山东省泰安第一中学青年路校区2026-2027学年高二上学期10月份诊断性测试数学试题

泰安一中青年路校区高二上学期10月份诊断性测试 数学试题 2026.10 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．经过两点和的直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，设，，，是的中点，则 A． B． C． D． 3. 如果，那么直线不经过的象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则 A. B. C. D. 6 5. “”是“直线与直线平行”的 A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分必要条件 6. 一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为 A．5 B． C．6 D． 7. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为 A．2 B．3 C．4 D．6 8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是 A．过点且倾斜角为90°的直线方程为 B．直线在轴的截距是2 C．直线的方向向量可以是 D．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 10. 在平面直角坐标系中，圆与轴切于点，圆心在直线上，则下列说法正确的是 A．圆的方程为 B．若为圆上的动点，则的最大值为 C．当圆上恰有三个不同的点到直线的距离为3时， D．若，则在圆上不存在点，使得 11. 在长方体中，，，为的中点. 动点P满足，，，则下列说法中正确的是 A. 点P在平面内 B. 当时，点P轨迹的长为 C. 当，，三点共线时，3x+y=1 D. 当，，三点共线时，的最小值是8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与直线平行且距离为的直线方程是________________． 13. 若空间向量，，共面，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分) 已知向量，，，且，． (1) 求的值； (2) 求向量与所成夹角的余弦值. 16.（15分）已知的顶点边上的高所在的直线方程为. (1) 求直线的方程； (2) 在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. ①角的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为. 若__________.求直线的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 17. (15分) 如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1) 若分别为的中点，求证：平面PAB； (2) 若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 18．（17分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点，. (1)证明：； (2)当为何值时，平面与平面夹角的正弦值最小? 19．（17分）已知直线与圆相交于两点，且. (1) 若直线过点，求直线的方程； (2) 若线段的中点为点， ①求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 泰安一中青年路校区高二上学期10月份诊断性测试 数学试题参考答案 3、 单项选择题： 1. C 2. A 3. C 4. A 5. B 6. B 7. C 8. A 8．A【详解】解：∵平面的方程为．∴平面的一个法向量为，同理，可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．设平面与平面的交线的方向向量为，则，取，则，设直线与平面所成的角为，则． 4、 多项选择题： 9． AC 10.ABD 11.ABD 5、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1），，，， 又，，. 6 （2），，. ， 7 . ，. 10 . 12 因此向量与所成夹角的余弦值为. 13 16.【详解】（1）由边上的高所在直线方程为， 得直线的斜率为， 2 而的顶点， 所以直线的方程为：，即. 5 （2）选①，由，解得，即点A坐标为， 8 设点B关于的对称点为， 则，解得，即坐标为， 12 显然点在直线上，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 15 选②，由，解得，即点A坐标为， 8 设点，则的中点在直线上，即，整理得， 又点在直线上，即， 由，解得，即点， 12 直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 15 17.【详解】(1)取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN、GM， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， 4 ， 5 平面PAB，平面PAB，平面PAB； 7 （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 9 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 12 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 15 18．【答案】(1)见解析；(2) 解析：因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以 因为，，所以， 又，所以平面． 所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． 所以，． 由题设()． (1)因为， 所以，所以． (2)设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以， 此时． 19．【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 1 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 2 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得，所以直线； 4 综上所述：直线的方程为或. 5 （2）①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； 9 ②因为直线过且与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即，点 联立方程，消去可得， 11 则，解得， 12 由韦达定理可得， 13 则 ，所以为定值. 17    1 学科网（北京）股份有限公司 $