四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

川大附中高三上学期10月月考 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在答题卡“栏目”内。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，考生用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题是，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集,集合,则( ) A. B. C. D. 2.已知、都是正数,若,则的最大值为( ) A. B. C. D. 3.若命题“”为假命题,实数的取值范围( ) A. B. C. D. 4.设向量,则( ) A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件 C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件 5.本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛,随机抽取了100名学生进行成绩统计,发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示,则( ) A.图中的值为0.020 B.估计样本数据的众数值为90 C.估计样本数据的第分位数为95 D.估计样本数据的平均数大于中位数 6.已知函数的部分图象如图所示,则的解析式可能为( ) A. B. C. D. 7.双曲线的左、右焦点分别为,以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P,若,则双曲线的离心率( ) A.2 B.5 C. D. 8.已知函数是定义在上的单调递增函数,且恒有,其导函数为,其中是自然对数的底数.当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知函数的部分图象如图所示,则( ) A.的最小正周期为 B.当时,的值域为 C.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的函数图象关于点对称 10.若函数的定义域为,且,,则( ) A. B.为偶函数 C.的图象关于点对称 D. 11.如图,在直棱柱中,,是中点.过作与平面平行的平面,若平面平 面,则( ) A.四点共面 B.棱柱没有外接球 C.直线所成的角为 D.四面体与四面体的公共部分的体积为 第 卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题,每小题5分,共15分,请将答案填写在答题卡上。 12.已知是虚数单位,化简的结果为_________. 13.已知递增等比数列前项和为,且,则数列的前项和为_____. 14.已知是双曲线的左、右焦点,分别为双曲线两支上的两点,若,且以为直径的圆恰好过点,则双曲线的离心率为_________. 四、解答题：本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且. (1)求角B的大小; (2)求的取值范围. 16.(15分)某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况,其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时,60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训,已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后,学生的短跑成绩合格的概率为,每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后,学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率,从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生(记为甲)进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验,零假设为:学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. (1)先填写列联表,再依据小概率值的独立性检验,判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关; (2)按照短跑成绩是否合格,运用分层抽样的方法从样本中选出5人,再从这5人中随机抽取2人. 记抽取的2人中短跑成绩合格的人数为X,求X的分布列和期望. 参考公式与数据:,其中,. 17.(15分)如图,在四棱锥中,平面,是线段上的动点. (1)当是线段中点时,求证:∥平面; (2)设是的中点,当二面角的余弦值为时,求点到平面的距离. 18.(17分)已知椭圆的离心率为,直线被椭圆所截得的线段的长为3. (1)求的方程: (2)已知点,过点的直线交于E,F两点在轴的下方),直线BF交直线于点. (i)设直线ME的斜率为,直线MF的斜率为,判断是否为定值,并说明理由; (ii)证明:直线ME过定点. 19.(17分)已知函数. (1)当时,求证:; (2)若对于恒成立,求的取值范围; (3)若存在,使得,求证:. 高三数学 第 2 页（共 3 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.B; 2.C; 3.C; 4.C; 5.C; 6.C; 7.A; 8.B; 9.ACD; 10.BCD; 11.ABD. 12.; 13.; 14.. 1.【解析】,,,故.故选B. 2.【解析】因为、都是正数,所以,可得.当且仅当,即,时取等号.所以的最大值为.故选C. 3.【解析】因为为假命题,所以,的取值范围是.故选C. 4.【解析】,. “”是“”的充分不必要条件,“”是“”的充分不必要条件.故选项A错误,选项C正确. . “”是“”的充分不必要条件,“”是“”的既非充分也非必要条件. 故选B、D错误.选C. 5.【解析】由直方图知,,可得.故选项A错误. 由直方图知,估计样本数据的众数值为.故选项B错误. 估计样本数据的第分位数为,由,则, 令,可得.故选项C正确.【令！】 由平均数,【】 设中位数为,则,令,解得.【】 所以中位数大于平均数.故选项D错误.选C. 6.【解析】由图知,为奇函数.因为是偶函数,所以排除A选项. 由图知,当比0稍微大一点时.因为当比0稍微大一点时,所以排除选项B. 由图知,当时.因为当时,所以排除选项D.故选C. 7.【解析】设,由题意,.设, 因为在以为焦点的抛物线上,所以. 因为在以为焦点的双曲线右支上, 所以,,其中.由得. 因为,所以.因此.故选A. 8.【解析】设,则.因为是上的单调递增函数,所以. 因此,,.因为在上是增函数,,所以. 故,. . 记,则,,, 在单调递减、在单调递增.因此,对任意都成立,在单调递增.因此,对任意都成立. 记,则,在单调递减、在单调递增.因为,,,所以,当时,. 因此.实数的取值范围是.故选B. 9.【解析】由图知,,函数的最小正周期,. 因为,,所以,.故A正确. 当时,,,的值域为.故B错误. 将的图象向右平移个单位长度可得函数的图象.故C正确. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到的函数图象.因为,的图象关于点对称.故D正确．选ACD． 10.【解析】对于A,令,则,因为,所以.故A错误. 对于B,令,则,为偶函数.故B正确. 对于C,令,则.令,则,因此的图象关于点对称,故C正确. 对于D,因为是偶函数,其图象关于轴对称,且关于点对称,所以是的一个周期. ,,,,. 因此,. 故D正确.选BCD. 11.【解析】对于A,延长至使,延长至使,由题意,是长方体,分别是棱的中点.因为是中点,所以,四点共面.故A正确. 对于B,由题意,梯形无外接圆,因此棱柱无外接球.故B正确. 对于C,因为,,,所以. 设,则,,所以. 因为,所以为所成的角.由题意,, .故C错误. 对于D,因为四面体是由直棱柱截去三棱锥、、、后所得,四面体是由直棱柱截去三棱锥、、、后所得,所以四面体与四面体的公共部分是由直棱柱截去八个以有公共顶点的三条棱为侧棱的棱锥后所得几何体,它是以六个表面对角线的交点为顶点的几何体(八面体). 设, 则四面体与四面体的公共部分是八面体,其体积. 因为是矩形,所以在底面内的射影分别是的中点.因此,四边形的面积. 因为是直四棱柱,所以,. 因此.故D正确.选ABD. 12.【解析】. 13.【解析】由题意,可设,,,, , 故的前10项和. 14.【解析】法一:因为分别是椭圆的左、右焦点,所以是中点. 设点关于原点的对称点为,则为平行四边形,. 因为,所以,三点共线,. 设,则,,,. 因为以为直径的圆过点,所以,. 因此,,,. 因为,所以. 法二:如图,设,,,, 因为分别是椭圆的左、右焦点,所以. 因为,所以,, ,. 因为以为直径的圆过点,所以.因此, . 15.【解析】(1),因为,所以,或. (2)①若,则, . 因为,所以,.故. 【,和差化积！】 ②若,则, . 因为,所以,.故. 【,和差化积！】 综上所述,若,则;若,则. 16.【解析】列联表为 零假设学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时无关. 因为, 根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关. (2)由列联表知,选出5人中短跑成绩合格的有3人,因此,从这5人中随机抽取2人,其中短跑成绩合格的人数.,,,, 的分布列为,的期望.【】 17.【解析】(1)设为的中点,因为是中点,所以.由题意,. 因此,,为平行四边形,故.因为,,所以. (2)由题意,可分别以为轴建立空间直角坐标系,如图.则, 因为在线段上且与点不重合显然,所以可设, 则.是面一法向量,是面一法向量. 因为二面角的余弦值为,所以, 解得,故,. 因为是中点,所以,点到平面的距离为. 18.【解析】(1)由题意,,椭圆过点, 因此,解得.故的方程为. (2),,设,, 由消去得,整理得, 则,. (i) ,即. 因为不为定值,所以不为定值. 【,】 (ii)由(i),直线的斜率,且过点, 因此,. 令解得因此,直线ME过定点. ★★★过点作直线与椭圆交于不同于椭圆的短轴端点的两点,直线与直线交于点,直线的斜率分别为,则:(1);(2)直线过定点. 【解析】,,设,, 由消去得,整理得,则, . (1) ,即. (2)因为,所以, 因为直线过点,所以. 令解得因此,直线过定点. 19.已知函数.(1)当时,求证:; (2)若对于恒成立,求的取值范围; (3)若存在,使得,求证:. 【解析】(1).记,则,在是减函数、在是增函数.因此,当时,,即.故. (2)法一:,. 【分类讨论！】 (ⅰ)若,则当时,.符合题意. (ⅱ)若,则在单调递增,. ①若,即,则对任意都成立,在单调递增. 当时,.符合题意. ②若,即,因为,所以,存在使得,当时,在单调递减.当时,.不符合题意. 综上所述,,的取值范围是. 法二:,,,. 【端点效应！】 ①若,即,则存在,当时,在单调递减. 当时.不符合题意. ②若,即,则当时,. 记,则在单调递增.当时,在是单调递增.当时.符合题意. 综上所述,,的取值范围是. 法三:当时,.记,【分离变量！】 则, 记,当时. 当时,,在单调递增,. 因此,当时,在单调递减. 因为,所以,的取值范围是. (3)由(2)知,若,则对任意都成立,不存在使得. 若,则在单调递增,,, 因此,存在使得,当时,当时,在单调递减、在单调递增,,. 【隐零点！】 因此,存在使得. 因为,, 所以 ,即. 因为在单调递增,,所以. 高三数学 参考答案 第 2 页（共 3 页） 学科网（北京）股份有限公司 $