辽宁大连育明高级中学2026-2027学年高三上学期第二次教学质量调研数学试卷

大连育明高级中学2026-2027学年上学期高三第二次 教学质量调研 数学试卷 满分150分 时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1. 答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴 在答题卡上指定位置。 2. 选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3:非选择题，用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无 效。 4.画图清晰，并用2B铅笔加深。 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个 选项中，只有一项符合题目要求， 1.已知集合A={xEZ≥0yB=xx2-2x-3≤0，则AnB=（ A.[-1,3] B.(-∞，-2]U(3,+∞) C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1,2,3} 2.将函数y=2o2x-引的图象向右平移个周期后，所得的图象对应的函数为(） A.y=2o2x+8) B.y=2co 2x-）c.y=2m2x+ D.y=-2s2x+ 3.等差数列(a}的前n项和为Sm,若a1=-2026且普-9=4，则S2026=（) 128 A.-2026 B.2026 C.-1 D.1 4.已知tan(a-g)=√15，则sin(2a+g)=() A日 B.- c D.-月 5.△ABC中，AC=1,BC=V3,AB=2,P是△ABC所在平面内的点，且AF=AC+(1- )AB,(1∈R),则PA·P丽的最小值为( ) 数学学科试卷第1页共4页 A.-1 B.-V5 c.- D.0 6已知函数fx)=mInx+x2,(m∈R),在其图象上任取两个不同的点P(x,y)、 )名>)，总能使得包>1，则实数n的取值范围为（) x1一X2 A.[0,+∞) B.(0,+∞) C.[1,+∞) D.(1,+∞) 7,设函数四=sin xcos+cos2x若2x)产1+755，则k+的最小值为（） A君 B. c D. 8.若f)=2sin(-1)-ln2若x+2数列{a,}的前n项和为S,且S1=品 25n nan+1, 则2fa)=() A.18 B.9 c号 D.19 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分. 9.已知4ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则下列说法正确的是() A、若anA+tanB+tanC>0,则△ABC为锐角三角形 .若A=30°，b=4,△ABC只有一解，则a的取值范围为[4，+∞) C.若A=30°，a=2,则么ABC面积S的最大值为2+V3 D.若b·cosB=c·cosC,则△ABC为等腰三角形 10.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人 称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球， 第四层有10个球.设第n层有an个球，Sn=-a1+a2-a3…十(-1)”an, 则() A.a621 B.{口n+1-4n}是等差数列 Qa2026为偶数 D.S100=2550 数学学科试卷第2页/共4页 11.若函数f(x)=x3-6x2+2ax+b有三个零点x1,x2,x3,则下列说法中正确的是(） A.a>6 B7++7=0 1 C.若x,x2,3成等差数列，则函数f(x)在x=x2处的切线方程为(8+b)x+2y一16一 2b=0 D.若x1,x2,x3成等比数列，则a3=-27b 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知=1，d·i=-号，d-列·d+可=子，则a与的夹角6= 13.令Sn=1+2a+3a2+…+na-1,则计算后的值Sn为 14.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)-f(-x)=2x,且对于x∈[0，+o)都有f(x)>1. 则关于f(x)-f(1-2x)>3x-1的不等式解集为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过 程及验算步骤 15.已知向量d=(2sin(牙+x),V3(six-cosx),向量i=(si(径+x),(sinx+cosx), 函数f(x)=d·b, (1)求函数f(x)的单调递减区间及对称中心； (2)令函数g()=fP()-2af(y(a为常数)，x∈[原，]，求函数g(x)的最小值 16.在△ABC中，内角A,BC的对边分别是a,b,c,c·sinB+3b·cosC=V3a,且b=V3. (1)求角B; (2)若a+c=2,求边AC上的高BD的长； (3)若AABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围. 数学学科试卷第3页/共4页 17.已知数列{a)其前n项和为Sn,a1=2,且2Sn-1=a-2m,(n≥2)数列{b}是等 差数列，其前n项和为B,,b7=13,B7=49. (1)求证：{an+1是等比数列，并求an的通项公式： ②若c=会a+1),求数列c)的前n项和7 18.己知函数f(x)=lnx-kx (keR),g(x)=x(ex一2). (1)若x)有两个不同零点x1,x2,证明x1·x2>e2（e为自然对数的底数)： (2)若g(x)-f(x)≥1恒成立，求k的取值范围. 19,已知函数f()=e*-ax2-x-1(e为自然对数的底数)， (1)当x>0且a≤1时，判断函数f(x)的零点个数，并说明理由； (2)令g(x)=f(x),若h(x)=xg(2ax-1)+2a2x2-(3a-1)x-lmx,若函数h(x)的 最小值为0，求实数a的最小值： (3)求证： 、11 台2e+2下a 数学学科试卷第4页/共4页大连育明高级中学2026-2027学年上学期高三第二次 教学质量调研数学答案 第1卷（共58分) 一.单项选择题（每小题5分，共40分） 1.C2.D3.A4.B5.C6.C7.A8.C 二.多项选择题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分). 9.AC 10.ABD 11.BCD 第川卷（共92分） 三.填空题（每小题5分，共15分） a-+]a+1,(a≠1) 12 13.Sn= (1-a2 时9，(a=1) 14(传， 四.解答题 3cos2x=sin 2x-3cos2x+1-2sin 由2k+号≤2x-≤2k+,kZ,解得m+π≤x≤+号，kZ, 5 12 12 由2x-行=km,k∈Z解得x=经+kEZ 故函数f(x)的对称中心为（受+，1）k∈刀 …6分 (2)xe匠，，f)e[2,3],设t=f,g(©=2-2at 当a<2时，g(t)在[2,3]上单调递增，最小值为g(2)=4-4a 当2≤a≤3时，g(t)在t=a时取到最小值，最小值为g(a)=-a2 试卷第1页，共5页 当a>3时，g(t)在[2,3]上单调递减，最小值为g(3)=9-6a 综上所述，当a<2时g(x)mim=g(2)=4-4a 当2≤a≤3时g(x)mm=g(a)=-a2 当a>3时g(x)mim=g(3)=9-6a …13分 16.(1)在△ABC中，由正弦定理及csin B+√3 bcosC=√3a 得sinB sin C+√3 sinB cos C=√3sinA =3sin(B+C)=3 sin BcosC+3 cosB sin C. 即sinB sin C=√3 cos B sin C,而Ce(0,π)，sinC≠0. 解得tanB=V5,又B∈(0，)，所以B= …4分 3 (2)由B=写及b=5,余弦定理得3=c2+a-c=+a-ac 又a+c=2,解得c=} S△Ac=acsinB=V3·BD,解得BD若 …9分 (3)因为E是4AC的中点，所以B丽=(BA+BC) 则丽-a厨+2-c-c）e+a+am)-3+0 4 b 由正弦定理得，c= -sinA. sinB 即x-25cn4cosM+2nM=5n21-cos24+1-2sm4- 0<AK2 △ABC为锐角三角形 2r-A< 听以( 0 3 2 所以2A-元∈匹5如 6(66 …13分 sin e in +1e2,3] 6 试卷第2页，共5页 BE=3+2ac 79 4 44 BE∈ √73 V73 22 即边AC上的中线BE的取值范围为 2’2 …15分 17.(1)己知2S-1=an-2n(m≥2)，所以2S=an+1-2(m+1) 两式相减2Sn-2Sm-1=a+1-2(n+1)-am+2n=a+1-am-2 整理得：a+1=3a+20m≥2) 3分 当n=2时.2S1=a2-4,a1=2所以a2=8,满足上式， …4分 故a+1=3a+2(n≥1) 因为a+1+1=3(an+1),a1+1=3≠0 …5分 所以{a+1}是首项为3，公比为3的等比数列， am=3n-1. …7分 (2)设{b]的首项为b1,公差为d,因为b7=13,B7=49 b1+6d=13 所以7+空d=49 解得b1=1,d=2 bm=2n-1. …9分 因此c,=3”- 3n 22n+1-2m) .13分 所以1=号-+-++ …15分 53 2n+1 18. （1)由f(8)有两个不同零点x12,得lnx1=kx1,l1nx2=kx2(1x2>0) 两式相加nx1+nx2=kx1+x2即ln(&1x2)=k(1+2)月 两式相减，即lnx1-lnx2=1-kx2 k=Inx1 Inx2 X1-X2 要证x1·2>e2,只需证ln(x1x2)>2. 将k=1-n2代入nK1x2)=kK1+x2),得 X1-X2 lnk1x2)-=0a-2+2只需证1=26+22 X1一X2 X1一X2 试卷第3页，共5页 不妨设x1>x2>0,令t=>1则lx1-nx2=nt,x1+X2=X2(t+1)x1-2=x2(t-1) X2 只需证t+四>2 t-1 即证t>华兴t>1) 令0=t-h(0=>0h(0在1，+0)上单调速增又h=0故>1时，h国>0 即1nt>2.因此1nxx)>2.即x1x2>e2 …8分 t+1 2xe-2)-r-21恒成立，且>0，k21+l血x-c+2恒成立.…10分 1x-(1+ 令=1+i血x-e+2,则)= -er=-lnx-xer x2 x2 令46)=-nx-xe,则u6)=【(2xe+e=xeQ+06e0, 1-2 ∴4()在(0，十o上单调递减，又4（台）=1-e>0,4(1)=-e<0, 由函数零点存在定理知，存在唯一零点∈（台，1），使u(x0)=0,即-l血o=xe0, 两边取对数可得ln(-nxo)=2nx0+xo,即ln(-lnxo)+(-lnxo)=xo+nxo, 由函数y=x十lnx为增函数，可得x0=一hx和，…15分 又当0<x<x0时，u(x)>0,p'(x)>0:当x>x0时，(x)大0，'(x0, ∴x)在(0，x0)上单调递增，在(xo,十o)上单调递减， oK50(0=1+inx0e9+2=1-0-1+2=1,∴20=1， 即k的取值范围为21.…17分 19.(1)fx)=e-3ax2-x-1,f6)-e-ax-1,设gw)=f'6).g')=e-a, 当a≤1时，g'(x)=e-a>0恒成立，所以f'x)在(0，+∞)上单调递增，f'(0)=0 所以当x>0时，f(x)>f'(O)=0,因此f(x)在(0，+∞)上单调递增 f(O)=0,所以fx)>f(O)=0,此时fx)在x>0时没有零点. …5分 (2)h(x)=xg(2ax-1)+2a2x2-3a-1)x-lnx =x[e2ax-1-a(2ax-1)-1]+2a2x2-(3a-1)x-lmx xe2ax-1-In(xe2ax-1)-1 t=xe2ax-1,y=t-Int-1, 试卷第4页，共5页 y=1-=号，当t≥1时，y≥0，所以y在1，+)上单调递增，t-1≥mt 当t=1时，y取到最小值 即xe2ar-1=1,2a=1-m 设m)=m0)-二所以m()在(0，e)单调递减，在(e2,+∞)单调递增， 所以mmm=-子，即a的最小值为-意： …10分 3)油(1)可知，e>号2+i+1,因为i>0,所以2ie+记>2i(2+i+1)+2 =(i+1)(i+2) 所以中<o+i中=n中l 1 11 …17分 试卷第5页，共5页