北京市北京学校、中国人民大学附属中学通州校区2026-2027学年高二第一学期高二年级十月考自主命题试卷

北京学校、人大附中通州校区2026～2027学年度 第一学期高二年级十月考自主命题试卷 一、选择题选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 若表示圆的方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（ ） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 3. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 直线的方程为，当原点到直线的距离最大时，的值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点（P与 A， B 不重合），则面积的最大值是（ ） A. B. 5 C. D. 8. 已知三棱锥的所有棱长均为，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知直线，，若，则实数_____. 12. 已知正方体中，点为的中点，若，，则______． 13. 已知向量，单位向量满足，则，的夹角为_____． 14. 空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则平面的一个法向量为__________，直线l与平面所成角的正弦值为__________． 15. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义、两点之间的“直角距离”为若点，则=_________；已知点，点是直线上的动点，的最小值为_________ 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知空间四点. （1）求和的值; （2）若点在平面ABC内，请直接写出的值. 17. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点． （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程． （3）求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，直线平面.，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点. （1）证明：； （2）证明：； （3）是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由. 19. 已知直线，，，直线交轴于点，交轴于点，坐标原点为． （1）证明：直线过定点； （2）若直线在轴上截距小于0，在轴上截距大于0．设的面积为，求的最小值及此时直线的方程； （3）直接写出的面积（）在不同取值范围下直线的条数． 20. 如图，已知直三棱柱，，，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）点在平面内，且，再从条件①、条件②、条件③这几个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求平面与平面的夹角的余弦值． ①；②；③平面． 注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分． 21. 已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； （1）若，判断是否为集合的完美子集； （2）若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； （3）若集合为集合的完美子集，证明：. 北京学校、人大附中通州校区2026～2027学年度 第一学期高二年级十月考自主命题试卷 一、选择题选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置．） 【11题答案】 【答案】或 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ## 【15题答案】 【答案】 ①. 4 ②. 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）证明：因为平面，平面，平面平面， 所以； （2）证明：因为，F为线段的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （3）存在，. 【19题答案】 【答案】（1）定点为； （2）的最小值为4，此时直线l的方程为； （3）当时，直线l有2条； 当时，直线l有3条； 当时，直线l有4条. 【20题答案】 【答案】（1）取的中点，连接和． 在中，分别为和的中点，则且， 又因为且为中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． （2）不能选择条件③，选择①或②， 【21题答案】 【答案】（1）不是的完美子集，是的完美子集 （2）证明：反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）证明：， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $