精品解析：四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

川大附中高三上学期10月月考 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在答题卡“栏目”内. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，考生用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题是，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 集合，， 所以，. 2. 已知、都是正数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 3. 若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 4. 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 5. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 图中的值为0.020 B. 估计样本数据的众数值为90 C. 估计样本数据的第分位数为95 D. 估计样本数据的平均数大于中位数 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率和为1求参数值，再由频率直方图求众数、百分位数、中位数、平均数依次判断各项正误. 【详解】由题设，可得，A错； 由直方图知，估计样本数据的众数值为，B错； 由， 则样本数据的第分位数在内， 设为，则，可得，C对； 由平均数为， 由图易知中位数在内，设中位数为，则，可得， 所以中位数大于平均数，D错. 故选：C. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数在上的值排除B, 利用奇偶性排除A, 利用函数在上的单调性排除D 【详解】对于A，，定义域为， 又，所以为偶函数，故A错误； 对于B，当时， 易知，，所以，不满足，故B错误； 对于D，当时，， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，故D错误； 检验选项C，满足图中性质。 故选：C 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 8. 已知函数是定义在上的单调递增函数，且恒有，其导函数为，其中是自然对数的底数．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由单调函数性质设内层为常数求出，变形不等式构造单调函数脱去外层，转化为在区间上恒成立，求的最大值得到的取值范围. 【详解】因为是上的单调递增函数，且为常数， 因此必为常数， 设 （为常数），则 ， 所以，结合， 得方程 ，得， 又函数单调递增，故是唯一解，因此 ， 所以，当时， 不等式恒成立， 得恒成立， 即恒成立， 构造函数，则， 可得， 所以，恒成立， 而， 设，，令得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以最小值为， 因此恒成立，在上单调递增， 由，可得，分离变形得， 即在上成立，只需， 令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 而，故，所以， 所以实数的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可． 【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确； 由，知， 因为，所以，所以，，即，， 又，所以，所以， 对于B，当时，，所以， 所以的值域为，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确． 故选：ACD． 10. 若函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，令,可得；对于B，令，可得，即可判断；对于C，令得，再令即可判断；对于D，根据条件可得,继而，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可. 【详解】对于A，令，则， 因为，所以，则， 故A错误； 对于B，令，则， 则，故B正确； 对于C，令得，， 所以， 令得，， 则的图象关于点对称，故C正确； 对于D，由得， 又，所以， 则，， 所以，则函数的周期为， 又，， 则， ， 则， 所以， 故D正确， 故选：BCD. 11. 如图，在直棱柱中，，是中点.过作与平面平行的平面，若平面平面，则（ ） A. 四点共面 B. 棱柱没有外接球 C. 直线所成的角为 D. 四面体与四面体的公共部分的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用异面直线夹角的向量求法判断C；确定直角梯形是否有外接圆判断C；作图求出体积判断D. 【详解】在直棱柱中，平面，又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 对于A，，即，又直线， 因此，即四点共面，A正确； 对于B，在梯形中，，则为锐角，， 因此，梯形无外接圆，则棱柱没有外接球，B正确； 对于C，平面，平面，平面平面， 则，令，连接，平面平面，同理， 因此直线所成的角等于直线所成的角，由，得， 则，，， 直线所成的角不为，C错误； 对于D，令， 则点是直棱柱所在侧面矩形的中心， ，四边形是平行四边形， 平面，则平面，同理平面，而， 平面，因此平面平面，同选项C得， 而，则四边形为平行四边形，，则平面， 平面，四边形的面积， 四面体与四面体的公共部分为八面体， 所以四面体与四面体的公共部分的体积为，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：作出图形确定两个四面体的公共部分是求出其体积的关键. 第 卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将答案填写在答题卡上. 12. 已知是虚数单位，化简的结果为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 13. 已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由等比数列条件求出通项，取对数化简，把原数列转化为分式型数列；采用裂项相消求和，抵消中间项，保留首尾项算出前 10 项和. 【详解】由题意，可设，，，， ， 故的前10项和. 14. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，设，，，，得出，，结合，得出.因为、在双曲线上，得出，又因为过原点以为直径的圆过点，得出，结合双曲线的性质有，联立双曲线方程得出，所以，设离心率，构造关于的方程为，解方程求出. 【详解】 如上图所示，设，，，， 则，. 因为， 所以. 因为、在双曲线上，则. 又因为过原点以为直径的圆过点，所以. 根据双曲线的性质有，联立得 所以， 设离心率，则，解得，（，舍去）. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的大小; （2）求的取值范围. 【答案】（1）或. （2）若，则 ; 若，则. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简可得，因为，所以或; 分别讨论与时，化简并求函数值域即可. 【小问1详解】 因为，所以或. 【小问2详解】 ①若，则 ， 因为，所以，.故 ②若，则 ， ， 因为，所以，.故 . 综上所述，若，则; 若，则. 16. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为:学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 合计 100 （1）先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关; （2）按照短跑成绩是否合格，运用分层抽样的方法从样本中选出5人，再从这5人中随机抽取2人. 记抽取的2人中短跑成绩合格的人数为X，求X的分布列和期望. 参考公式与数据:，其中，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 35 25 60 短跑成绩不合格 10 30 40 合计 45 55 100 有关 （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据题中所给人数和对应概率计算得出列联表，再代入公式求出卡方值，即可得出结论； （2）易知，利用超几何分布公式计算得出相应概率可求出分布列和期望值. 【小问1详解】 列联表为 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 35 25 60 短跑成绩不合格 10 30 40 合计 45 55 100 零假设学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时相互独立. 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关. 【小问2详解】 由列联表知，选出5人中短跑成绩合格的有3人， 因此，从这5人中随机抽取2人，其中短跑成绩合格的人数； 易知，则， ，， 的分布列为 0 1 2 所以的期望. 17. 如图，在四棱锥中，平面，是线段上的动点. （1）当是线段中点时，求证：平面； （2）设是的中点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【答案】（1）记的中点为，连接， 因为是线段中点，所以且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）记的中点为，连接，证明四边形为平行四边形即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据二面角求出点坐标，再由向量法求距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，所以， 又，所以两两垂直， 以分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 则， 当M与B重合时，二面角为，不合题意， 设，则， 设平面，平面的法向量分别为， 则，， 取，得， 由题可知，解得（舍去）， 则，则点到平面的距离为. 18. 已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3． （1）求的方程： （2）已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点． （i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ii）证明：直线ME过定点． 【答案】（1） （2）（i） 不为定值.理由如下： 设点， 设 ， 由 得， 由 ，得 ，解得 或 ， 又点 ， 在 轴下方，则 ， 由韦达定理得 得 ，即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 不是定值. （ii）证明： 由（i）得 则直线 的方程为 ， 即 ， 当 时，得 ， 所以必过定点. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义求解即可. （2）（i）设点 ， ， 设 联立椭圆的方程，进而将斜率表示出来，得到，与点的坐标有关，从而 不为定值. （ii）通过（i）中将斜率表示成，从而直线方程转化为从而直线过定点 【小问1详解】 因为直线被椭圆所截得的线段的长为3， 所以在椭圆上，代入得， 又，解得：. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） （3）由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 若，则成立； 若，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 【解析】 【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果; （2）求解令，则，分类讨论求解的范围; （3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证（*）进而证明结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川大附中高三上学期10月月考 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在答题卡“栏目”内. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，考生用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮檫檫干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题是，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知、都是正数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（   ） A. B. C. D. 4. 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 5. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 图中的值为0.020 B. 估计样本数据的众数值为90 C. 估计样本数据的第分位数为95 D. 估计样本数据的平均数大于中位数 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 8. 已知函数是定义在上的单调递增函数，且恒有，其导函数为，其中是自然对数的底数．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 10. 若函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 11. 如图，在直棱柱中，，是中点.过作与平面平行的平面，若平面平面，则（ ） A. 四点共面 B. 棱柱没有外接球 C. 直线所成的角为 D. 四面体与四面体的公共部分的体积为 第 卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将答案填写在答题卡上. 12. 已知是虚数单位，化简的结果为_________． 13. 已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为_____. 14. 已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的大小; （2）求的取值范围. 16. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为:学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 合计 100 （1）先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关; （2）按照短跑成绩是否合格，运用分层抽样的方法从样本中选出5人，再从这5人中随机抽取2人. 记抽取的2人中短跑成绩合格的人数为X，求X的分布列和期望. 参考公式与数据:，其中，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，平面，是线段上的动点. （1）当是线段中点时，求证：平面； （2）设是的中点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3． （1）求的方程： （2）已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点． （i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ii）证明：直线ME过定点． 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $