江苏苏州市某校2026-2027学年高三上学期滚动练习3数学试题

**基本信息** 高三数学周测试卷，聚焦函数周期性、单调性等核心性质，通过单选、多选、填空及解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高三滚动复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|4/20|函数周期性（如f(x)·f(x+6)=2求f(2026)）、单调性|以抽象函数为载体，考查数学眼光中的抽象能力| |多项选择|3/18|函数解析式（如f(√x+1)=x+2）、值域|选项分层设计，体现数学思维的推理意识| |填空题|6/30|分段函数单调性、函数性质综合（如f(x+1)+f(x-1)=3求f(2024)等）|情境简洁，突出数学运算能力| |解答题|3/32|不等式最值、函数周期性与解析式（如f(x+2)=-f(x)求解析式）、函数单调性与对称|三问递进设计，贴合高考真题趋势，考查数学语言表达与综合应用|

高三数学滚动练习3 一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．已知函数f(x)满足:∀x∈R,f(x)·f(x＋6)＝2,且f(4)＝1,则f(2 026)＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2．函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A. B. C.[1,＋∞) D.∪[1,＋∞) 3．已知函数f(x)＝在(m,m＋1)上单调递增,则实数m的取值范围为(　　) A.(－∞,－2]∪[1,＋∞) B.[－2,1] C.(－∞,－1]∪[2,＋∞) D.[－1,2] 4．定义在R上的奇函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,f＝0,则≤0的解集为(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部作对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分.） 5．已知函数f(＋1)＝x＋2,则(　　) A.f(x)＝x2－1(x∈R) B.f(x)的最小值为－1 C.f(2x－3)的定义域为[2,＋∞) D.f的值域为[0,＋∞) 6．以下结论正确的是(　　) A.函数y＝sin x＋的最小值为4 B.函数y＝(x≥1)的值域为 C.函数y＝2x＋的值域为 D.函数y＝的值域为(0,1) 7．已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,f(x＋1)是偶函数,则(　　) A.f(0)＝1 B.f(x)是周期函数 C.f(x＋3)为偶函数 D.f(x＋5)为奇函数 三、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 8．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1),则函数g(x)的单调递增区间是　　　　.  9．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a),则实数a的取值范围是　　　　.  10．f(x)定义域为R，f(x＋1)＋f(x－1)＝3,f(1)＝－1,则f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝　　　.  11．若函数f(x)＝log4(24x＋1)＋(x＋a)2满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x,则a＝　　　　.  12． 函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0,3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. 13．函数f(x),g(x)定义域均为R,其中f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)＋g(x)＝ax2－x－2,若对任意1<x1<x2<6,都有>－2,则实数a的取值范围是　　　　.  四、解答题（本题共3小题，共32分.） 14．（10分）已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y≤2，求＋的最小值． 15．（10分）设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0,2]时,f(x)＝2x－x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026). 16．（12分）设函数f(x)＝ln＋ax－b(a>0,b∈R). (1)判断函数f(x)的单调性(无需证明); (2)证明:曲线y＝f(x)是中心对称图形; (3)若3a＝b,解关于实数t的不等式f(t2－2t＋3)＋f(3＋t)>0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学滚动练习3 一、单项选择题 1．已知函数f(x)满足:∀x∈R,f(x)·f(x＋6)＝2,且f(4)＝1,则f(2 026)＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　根据题意,f(x)·f(x＋6)＝2, 显然f(x)≠0,所以f(x＋6)＝, 所以f(x＋12)＝＝f(x), 所以函数f(x)的一个周期为12, 所以f(2 026)＝f(12×168＋10)＝f(10)＝＝2. 2．函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A. B. C.[1,＋∞) D.∪[1,＋∞) 答案　B 解析　g(x)＝x|x－1|＋1＝ 画出函数图象,如图可知,函数的单调递减区间为. 3．已知函数f(x)＝在(m,m＋1)上单调递增,则实数m的取值范围为(　　) A.(－∞,－2]∪[1,＋∞) B.[－2,1] C.(－∞,－1]∪[2,＋∞) D.[－1,2] 答案　A 解析　画出分段函数f(x)＝的图象, 如图所示,所以要使函数f(x)在(m,m＋1)上单调递增, 则m≥1或m＋1≤－1,解得m≥1或m≤－2, 所以实数m的取值范围为 (－∞,－2]∪[1,＋∞).故选A. 4．定义在R上的奇函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,且f＝0,则不等式≤0的解集为(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 答案　D 解析　由函数f(x)为奇函数,且在(0,＋∞)上单调递增, 则函数f(x)在(－∞,0)上单调递增, 且f＝－f＝0,f(0)＝0, 则函数f(x)的大致图象如图所示,由图可得, 当x∈∪时,f(x)<0; 当x∈∪时,f(x)>0, 由当x∈(－∞,2)时,x－2<0; 当x∈(2,＋∞)时,x－2>0, 则不等式≤0的解集为∪. 二、多项选择题 5．已知函数f(＋1)＝x＋2,则(　　) A.f(x)＝x2－1(x∈R) B.f(x)的最小值为－1 C.f(2x－3)的定义域为[2,＋∞) D.f的值域为[0,＋∞) 答案　CD 解析　依题意,f(＋1)＝()2＋2＝(＋1)2－1, 则f(x)＝x2－1,x≥1,A错误; 当x≥1时,f(x)≥0,当且仅当x＝1时取等号,B错误; 由2x－3≥1,得x≥2, 因此f(2x－3)的定义域为[2,＋∞),C正确; 易知f－1,则∈[1,＋∞), 因此f的值域为[0,＋∞),D正确. 6．以下结论正确的是(　　) A.函数y＝sin x＋的最小值为4 B.函数y＝(x≥1)的值域为 C.函数y＝2x＋的值域为 D.函数y＝的值域为(0,1) 答案　BCD 解析　对于A,当sin x＝－1时,y＝－5,A错误; 对于B, y＝·, 则y＝在[1,＋∞)上单调递增, －≤y<,B正确; 对于C,y＝2(x－1)＋＋2 ＝－2()2＋＋2 ＝－2, 而≥0,当时,ymax＝, 则原函数的值域为,C正确; 对于D,2x＋1>1,则0<<1,因此函数y＝的值域为(0,1),D正确. 7．已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,f(x＋1)是偶函数,则(　　) A.f(0)＝1 B.f(x)是周期函数 C.f(x＋3)为偶函数 D.f(x＋5)为奇函数 答案　BC 解析　法一　对于A,B,因为f(x＋1)是偶函数,所以f(x＋1)＝f(－x＋1),即f(－x)＝f(2＋x),又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),f(0)＝0, 于是f(2＋x)＝－f(x), 即f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数,故A错误,B正确; 对于C,设g(x)＝f(x＋3),则g(x)的定义域为R, 因为f(－x)＝f(2＋x), 所以f(－x＋3)＝f(－1＋x), 则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3),即g(x)＝g(－x),所以f(x＋3)为偶函数,故C正确; 对于D,设h(x)＝f(x＋5), 则h(x)的定义域为R, 因为f(－x)＝f(2＋x), 所以f(－x＋5)＝f(x－3), 则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5), 即h(x)＝h(－x),所以f(x＋5)为偶函数,故D错误.故选BC. 法二　对于A,f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(0)＝0,故A错误; 对于B,因为f(x＋1)为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x＝1对称, 又f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)是以4为周期的周期函数,故B正确; 对于C,由B知,f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1), 由f(x＋1)为偶函数得,f(－x＋1)＝f(x＋1),又f(x)是奇函数,所以f(－x－1)＝－f(x＋1)＝－f(－x＋1)＝f(x－1), 所以f(x－1)＝f(x＋3)为偶函数,故C正确; 对于D,f(x＋5)＝f(x＋5－4)＝f(x＋1)为偶函数,故D错误.故选BC. 三、填空题 8．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1),则函数g(x)的单调递增区间是　　　　.  答案　(－∞,0),(1,＋∞) 解析　由题意知g(x)＝ 该函数图象如图所示, 由图象知,函数g(x)的单调递增区间(－∞,0),(1,＋∞). 9．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a),则实数a的取值范围是　　　　.  答案　(－∞,－1)∪(0,1) 解析　当a>0时,由f(a)>f(－a), 可得ln>ln a, 即ln a<0,得0<a<1; 当a<0时,由f(a)>f(－a), 可得ln(－a)>ln,得a<－1. 综上,实数a的取值范围为(－∞,－1)∪(0,1). 10．已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝3,且f(1)＝－1,则f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝　　　　.  答案　2 解析　由f(x＋1)＋f(x－1)＝3, 令x＋1代替x,可得f(x＋2)＝3－f(x), 则f(x＋4)＝3－f(x＋2)＝f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数, 可得f(2 025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－1, 由f(x＋1)＋f(x－1)＝3,令x＝2 025, 则f(2 026)＋f(2 024)＝3, 所以f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝2. 11．若函数f(x)＝log4(24x＋1)＋(x＋a)2满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x,则a＝　　　　.  答案　－1 解析　函数f(x)满足f(|x|)＋|x|＝f(x)＋x,则y＝f(x)＋x是偶函数, 所以f(x)－f(－x)＋2x＝0,即log4＋(4a＋2)x＝2x＋(4a＋2)x＝0, 所以a＝－1. 12．已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0,3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围是　　　　. 答案　[1,4] 解析　∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5， ①当x＝0时，a∈R； ②当x≠0时，|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5⇔x－≤a≤x＋， ∴min＝2＋＝4，max＝3－2＝1， ∴1≤a≤4. 13．已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其中f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)＋g(x)＝ax2－x－2,若对任意1<x1<x2<6,都有>－2, 则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵f(x)＋g(x)＝ax2－x－2, ∴f(－x)＋g(－x)＝ax2＋x－2, ∵f(x),g(x)分别是定义域为R的奇函数,偶函数, ∴－f(x)＋g(x)＝ax2＋x－2, 则g(x)＝ax2－2, 由题意可得g(x2)＋2x2>g(x1)＋2x1, 令h(x)＝g(x)＋2x＝ax2＋2x－2, 则h(x)在(1,6)上单调递增. 若a>0,则h(x)图象的对称轴为直线x＝－<0,开口向上,符合题意; 若a<0,则h(x)图象的对称轴为直线x＝－>0,开口向下,需满足－≥6,即－≤a<0; 若a＝0,则h(x)＝2x－2在(1,6)上单调递增,符合题意. 综上,a≥－. 四、解答题 14．已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y≤2，求＋的最小值． 解析　令x＋3y＝m，x－y＝n， 则m>0，n>0，m＋n＝2x＋2y≤4，∴≤1， ∴＋＝＋≥· ＝≥， 当且仅当＝，即x＝2－1，y＝3－2时取等号． 15．设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0,2]时,f(x)＝2x－x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026). (1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x), ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)解　当x∈[－2,0]时,－x∈[0,2], 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数, ∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. ∴f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2,4]时,x－4∈[－2,0], ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4). 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4) ＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2,4]时,f(x)＝x2－6x＋8. (3)解　f(0)＝0,f(1)＝1,f(2)＝0,f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数, ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0, ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026) ＝0＋f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026) ＝0＋f(0)＋f(1)＋f(2)＝1. 16．设函数f(x)＝ln＋ax－b(a>0,b∈R). (1)判断函数f(x)的单调性(无需证明); (2)证明:曲线y＝f(x)是中心对称图形; (3)若3a＝b,解关于实数t的不等式f(t2－2t＋3)＋f(3＋t)>0. (1)解　f(x)的定义域为(0,6), f(x)＝ln x－ln(6－x)＋ax－b, 当a>0时,y＝ln x,y＝－ln(6－x),y＝ax－b都是增函数, 所以函数f(x)在(0,6)上单调递增. (2)证明　f(x)的定义域为(0,6), 由于f(x)＋f(6－x)＝ln＋ax－b＋ln＋a(6－x)－b＝6a－2b, (或f(3＋x)＋f(3－x)＝ln＋a(3＋x)－b＋ln＋a(3－x)－b＝6a－2b) 所以f(x)关于点(3,3a－b)中心对称. (3)解　当3a＝b时,由(2)知f(x)关于点(3,0)中心对称, 关于t的不等式f(t2－2t＋3)＋f(3＋t)>0等价于t2－2t＋3＋3＋t>6, 又0<t2－2t＋3<6,0<3＋t<6, 由 所以不等式解集为(－1,0)∪(1,3) 1 学科网（北京）股份有限公司 $