【答案】(1)证明　由y＝kx＋2k＋1， 得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)． (2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $