精品解析：云南省昭通市威信县第一中学2026-2027学年度上学期九年级数学期中考试卷

2026-2027学年度初中九年级数学期中考试卷 （本卷满分100分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共30分） 1. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，1 C. 3，2，1 D. 3，2， 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2. 下列抛物线中，顶点为，且与抛物线的开口方向相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；首先根据顶点坐标和开口向上，对选项中的抛物线逐一判断，然后可得答案． 【详解】解：所求抛物线与抛物线的开口方向相同， 所求抛物线开口向上， A、的顶点为，开口向上，与题干所要求的抛物线不相符； B、的顶点为，开口向上，与题干所要求的抛物线相符； C、的顶点为，开口向下，与题干所要求的抛物线不相符； D、的顶点为，开口向下，与题干所要求的抛物线不相符； 故选：B 3. 方程﹣x（x+1）＝0的解是（　　） A. x＝﹣1 B. x1＝﹣1，x2＝0 C. x＝0 D. x1＝1，x2＝0 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 4. 已知a和b是方程的两个解，则的值为（　　） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，将所求式子变形为，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，然后由对称性得到，求出，然后将代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形，且正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，， ∴ ∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称 ∴图中阴影部分的面积等于正方形的面积 ∴ ∴ 将代入得， ∴． 6. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目已知方程为一元二次方程，二次项系数为1，满足二次项系数不为0的要求，只需利用方程有实数根得判别式，解不等式即可得到的取值范围； 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 7. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，即可判断． 【详解】解：A、∵抛物线中，， ∴开口向下，故选项错误，不符合题意； B、∵对称轴为直线，故选项错误，不符合题意； C、∵顶点坐标为，故选项正确，符合题意； D、∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随的增大而增大，故选项错误，不符合题意． 8. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：由解析式可得：抛物线对称轴； A、由双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限，可得，则，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾； B、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意； C、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾； D、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得，则，抛物线开口方向向下，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾． 故选：B． 9. 若是方程的一个根，则（ ） A. B. 2027 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】由方程的根的定义得到的值，整体代入所求代数式计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点处停止，点也随之停止运动．当四边形的面积为时，点运动的时间是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设动点，运动时，用分别表示出和的长，再利用三角形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：设动点，运动时，则，， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意， ， 动点，运动2s时，四边形的面积为． 11. 如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点，若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案． 【详解】由二次函数的图象可知， ，， 当时，， 的图象经过二、三、四象限， 观察可得D选项的图象符合， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键． 12. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 利用函数图象平移的性质逐步进行求解即可． 【详解】解：抛物线先向上平移2个单位得到，再向右平移3个单位得到， 故选：D． 13. 若实数、满足，且，则的值是（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】整理等式确定是同一个一元二次方程的两个不相等的实根，再利用根与系数的关系求出和，最后通分计算目标代数式即可． 【详解】解：实数，满足， ，且， 整理第二个等式得， 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，， ． 14. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入法求代数式的值，掌握一元二次方程根的概念是关键；由题意得，则有，，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：D． 15. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，从一月底到三月底共经过两次增长，以一月底价格为基础，根据平均增长率的关系列方程即可得到结果． 【详解】解：设平均每月的增长率为 ∵一月底价格为元/升 ∴二月底价格为 元/升 ∴三月底价格为 又∵三月底价格为元/升 ∴可得方程 二、填空题（共8分） 16. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理； 求出一元二次方程的解，根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的三边为2，4，4，即可得出答案． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为， ∴该三角形的周长为10， 故答案为：10． 17. 用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键． 根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 18. 请写出一个开口向下，并且与轴交于点的抛物线的表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】只需写出二次项系数为负数，常数项为的二次函数即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数小于， ∵抛物线与轴交于点， ∴二次函数的常数项为， 令二次项系数为，一次项系数为， ∴可得满足条件的抛物线表达式为，本题答案不唯一，符合要求即可． 19. 将方程化成一般形式是____________ 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的一般式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 三、解答题（共62分） 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， 解得： 【小问2详解】 解：， ， ， ，， 解得：． 21. 阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数a，b满足：，且，则______，______； （2）间接应用：在（1）条件下，求的值； （3）拓展应用：已知实数m，n满足：，且，求的值． 【答案】（1）7，1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：a，b是方程的两个不相等的实数根，模仿例题即可得出答案； （2）先化简原式，再根据（1）的值代入计算即可； （3）令，，则，，再模仿例题解决问题即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：a，b是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知：，， 故答案为：7，1 【小问2详解】 由（1）得， ∴（取正） 【小问3详解】 令，，则，， ∵， ∴，即， ∴a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 22. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． （1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）； （2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ； （3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】（1） （2） （3）每顶头盔应降价20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据利润售价进价，列出代数式即可； （2）利用平均每周的销售量，即可找出与之间的函数关系式； （3）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论． 【小问1详解】 解：∵进价为每顶40元，原售价为每顶68元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：每顶头盔应降价20元． 23. 已知抛物线． （1）求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2） 【解析】 【分析】（1）证明判别式即可判断； （2）把代入即可求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入抛物线得：， 解得：． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及抛物线与轴的交点，当时，函数图像与轴有个交点，当时函数图像与轴只有个交点,即顶点在轴上，当时函数图像与轴没有交点． 24. 如图，已知，抛物线交x轴于，两点，过点的直线交抛物线于，两点， （1）求抛物线的解析式； （2）若，求抛物线向左平移多少个单位时，与直线只有一个公共点？ （3）是轴上的一个动点，抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由？ 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）设的横坐标分别为，则，进而求得，设平移后的解析式为，与直线只有一个交点，联立方程，令，求得，即可求解； （3）根据题意，求得，，则，设，，当为对角线，则，当为边时，则，解方程，即可求解，． 【小问1详解】 解：∵抛物线交x轴于，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：， 消去，得， 设的横坐标分别为，则， ∵， ∴， 解得： ∴直线， ∵， 依题意，设平移后的解析式为，与直线只有一个交点， 则方程有两个相等的实数根， 即， ∴， 解得：， ∴抛物线向左平移2个单位时，与直线只有一个公共点； 【小问3详解】 解：依题意， 解得：或 ∴，，则 设， 当为对角线时， ∴，即 解得：或 则或， 当为边时，，即 解得：或 则或， 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的平移，平行四边形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： （1）求a和k． （2）求点B坐标． （3）的面积． 【答案】（1）， （2） （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点的坐标． （1）利用点的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）由一次函数与二次函数联立后求解方程即可； （3）求出点的坐标，利用求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象过点， ，解得， 一次函数表达式为， 过点， ，解得， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得或 ∵， ∴； 【小问3详解】 解：在中，令，得， ， ∴， ∴． 26. 如图，二次函数图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为. （1）求二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围是 ； （3）将该二次函数图像向下平移 个单位长度恰好经过点. 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数的性质，二次函数的平移， （1）设二次函数的解析式为，将代入，即可解答； （2）将代入函数解析式，再结合图形，即可解答； （3）设二次函数的图象向下平移个单位，根据顶点式平移的性质可得二次函数的解析式，再将代入，解方程，求得的值，即可解答， 熟练掌握二次函数的平移口诀：“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 【小问1详解】 解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入，可得， 解得， 二次函数的解析式为，即； 【小问2详解】 解：将代入函数解析式， 可得， 将代入函数解析式， 可得， 根据题意可得，当时，有最小值为 当时，y的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设向下平移个单位， 可得， 把代入， 可得， 解得， 故答案为：18． 27. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知代数式，求它的最大值； （2）知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 【答案】（1）； （2）20． 【解析】 【分析】本题考查根据配方法求最值，熟练掌握配方的方法是解题的关键； （1）将配方得，根据，求解即可； （2）根据题意求出t的取值范围，由列方程，用配方法求最值即可． 【小问1详解】 解：， 的最大值为； 【小问2详解】 解：，点在AC边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动 ∴点从点运动到点所需时间为， 点从点运动到点所需时间为， 的最小值为20． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度初中九年级数学期中考试卷 （本卷满分100分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共30分） 1. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，1 C. 3，2，1 D. 3，2， 2. 下列抛物线中，顶点为，且与抛物线的开口方向相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程﹣x（x+1）＝0的解是（　　） A. x＝﹣1 B. x1＝﹣1，x2＝0 C. x＝0 D. x1＝1，x2＝0 4. 已知a和b是方程的两个解，则的值为（　　） A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 5. 如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 7. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 若是方程的一个根，则（ ） A. B. 2027 C. 2025 D. 2026 10. 如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点处停止，点也随之停止运动．当四边形的面积为时，点运动的时间是（ ） A. B. 或 C. D. 11. 如图，二次函数的图象开口向下，且经过第三象限的点，若点P的横坐标为，则一次函数的图象大致是　　 A. B. C. D. 12. 把抛物线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（　　　） A. B. C. D. 13. 若实数、满足，且，则的值是（ ） A. B. 3 C. 1 D. 14. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 2024 15. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8分） 16. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 17. 用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是______． 18. 请写出一个开口向下，并且与轴交于点的抛物线的表达式：________． 19. 将方程化成一般形式是____________ 三、解答题（共62分） 20. 解方程： （1） （2） 21. 阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数a，b满足：，且，则______，______； （2）间接应用：在（1）条件下，求的值； （3）拓展应用：已知实数m，n满足：，且，求的值． 22. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶． （1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是 元（用含x的代数式表示）； （2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是 ； （3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 23. 已知抛物线． （1）求证：不论为何实数，这个抛物线与轴总有两个交点； （2）如果有一交点坐标为，求的值． 24. 如图，已知，抛物线交x轴于，两点，过点的直线交抛物线于，两点， （1）求抛物线的解析式； （2）若，求抛物线向左平移多少个单位时，与直线只有一个公共点？ （3）是轴上的一个动点，抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由？ 25. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： （1）求a和k． （2）求点B坐标． （3）的面积． 26. 如图，二次函数图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为. （1）求二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围是 ； （3）将该二次函数图像向下平移 个单位长度恰好经过点. 27. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： （1）已知代数式，求它的最大值； （2）知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $