山东省泰安英雄山中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题

泰安英雄山中学2025级高二上学期第一次学情调研 数学试题 2026.09 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，（ ） A． B． C． D． 3．如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 4．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A．或 B． C． D．l与斜交 5．若是空间的一个基底，且向量，则叫做向量在基底下的坐标．已知是空间的一个基底，而是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．在三棱台中，，，且，若平面，则点B到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点E，F分别为线段，上的点，若，且，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，是直角三角形，，，边上有一点P，满足，将沿翻折到的位置，使得二面角为60°，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知，，，，则下列说法正确的是（ ） A．是平面的一个法向量 B．A，B，C，Q四点共面 C． D． 10．下列说法正确的是（ ） A．若，则异面直线与所成角的余弦值为 B．若平面与平面的法向量分别为，，则 C．O为所在平面外一点，若，则点平面且在内部 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A． B．点到直线的距离是 C． D．异面直线与所成角的正切值为4 第二部分（非选择题 共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，，若，则_______． 13．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则_________． 14．如图，在四棱锥中，，，，，，H在棱上，若E，F，G，H四点共面，则________． 四、解答题 15．（13分） 已知向量，，，且，． （1）求，，； （2）求向量与所成夹角的余弦值． （3）求在上的投影向量（用坐标表示）． 16．（15分） 在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． （1）用，，表示并求出的值； （2）求的值． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，E是的中点． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的余弦值． （3）求点D到平面的距离． 18．（17分） 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点E，F分别是棱，的中点，点G在棱上，且． （1）若，证明：平面； （2）若，求的值； （3）求平面与平面夹角余弦值的取值范围． 19．（17分） 某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2） （1）若O是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点P，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $