河南洛阳理工学院附属高级中学2026-2027学年高二上学期数学第二次周测

理工附中高二数学第二次周测 班级：___________姓名：___________用时：60分钟； 总分：100分 一、填空题（每题6分） 1．若直线沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后，回到原来位置，则的斜率为______． 2．在直三棱柱中，，，分别是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 ___________． 3．直线的倾斜角的范围是___________． 4．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为___________． 5．已知两条不重合的直线和，，若，则的值为___________． 6. 在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，___________． 7. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为___________． 8.已知平面四边形中，，，现将沿折起，当二面角的大小在内变化时，直线与所成角的余弦值的取值范围是___________． 9．如图，四棱锥的底面是正方形，平面.已知，分别为的中点，平面与棱交于点，则平面与平面的夹角的正弦值是___________． 10. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为___________． 二、解答题（每题20分，共40分） 11．已知过定点P的直线：. (1)求定点P的坐标； (2)直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； (3)直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 12．如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由. 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答 案 2． 4. 5. 6． 7. 8. 9. 10．【详解】由题意知平面平面，如图，连接， 因为四边形是菱形，是的中点，所以，又平面平面平面，所以平面，而平面，所以，从而，三线两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 则．由图知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 11．【详解】（1）联立，解得，即， （2）由与直线l：垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即. （3）当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，设方程为，则，得，此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 12．【详解】(1)取的中点N， 连接， 如图所示：   为棱的中点， 四边形ABMN是平行四边形， 又平面， 平面， 平面. (2)   由在等腰梯形中，，，为边上靠近点的三等分点，可得， 也即 又平面平面，交线为,平面，所以平面， 又平面ABCD， 又 以点D为坐标原点，所在直线分别为轴建立直角坐标系，, 如图，则为棱的中点， 设平面的一个法向量为 则 平面的一个法向量为 所以二面角的正弦值为. (3)存在，理由如下： 假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设 则 由（i）知平面的一个法向量为 点Q到平面的距离是 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $