北京市第一七一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B D D C C A B 二、填空题： 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题 16．（1） （2）或 （3）， 【详解】（1）因，，，设中点为E， 则得，即，则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为0时，直线经过原点和点B，则其方程为，即； 当截距不为0时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即． 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故． 17．（1）36 （2）87.5 （3） 【详解】（1）由频率分布直方图可知，成绩低于60分的区间为和， 对应的频率分别为，， 所以低于60分的总频率为，人数为人． （2）由频率分布直方图可知，低于80分的频率为， 低于90分的频率为， 所以第85百分位数位于内，设为x， 则，解得， 所以估计这200名学生成绩的第85百分位数为87.5． （3）由频率分布直方图可知，，，这三个区间对应的频率分别为0.30，0.20，0.10，它们的比值为3∶2∶1，若采取分层抽样抽取6人，则这三个区间所占人数分别为3人，2人，1人， 现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，“至少有1人的成绩在”的对立事件是“2人的成绩都不在”， 所求的概率为． 18．（1）； （2）选①或③，；选②，三角形不存在 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得，而，则， 又，所以． （2）选择条件①，则， ， 为钝角，符合题意，而，则存在，此时， 由正弦定理得． 选择条件②：，由余弦定理得， 解得，由为钝角，得，于是，， 此时与矛盾，不存在，因此②不可选． 选择条件③：的面积为，则，解得， 由余弦定理得，则， 由为钝角，得，于是，，此时，符合题意，存在， 所以． 19．【详解】（1）因四边形是正方形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面平面，则，故． （2）因平面平面，，平面平面， 则平面，又平面，平面， 则，， 因，，则，则， 则以A为原点，以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 又因其夹角取值范围为，故直线与平面所成角为． 20．（1）因为在中，，，所以，， 根据折叠关系，而且，平面， 所以平面，平面，则，又， 由，，平面，所以平面； （2）； （3）存在，． 【详解】（1）略 （2）因为经过的重心，故，由（1）知平面， 以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 由几何关系知，，， 故，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 设M到平面的距离为； （3）设，，，即， 即，，，， 设平面的法向量为，则，， 所以，则，令，则， 设平面的法向量为，，， 则，即，令，则， 若平面与平面垂直，则满足，即，， 故存在这样的点，，所以． 21．【答案】（1）数列：1，4，3，2不是D数列，：5，1，4，2，3是D数列．理由如下： 因为，，， 而3，1，1不是1，2，3的一个排列，所以数列：1，4，3，2不是D数列． 因为5，1，4，2，3是1，2，3，4，5的一个排列， 又，，，，4，3，2，1是1，2，3，4的一个排列， 所以数列：5，1，4，2，3是D数列． （2）假设数列Q：，，…，为D数列， 则． 因为与（，2，…，19）的奇偶性相同， 所以与的奇偶性相同． 所以与的奇偶性相同． 又是偶数，是奇数，矛盾． 所以数列Q：，，…，不是D数列． （3）． 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为数列Q：，，…，为D数列， 所以， 且 ． 所以．所以． 因为，， 所以，即． 令（，2，…，）， 则（，2，…，）， 所以， 即数列Q：，，…，为D数列．所以的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京一七一中高二10月月考 数 学 一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．圆与圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．若直线和直线平行，则m的值为（ ） A． B． C．或 D． 4．已知直线和圆，点P在直线l上，点Q在圆C上，则最小值为（ ） A．1 B．3 C．6 D．9 5．若对任意实数k，直线截圆所得的弦长为定值，则实数（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 6．如图，平行六面体中，以A为顶点的三条棱长均为2，且两两之间的夹角都是，则（ ） A． B． C． D． 7．若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．二维码是一种利用黑、白方块记录数据符号信息的平面图形．某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则n的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，在棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，点P在正方体的表面上运动，且平面．则线段的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．在正方体中，，其中，．给出下列三个结论： ①所有满足条件的点M构成的图形为正方形（含内部）； ②当时，与所成角的最小值为； ③当时，存在点M，使得． 则所有正确结论的序号为（ ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 二、填空题共5题，每题5分，共25分． 11．过点的已知圆的切线方程为__________． 12．已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是__________． 13．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示， 一与六共宗居下，二与七为朋居上， 三与八同道居左，四与九为友居右， 五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数． 若从阳数和阴数中各取一数，则阳数大于阴数的概率为__________． 14．已知，，直线和垂直，则的最小值为__________． 15．如图，在长方形中，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为__________． 三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 已知，，，求（均写出一般式方程）： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过B点且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）边垂直平分线方程及点C关于的对称点D的坐标． 17．（本小题13分） 第33届世界大学生冬季运动会将于2027年1月15日至1月25日在中国长春-吉林举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于60分的人数； （2）试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数； （3）若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人中至少有1人的成绩在的概率． 18．（本小题14分） 在中，为钝角，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求c． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题15分） 如图，五面体中，四边形是正方形． （1）求证：； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成角的大小． 20．（本小题15分） 在中，，，，D，E分别是，上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，M是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求点M到平面的距离； （3）在线段上是否存在点N（N不与端点，B重合），使平面与平面垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题15分） 若数列Q：，，…，满足如下两个性质，则称Q为D数列： ①，，…，是1，2，…，n的一个排列； ②，，…，是1，2，…，的一个排列． （1）判断数列：1，4，3，2和数列：5，1，4，2，3是否为D数列？说明理由； （2）若数列Q：，，…，满足，，求证：数列Q：，，…，不是D数列； （3）若数列Q：，，…，为D数列，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $