江苏苏州市某校2026-2027学年高三上学期滚动练习9数学试题

高三数学滚动练习9 一、单项选择题 1．计算：＝(　D　) A． B．－ C． D．－ 解析：cos 80°＝cos (20°＋60°)＝·cos 20°－sin 20°，所以原式＝＝＝－．故选D． 2．已知cos α＋sin ＝，则cos 的值是(　B　) A． B． C．－ D．－ 解析：由cos α＋sin ＝，得cos α＋sin α－cos α＝sin α＋cos α＝sin ＝，所以cos ＝1－2sin2＝1－2×＝．故选B． 3．在等边三角形ABC中，AB＝1，点M为AB的中点，点N满足＝2，则·＝(　D　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：如图，在等边三角形ABC中，由于点M为AB的中点，点N满足＝2，所以·＝·＝2－2＝－＝－．故选D． 4．在平行四边形ABCD中，＝，＝，CE与BF相交于G，若＝a，＝b，则＝(　A　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 解析：如图，因为B，G，F三点共线，所以可设＝x＋(1－x)，所以＝xa＋b．因为C，G，E三点共线，所以可设＝y＋(1－y)．又因为＝a，＝b，所以＝＋＝a＋b，所以＝a＋(1－y)(a＋b)＝a＋(1－y)b，所以xa＋b＝a＋(1－y)b，即解得所以＝a＋b．故选A． 5．在等比数列{an}中，a1＋an＝82，a3an－2＝81(n≥3)，且数列{an}的前n项和Sn＝121，则此数列的项数n＝(　B　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为数列{an}是等比数列，所以a1an＝a3an－2＝81，又a1＋an＝82，所以a1和an是方程x2－82x＋81＝0的两根，解得x＝1或x＝81．若数列{an}是递增数列，则a1＝1，an＝81．因为Sn＝121，所以Sn＝＝＝121，解得q＝3，所以81＝1×3n－1，解得n＝5．若数列{an}是递减数列，则a1＝81，an＝1．因为Sn＝121，所以＝＝121，解得q＝，所以1＝81×，解得n＝5．综上，数列的项数n＝5．故选B． 6．南宋数学家杨辉《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为(　B　) A．161 B．155 C．141 D．139 解析：令数列：1，7，15，27，45，71，107，…为数列{an}，于是a7＝107，依题意，数列{an＋1－an}为6，8，12，18，26，36，…，于是a7－a6＝36，数列{(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)}为2，4，6，8，10，…是等差数列，(a8－a7)－(a7－a6)＝12，则a8－a7＝(a7－a6)＋12＝36＋12＝48，因此a8＝a7＋48＝107＋48＝155，所以该数列的第8项为155．故选B． 二、多项选择题 7．下列说法正确的是(　ABC　) A．已知a，b均为单位向量，若|a－b|＝1，则a在b上的投影向量为b B．P是△ABC所在平面内的一动点，且＝λ(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的重心 C．已知O为△ABC的外心，边AB，AC的长为定值，则·为定值 D．若△ABC内一点O满足＝，＝，则点O是△ABC的垂心 解析：对于A，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝1，因为a，b为单位向量，所以a·b＝，所以a在b上的投影向量为·b＝b，故A正确；对于B，设BC中点为D，则＋＝，又＝λ(λ≥0)，所以A，P，D三点共线，且点P为射线AD上的动点，则点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故B正确；对于C，·＝·(－)＝·－·＝||2－||2，因为边AB，AC的长为定值，所以·为定值，故C正确；对于D，＝表示点O在∠BAC的平分线上，同理可得点O在∠ACB的平分线上，即点O是△ABC的内心，故D错误．故选ABC． 8．已知函数f(x)＝|sin ωx|＋|cos ωx|(ω>0)的定义域为A＝[0，α](α>0)，集合B＝{(x1，x2)∣f(x1)·f(x2)＝2，x1<x2}，则(　ACD　) A．若α＝，ω＝1，则B＝∅ B．若ω＝，且α∈[π，＋∞)，则f(x)的图象在A上存在对称轴 C．若α＝π，且f(x)在A上单调，则ω的取值范围是 D．若B中恰有3个不同元素，则ωα∈ 解析：f(x)＝|sin ωx|＋|cos ωx|＝＝的定义域为A＝[0，α]．对于A，当α＝，ω＝1时，f(x)＝，A＝，要使f(x1)·f(x2)＝2，则f(x1)＝f(x2)＝，即x1＝x2＝，与x1<x2矛盾，所以不存在x1<x2使f(x1)·f(x2)＝2，所以B＝∅，故A正确；对于B，当ω＝时，取α＝，则f(x)＝，A＝，若f(x)的图象在A上存在对称轴，则对称轴必为直线x＝，则必有f(0)＝f，又f(0)＝1，f＝≠1，故B错误；对于C，当α＝π时，t＝2ωx∈[0，2ωπ]，y＝的单调递增区间是，k∈Z，则2ωπ≤，0＜ω≤，故C正确；对于D，若B中有3个不同元素，则方程|sin 2ωx|＝1在A上恰有3个不同的实根，2ωx∈[0，2ωα]，所以≤2ωα＜，≤ωα＜，故D正确．故选ACD． 三、填空题 9．化简：＝cos2x． 解析：原式＝＝＝＝＝cos 2x． 10．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列．若7sin A＝3sin C，则△ABC的面积为． 解析：因为a，b，c成公差为2的等差数列，所以c＝a＋4，由7sin A＝3sin C及正弦定理，得7a＝3c，则可得a＝3，b＝5，c＝7，所以cos C＝＝＝－．因为C∈(0，π)，所以C＝，所以△ABC的面积为ab sin C＝×3×5×sin ＝． 11．已知O是△ABC的外心，AB＝6，AC＝10，若＝x＋y且2x＋10y＝5，则△ABC的面积为20或24． 解析：∵O为△ABC的外心，AB＝6，AC＝10，∴·＝2＝18，·＝2＝50．·＝(x＋y)·＝x2＋y·＝36x＋60y cos ∠BAC＝18，即6x＋10y cos ∠BAC＝3①；·＝(x＋y)·＝x·＋y2＝60x cos ∠BAC＋100y＝50，即6x cos ∠BAC＋10y＝5②．由2x＋10y＝5得10y＝5－2x③，把③分别代入①②得解得或 又∠BAC∈(0，π)，当cos ∠BAC＝时，sin ∠BAC＝，S△ABC＝AB·AC sin ∠BAC＝×6×10×＝20；当cos ∠BAC＝时，sin ∠BAC＝，S△ABC＝AB·AC sin ∠BAC＝×6×10×＝24． 四、解答题 12．记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：(1)因为4Sn＝3an＋4①， 所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4②， ①－②，得4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1． 当n＝1时，由4Sn＝3an＋4，得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0， 所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×(－3)n－1． (2)方法一　因为bn＝(－1)n－1nan＝(－1)n－1n×4×(－3)n－1＝4n×3n－1， 所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n×3n－1， 所以3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n×3n， 两式相减得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n－1)－4n×3n＝4＋4×－4n×3n＝－2＋(2－4n)×3n， 所以Tn＝1＋(2n－1)×3n． 方法二　bn＝(－1)n－1nan＝(－1)n－1n×4×(－3)n－1＝4n×3n－1， 令bn＝(kn＋b)×3n－[k(n－1)＋b]×3n－1， 则bn＝3n－1[3kn＋3b－k(n－1)－b]＝(2kn＋2b＋k)×3n－1， 所以解得即bn＝(2n－1)×3n－[2(n－1)－1]×3n－1＝(2n－1)×3n－(2n－3)×3n－1， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1×31－(－1)×30＋3×32－1×31＋5×33－3×32＋…＋(2n－1)×3n－(2n－3)×3n－1＝(2n－1)×3n－(－1)×30＝(2n－1)×3n＋1． 13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos ＝b sin A． (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求△ABC面积的取值范围． 解：(1)由a cos ＝b sin A及正弦定理，得sin Acos ＝sin A sin B，又sin A≠0， 所以cos ＝sin B，则cos ＝2sin cos ． 又cos ≠0，所以sin ＝． 因为0＜＜，所以＝，解得B＝． (2)因为△ABC是锐角三角形，B＝，所以＜A＜，＜C＜， 所以S△ABC＝ac sin B＝c2··sin B＝＝＝＝＋， 因为C∈，所以tan C∈，则∈(0，)， 从而S△ABC∈，故△ABC面积的取值范围是 14．如图所示，在△ABC中，sin C＝3sin B，AD平分∠BAC，且AD＝kAC． (1)若DC＝2，求BC的长度； (2)求k的取值范围； (3)若S△ABC＝，求k为何值时，BC最短． 解：(1)因为sin C＝3sin B， 所以由正弦定理得AB＝3AC， 在△ABD中，由正弦定理得 ＝， 在△ACD中，由正弦定理得 ＝， 因为AD平分∠BAC， 所以∠BAD＝∠CAD． 因为∠ADB＋∠ADC＝π， 所以sin ∠ADB＝sin ∠ADC， 所以＝． 因为AB＝3AC，DC＝2，所以＝3，得BD＝6，所以BC＝8． (2)因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， 设∠BAD＝∠CAD＝θ， 所以AB·AC sin 2θ＝AB·AD sin θ＋AC·AD sin θ． 因为AB＝3AC，AD＝kAC， 所以3AC·AC·2sin θcos θ＝3AC·kAC·sin θ＋AC·kAC sin θ． 因为sin θ≠0，所以6cos θ＝4k，所以k＝cos θ． 因为θ∈，所以cos θ∈(0，1)，所以k∈． (3)由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝2AC2(5－3cos ∠BAC)， 因为S△ABC＝，所以AC·AB·sin ∠BAC＝，又因为AB＝3AC， 所以AC2＝， 所以BC2＝(5－3cos ∠BAC)＝2·． 方法一　令y＝，易得y>0，则y sin ∠BAC＋3cos ∠BAC＝5， 所以sin (∠BAC＋φ)＝5，所以当sin (∠BAC＋φ)＝1时，y取得最小值4， 即当∠BAC＋φ＝时，y取得最小值4，此时tan φ＝， 所以cos ∠BAC＝cos ＝sin φ＝． 因为cos ∠BAC＝2cos2θ－1，所以2cos2θ－1＝，所以cosθ＝， 由(2)知k＝cos θ，所以k＝×＝，即当k＝时，BC最短． 方法二　BC2＝2·＝＝＝＝＝＝8tan θ＋≥8， 当且仅当8tan θ＝，即tan θ＝时取等号，故此时cos θ＝，即k＝． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学滚动练习 9 一、单项选择题 1．计算：＝(　　) A． B．－ C． D．－ 2．已知cos α＋sin ＝，则cos 的值是(　　) A． B． C．－ D．－ 3．在等边三角形ABC中，AB＝1，点M为AB的中点，点N满足＝2，则·＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 4．在平行四边形ABCD中，＝，＝，CE与BF相交于G，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 5．在等比数列{an}中，a1＋an＝82，a3an－2＝81(n≥3)，且数列{an}的前n项和Sn＝121，则此数列的项数n＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 6．南宋数学家杨辉《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为(　　) A．161 B．155 C．141 D．139 二、多项选择题 7．下列说法正确的是(　　) A．已知a，b均为单位向量，若|a－b|＝1，则a在b上的投影向量为b B．P是△ABC所在平面内的一动点，且＝λ(λ≥0)，则点P的轨迹一定通过△ABC的重心 C．已知O为△ABC的外心，边AB，AC的长为定值，则·为定值 D．若△ABC内一点O满足＝，＝，则点O是△ABC的垂心 8．已知函数f(x)＝|sin ωx|＋|cos ωx|(ω>0)的定义域为A＝[0，α](α>0)，集合B＝{(x1，x2)∣f(x1)·f(x2)＝2，x1<x2}，则(　　) A．若α＝，ω＝1，则B＝∅ B．若ω＝，且α∈[π，＋∞)，则f(x)的图象在A上存在对称轴 C．若α＝π，且f(x)在A上单调，则ω的取值范围是 D．若B中恰有3个不同元素，则ωα∈ 三、填空题 9．化简：＝　　　　　． 10．在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列．若7sin A＝3sin C，则△ABC的面积为　　　　　． 11．已知O是△ABC的外心，AB＝6，AC＝10，若＝x＋y且2x＋10y＝5，则△ABC的面积为　　　　　． 四、解答题 12．记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn． 13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos ＝b sin A． (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝2，求△ABC面积的取值范围． 14．如图所示，在△ABC中，sin C＝3sin B，AD平分∠BAC，且AD＝kAC． (1)若DC＝2，求BC的长度； (2)求k的取值范围； (3)若S△ABC＝，求k为何值时，BC最短． 1 学科网（北京）股份有限公司 $