河南洛阳理工学院附属高级中学2026-2027学年高二上学期9月月练数学试卷

参考答案 单选：1--4ABCB 5--8ACAC 多选：9.BD 10.ABC 11.ABD 填空12. 13.  14.  8【解析】提示：由已知得，所以即存在实数t，使得不等式有解，则有，解得， 又因为且，所以在方向上的数量投影是 所以围成的空间几何体，高为2，母线长为的圆锥， 则其底面半径为， 故由构成的空间几何体的侧面积为 10.正确关系是 11.【答案】  【解析】． 当直线平行于直线，点为线段上靠近点的三等分点，即时，平面，证明如下： 在正四面体中，设各棱长为，，，，均为等边三角形． 点为的中心，， 由等边三角形的性质，易得， 在中，，，， 由余弦定理，得， ， ．同理，． 又，平面，平面， 平面， 存在点与直线，使得平面． ， 则，即， 同理，则， 根据，，三点共线有，， 当且仅当时等号成立． 设为的中点， 则，，，三点共线， ，同理，，．设，，， 则，，，，四点共面， ，又，， ，即  点是等边三角形的中心， ． 又点在平面内， 由共面向量定理可知，即． 14.【答案】  【解析】如图，连接BD，交AC于点O，因为四边形ABCD为菱形，所以取PC上一点M，使，连接MD，MB，又，，BD，平面BDM， 所以平面BDM，则点Q的轨迹是线段以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，，设，，则 因为，所以，解得，所以，，所以，即点Q所形成的轨迹长度为 15.【答案】解  将直线间的垂直关系和平行关系转化为斜率间的关系．  设，由已知得，又，可得，  即  ①．  由已知得，又，  可得，即  ②．  联立①②解得，， 在三角形NQP中，，即直线PN与QN的倾斜角互补，因此斜率  设，，，，，解得，，轴，故直线MQ的倾斜角为 16.【答案】解：证明：直线l的方程可化为， 令解得 无论k取何值，直线总经过定点 由方程知，当时，直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，要使直线不经过第四象限，则解得； 当时，直线为，符合题意，故k的取值范围是 由题意可知，由l的方程，得， ，“=”成立的条件是且，即， ，此时直线l的方程为   17.【答案】解：如图，连接AD，取AD中点为O，连接， 因为底面ABCDEF是正六边形， 所以，即， 所以，又因为， 所以 由题知，， 根据， 可知， 因为底面是正六边形，所以所以， 所以① ②因为， 所以 ， 所以  18.【答案】解：为正三角形，为中点，． 平面，平面，， 因为，、平面， 平面，因为平面， ． 又，，、平面， 平面，平面， ； 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中，为轴，轴的正半轴， 则，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，则法向量为， 设平面的法向量为， 则 令，则法向量为， 设平面与平面夹角为， 则，； 建系同设，，， ，， ，，， ， 令，， 则， 在上单调递减，上单调递增， 当时，， ．  19.【答案】解：取MD的中点H，连接AH，HQ， 在中，H，Q分别为MD和MC的中点， 所以且长为DC的一半， 又因为底面ABCD为平行四边形，P为AB的中点， 所以且， 所以四边形APQH为平行四边形，可得，又面MAD，面MAD， 所以平面MAD； 取AD的中点O，连接PO，由，则， 分别以OA，OP所在直线为x轴和y轴，以过O垂直于底面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面AMD的法向量为， 则， 令，则，，所以为平面AMD的一个法向量， 又，设MC与平面AMD所成角为， 则，， 所以MC与平面AMD所成角的正弦值为 因为平面AENF，平面平面，平面MBD，所以， 设， 则， 设平面AENF的法向量为，由， 则， 令，则，， 所以为平面AENF的一个法向量， 设平面AENF与平面AMD夹角为， 由可知平面AMD的一个法向量， 由题意可得，， 令，则，得，所以，当时，舍去， 所以当时，，此时， 设， 则， 又因为平面AENF的法向量， 则，解得， 所以存在点N，使得平面AENF与平面AMD夹角的余弦值为，此时  学科网（北京）股份有限公司 $洛阳理工学院附属高级中学2028届高二年级9月月练数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。) 1.在空间直角坐标系中，点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为() A.（-2,-1,-4) B.（-2,1,-4C.2,1,-4) D.2,-1,40 2.已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P,都有PQ=一2PA+5PB+ mCP,则实数m的值为() A.0 B.2 C.-1 D.-2 3.若a,b,是空间向量的一个基底，则下列可与向量a+元，a一元构成一个基底的向量是 () A.a B.C C.a+2b D.a+2元 4.已知向量a=1,m-1),五=1，-1,1)，若a+1五，则m=() A.4 B.3 C.1 D.2 5.已知fw=e*-1,且a>b>c>0则r%,f0,9的大小关系 是() A.f(a1(b 1 B.1)f@ M a b b a C.ta ne D.f@>f@、f a a B 6.在四面体OABC中，点M满足OM=3MA,N在BC上，若MN=xAB+yOC,则x-y=() A.0 B.月 C.Z D.5 3 7.阅读材料：空间直角坐标系O-xz中，过点P(,%,)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面a的 方程为a(x-)+b(y-y)+c亿-2)上0，阅读上面材料，解决下面问题：直线1是两平面 x-3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则下列向量可以为直线1的方向向量的是() A.(3,1,-2) B.(3,1,2) C.(2,1,3) D.(-2,1,-3) 8.空间中，同起点的两个向量a,,满足a.b=2,b=1,且存在实数t,使得d-2a+t6≥0 成立，则向量b确定时，由构成的空间几何体的侧面积是(）. A号 B号 C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.下列说法正确的是() A.截距相等的直线都可以用方程+二=1表示 0 B.方程x+my-2=OmER)能表示平行y轴的直线 C.经过点P1,1),倾斜角为0的直线方程为y-1=tan0x-1) D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程(y2-y)x-x)-(x2-xy-y)=0 10.异面直线所成的角构成集合A,直线与平面所成的角构成集合B,二面角的平面角构成集 合C,平面与平面的夹角构成集合D,直线的倾斜角构成集合E,则下列关系正确的是（) A.A∈B∈DCC B.A∈B∈DcE C.A∈B∈E∈C D.A∈B∈C∈E 11.如图，点O是正四面体PABC的底面ABC的中心，过点O的直线 分别交AC,BC于点M,N,S是棱PC上的点，平面SMN与棱PA 的延长线相交于点Q,与棱PB的延长线相交于点R,则( A.存在点S与直线MN,使得P.P可+P)>O B.存在点S与直线MN,使得PC1平面SRQ C.若PM=PA+(1-PC,PN=PB+1-wPC,其中λ∈ 0,,μE(0,),则+3μ的最小值是+3 3 D高+高+岗高 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知直线过点2,3)，它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线的方程为 13.如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，且PD1AD,PD1 DC,PD=3,AD=2,若M是AB的中点，则点M到平面PAC的距 离d为一 M 14.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=6O°，PA=PD,∠APD= 0°，平面PAD1平面ABCD,点Q是△PBC内（含边界）的一个动点，且满足DQ1AC,则点Q 所形成的轨迹长度是 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.(13分)已知M1,-1),N2,2),P(3,0). (I)求点Q的坐标，满足PQ1MN,PN∥MQ: (2)若点Q在x轴上，且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角. 16.(15分)已知直线L:kx-y+1+2k=0kER). (1)证明：直线过定点： 2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围： (3)若直线交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为SO为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线的方程. 17.(15分)如图，在六棱柱ABCDEF-A,B,CD,E,F,中， 底面ABCDEF是正六边形，设AB=d,AF=b,AA=C. ()用基底a,五，表示AD,AE: 2)若co8LBAA=COs-FAA=AB=2,AA=4,求： ①AC.AD, ②AE1 18.(17分)如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA1平面ABC,PA=AB=1, 点E为线段BC上的动点，AF⊥PE (I)若点E为BC中点，证明：AF1FC, (2)在(1)的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值，： (3)求线段长CF的最小值. 19.(17分)如图，已知四棱锥M-ABCD的底面ABCD是平行四边形， 侧面MAD是等边三角形，AB=2BC=2,AD1BD,二面角M-AD B的大小为，P,Q分别为AB和MC的中点. (I)求证：PQ/平面MAD; (2)求MC与平面AMD所成角的正弦值； 3)设N为侧棱MC上一点，四边形AENF是过A,N两点的截面，分别交MD,MB于E,F两点， 且BD平面AENF,是否存在点N,使得平面AENF与平面AMD夹角的余弦值为5？若存在， 求出兴的值：若不存在，请说明理由。