精品解析：辽宁沈阳东北中山中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

东北中山中学2026-2027学年度（上） 高三年级第一次月考数学试卷 时间：120分钟 分值：150 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 记等差数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 面积为，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题：“，”，命题：“，”.若两个命题中全称量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A. B. C. D. 8. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 二、多选题 9. 已知函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 令，为数列的前项和，则 D. 11. 设与其导函数的定义域均为，，若，的图像关于对称，在上单调递减，且，则下列选项错误的是（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于原点对称 C. D. 的极小值为 三、填空题 12. 设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 13. 已知为第二象限角，，则__________． 14. 设定义域为的函数的导函数为，对任意的有恒成立，且在上成立．若，则实数的取值范围为________． 四、解答题 15. 设全集为，集合，，. （1）求； （2）若是的子集，求实数的取值范围； （3）若集合的真子集有且仅有个，求实数的取值范围． 16. 设函数，其中．已知． （1）当，求的单调递减区间； （2）将函数的图象上各点的横坐标和纵坐标都伸长为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求在上的最大值． 17. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有最小值，且的最小值大于，求的取值范围. 18. 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （1）分别求数列，的通项公式． （2）设数列的前项和为，求数列的前项和． （3）若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 19. 已知，函数． （1）求函数的所有零点之和； （2）证明：，； （3），，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北中山中学2026-2027学年度（上） 高三年级第一次月考数学试卷 时间：120分钟 分值：150 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ， ， 所以， 又，所以. 2. 在中，“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】在中，若，则或，当时，， 不能构成三角形，故，则成立； 若，因为余弦函数在上单调递减，故，则成立； 综上，“”是“”成立的充分必要条件． 3. 记等差数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，解得，又， 所以. 4. 面积为，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先通过余弦定理求出角，再通过三角形面积公式求出边. 【详解】在中，因为，所以可化为， 即， 所以，故，. 由面积公式得：， 解得：. 5. 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数求导得，， 若函数在上是单调函数，则， 解得，故实数的取值范围是. 6. 已知命题：“，”，命题：“，”.若两个命题中全称量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定全称量词命题为假、存在量词命题为真，分别求出两个命题对应的取值范围，取交集即可得到结果. 【详解】命题为存在量词命题，命题为全称量词命题，由题意得为假命题，为真命题， ① 当为假命题时，其否定“”为真命题， 即二次方程有两个不相等的实根， 故判别式，得，即，解得或； ② 当为真命题时，因为的取值范围是，的最大值是， 只需即可满足条件，故为真命题时， 取上述两个范围的交集，可得实数的取值范围是. 7. 已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图象及直线，借助图象分析． 【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方， 或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求． 即，即， 或者，得，，即，得， 所以的取值范围是． 故选D． 【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法． 8. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数的奇偶性与单调性得出，进而代入目标式并利用基本不等式求得最小值. 【详解】由题意得，其中， 且，即，所以是定义在R上的函数， ， 则 ， 即，故是定义在R上的奇函数， 设，则， 由上知，则且，所以，单调递减， 因为在定义域内单调递增，所以在R上单调递减， 由得， 因为在R上单调递减，所以有， ， 当且仅当，即，结合，且解得时等号成立， 综上， 的最小值为. 二、多选题 9. 已知函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的图象，结合正弦型函数的性质，求得的解析式，可判定A正确；列出方程，求得，举反例可判定B错误；利用三角函数的图象变换，可判定C错误；画出函数与的图象，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数的图象，可得，最小正周期， 则，所以， 又由， 根据五点对应法，可得，所以， 因为，所以，所以，所以A正确； 对于B，若，即且， 可得且， 因为，所以不妨设或， 即或， 所以，其中， 当时，，所以B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数，所以C错误； 对于D，画出函数和在上的图象， 如图所示，结合图象，可得两个函数的图象共有4个交点，所以D正确. 10. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. 令，为数列的前项和，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：因为，所以直接将代入的表达式计算即可. B：如果，那么利用推导，再验证时是否满足所得通项，确定最终的表达式. C：先根据写出的表达式，因为是等差乘等比型数列，所以用错位相减法计算前项和. D：先写出的表达式，利用放缩法将放缩为可裂项相消的形式，再通过裂项相消求和后与不等式右侧比较. 【详解】因为，所以当时，； 当时，，对也成立， 所以，所以选项A错误，选项B正确； 对C，，则① 则②， ①②得：， 即，所以选项C正确； 对D，， 所以，所以选项D正确. 11. 设与其导函数的定义域均为，，若，的图像关于对称，在上单调递减，且，则下列选项错误的是（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于原点对称 C. D. 的极小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合抽象函数的性质，得到图像关于中心对称，的图像关于对称，进而得到的周期，然后逐个选项判断即可. 【详解】因为， 所以，所以， 即，即， 所以图像关于中心对称， 又的图像关于对称， 所以的图像关于对称， 所以的周期为. 对于A，若为奇函数，则图像关于对称， 所以，即， 令，则，所以， 又周期为，所以，矛盾，A错误； 对于B，因为图像关于中心对称， 所以的图象关于原点对称，正确； 对于C，因为， 所以，C错误； 对于D，因为在上单调递减，图像关于中心对称， 所以在上单调递减， 又的图像关于对称， 所以在上单调递增，又周期为， 所以在处取得极大值， 又， 所以的极大值为，D错误. 三、填空题 12. 设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 13. 已知为第二象限角，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角公式将已知等式化简，结合的象限解出和的值，最后将其代入即可求解. 【详解】由题意得，即， 因为为第二象限角，所以，所以有， 进而，解得， 因为为第二象限角，所以，， 所以. 14. 设定义域为的函数的导函数为，对任意的有恒成立，且在上成立．若，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】构建，结合题意分析的奇偶性和单调性，由题意可得原不等式化为，根据奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】对任意的有恒成立，所以， 令，则，所以为偶函数， 又， 因为在上成立，所以在上成立， 所以在上单调递减， 因为为偶函数，所以在上单调递增， ， ， 所以，解得，所以实数的取值范围为 四、解答题 15. 设全集为，集合，，. （1）求； （2）若是的子集，求实数的取值范围； （3）若集合的真子集有且仅有个，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式得集合，再根据补集定义直接在实数集中求补集，得出答案； （2）需分集合为空集和不为空集两种情况讨论，利用子集的定义列出端点满足的不等式组，求解后再求并集即可； （3）根据集合有且仅有个真子集可知恰好有3个元素（由得），结合补集范围和为整数集得出这三个整数只能为、、，从而建立不等式，解出的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以或. 【小问2详解】 当，即时，，故，符合题意； 当，即时，，此时，不符合题意； 当，即时， 要使得，需使，解得． 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 由题可知，集合有且仅有个元素，则集合中的元素为、、， 所以，解得，故实数的取值范围是． 16. 设函数，其中．已知． （1）当，求的单调递减区间； （2）将函数的图象上各点的横坐标和纵坐标都伸长为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求在上的最大值． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）化简的解析式，根据求得，进而结合整体代入法求得单调递减区间即可. （2）结合题意求出变换后的解析式，再结合三角恒等变换与余弦函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 由题意得， ， 而，得到，， 由于，所以，可得， 令，解得， 而，则当时，，当时，， 故的单调递减区间为和. 【小问2详解】 由（1）得， 函数的图象上各点的横坐标和纵坐标伸长为原来的倍， 得到，再将得到的图象向右平移个单位， 得到， 当时，，则， 故在上的最大值为. 17. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数有最小值，且的最小值大于，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再用点斜式方程写出切线方程，整理即可； （2）利用导数研究函数最值，得到有最小值，依题意，，即，构造函数，通过求导分析即可确定的取值范围． 【小问1详解】 当时，，， ∴，故， ∴曲线在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ， 由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最小值， 依题意，，即， ∵，∴， 设，则， 由基本初等函数的单调性知，在上单调递增， 又，故由可得， 故的取值范围是． 18. 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （1）分别求数列，的通项公式． （2）设数列的前项和为，求数列的前项和． （3）若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3）1． 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式以及等差数列的定义和通项公式即可求解； （2）根据等差数列的前n项和公式以及裂项相消法即可求解； （3）通过分析数列的单调性即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为． 因此，即， 而，故． 所以，，则，， 故，所以， 即． （2），因此， . （3）由题意得，即对任意恒成立， 设，则， 当时，；当时，；当时，． 故的最大值为，因此，即的最小值为1． 19. 已知，函数． （1）求函数的所有零点之和； （2）证明：，； （3），，求的取值范围． 【答案】（1）0 （2）令． 则，令， ，令，则， 则在在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则， 故在上单调递增，有， 所以，． （3） 【解析】 【分析】（1）先由 判定 为 上的奇函数，从而零点关于原点成对对称出现（含原点本身），由对称性直接得出所有零点之和. （2）构造函数 ，用"连续多次求导、逐层判断导函数单调性并结合端点值非负"的方法，从而得证. （3）先由 分离参数得 ，令 求出 的必要下界；再对导函数 作换元放缩（利用 的范围）证明当 不小于该下界时 在 上单调递减，由单调性验证充分性，最终确定 的取值范围. 【小问1详解】 依题意，函数的定义域为， 定义域关于原点对称， 因为， 所以为上的奇函数． 若，则必有． 又，故函数的所有零点之和为0. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，．因为，又由（2）可得，． 所以，，有． 当时，， 令，则， 故在恒成立， 所以在上递减，故． 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $