江苏苏州市某校2026-2027学年高三上学期滚动练习4数学试题

**基本信息** 高三数学周测试卷，涵盖函数、几何、统计等核心知识，融入分形几何、濒危植物保护等情境，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数定点、向量运算、统计相关系数、分形面积|第5题谢尔宾斯基三角形体现数学文化，第7题猪血木增长考查指数模型应用| |多选题|3/18|圆台性质、函数最值、椭圆双曲线综合|第11题跨圆锥曲线综合，考查逻辑推理能力| |填空题|3/15|集合运算、轨迹方程、圆锥与球体积表面积|第14题轴截面正三角形圆锥与球的几何量比值，强化空间观念| |解答题|5/77|导数切线与单调性、概率分布列、立体几何二面角、椭圆综合|第16题小球取放概率结合生活情境，第19题椭圆直线过定点及面积最值，突出综合应用与创新意识|

高三数学滚动练习4 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，则（    ） A．2 B．0 C． D． 3．某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻炼情况进行统计分析，统计每次骑行期间的身体综合指标评分与骑行用时（单位：小时）如下表： 身体综合指标评分 1 2 3 4 5 用时小时） a b c d e 由上表数据得到的正确结论是（    ） 参考数据： 参考公式：相关系数. A．身体综合指标评分与骑行用时正相关 B．身体综合指标评分与骑行用时的相关程度较弱 C．身体综合指标评分与骑行用时的相关程度较强 D．身体综合指标评分与骑行用时的关系不适合用线性回归模型拟合 4．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（    ）    A． B． C． D． 6．在长方体中，已知点P为线段的中点，且，，，则直线与AP所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（    ）（参考数据：） A．8 B．9 C．7 D．6 8．已知的内角所对的边分别为，且，某同学根据上述条件推断了以下四个结论：①角一定是锐角；②；③；④的最小值为，则这四个结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部作对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分.） 9．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面圆的半径分别为，，母线长为2，为母线的中点，则下列结论正确的是（    ） A．圆台母线与底面所成角为 B．圆台的侧面积为 C．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 D．圆台的体积为 10．下列各函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为　　　　.  13．已知动点P与两个定点O(0,0),A(0,3)满足|PA|=2|PO|,则点P到直线l:mx-y+4-3m=0的距离的最大值为　　　　　　.  14．已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是　　　　,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是　　　　.  四、解答题（本题共5小题，共77分.）解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 15．（13分）已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直. (1) 求a; (2) 求f(x)的单调区间和极值. 16．（15分）盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个,一次随机取出3个小球. (1) 求取出的3个小球上的数字两两不同的概率; (2) 记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X). 17．（15分）设Sn为数列{an}的前n项和,已知是首项为、公差为的等差数列. (1) 求{an}的通项公式; (2) 令bn=,Tn为数列{bn}的前n项积,求证:Ti≤. 18．（17分）如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°. (1) 求证:C1O⊥平面ABCD; (2) 求二面角B-AA1-D的正弦值. 19．（17分）已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点P在椭圆C上,且PF垂直于x轴. (1) 求椭圆C的方程; (2) 若直线l的斜率存在,交椭圆C于A,B两点,A,B,F三点不共线,且直线AF和直线BF关于PF对称. ①求证:直线l过定点; ②求△ABF面积的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学滚动练习4 1．B 【分析】利用幂函数的性质，令，可得定点的横坐标，然后利用幂函数的性质求定点的纵坐标． 【详解】令，即时， ， 图象恒过定点． 故选：B. 2．C 【分析】利用平面向量加法与数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，故C正确. 故选：C 3．C 【分析】求出相关系数，根据相关系数的大小确定答案即可. 【详解】因为相关系数. 即相关系数近似为与负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系. 所以选项ABD错误，C正确. 故选：C. 4．D 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可解答． 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 故命题“，”的否定为，. 故选：D. 5．D 【分析】根据挖去三角形的边长和个数求得正确答案. 【详解】第一种挖掉的三角形边长为，共个，面积为； 第二种挖掉的三角形边长为，共个，面积为， 第三种挖掉的三角形边长为，共个， 面积为， 故被挖去的三角形面积之和是. 故选：D 6．B 【分析】根据题意分析可知直线与AP所成的角即为（或其补角），进而在中，运算求解即可. 【详解】因为∥，则直线与AP所成的角即为直线与AP所成的角， 如图，连接，可知直线与AP所成的角即为（或其补角）， 则， 因为平面，平面，则， 在，可知，且为锐角，则， 所以直线与AP所成的角为. 故选：B.    7．A 【分析】根据题意列出不等式，然后通过对数运算求解不等式得到取值. 【详解】已知最初引种猪血木1000株，每年以的比例增加， 那么经过年后，猪血木的数列为， 该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年， 所以可列出不等式， 即，两边同时取对数，则， 因为， 所以，即， 又，所以. 故选：A. 8．B 【分析】结合降次公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意， ，， 为钝角，①错误. ， ，②正确. ，由正弦定理得， ，， 由于，为钝角，为锐角，所以两边除以得，.③正确. ， ， 整理得， 由于为钝角，，所以， 当且仅当时等号成立. 所以，④错误. 故选：B. 9．AC 【分析】对于A，利用线面所成角的定义推得即母线与底面所成的角，根据三角函数的定义即可求得；对于B，利用圆台的侧面积公式计算即得；对于C，作出圆台的侧面展开图，根据平面上两点之间的距离即到的最短距离计算即可；对于D，结合图形求出圆台的高的长，利用圆台的体积公式计算即得. 【详解】 对于A，如图1，是圆台的两底面圆心，则与两底面垂直， 过作交下底面于，则与底面垂直，故即母线与底面所成的角． 在等腰梯形中，，所以．则．故A正确． 对于B，由题意知，圆台的侧面积，故B错误． 对于D， 如图1，圆台的高， 则圆台的体积，故D错误． 对于C，如图2所示，将该圆台的侧面展开，连接，记的中点为，连接，则， 易知从到的最短路径为线段．因为为的中点，所以， 所以．故C正确． 故选：AC． 10．BD 【分析】由基本不等式及二次函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】对于A: ，等号成立当且仅当，故A错误； 对于B: 当时，等号成立，故B正确； 对于C：当时， ，当时，等号成立， 当时，，当时，等号成立，故C错误； 对于D: ， 当时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 11．AC 【分析】A：根据椭圆和双曲线定义用表示出，结合余弦定理可得等式并判断即可； B：根据化简A的结果，然后作出判断； C：根据D的结果结合基本不等式求解出最小值并判断； D：根据A的结果，将等式左右两边同除可得结果并判断即可. 【详解】不妨设在第一象限，如下图： 对于A：因为，所以， 又因为， 所以， 化简可得，故A正确； 对于B：因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以不一定成立，故B错误； 对于D：因为，所以，所以，故D错误； 对于C：由D可知，所以， 所以，当且仅当即时取等号，故C正确； 故选：AC. 三、填空题 12．已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为　　　　.  【答案】 5　绝对值不等式+集合的交集运算 【解析】 方法一:由A∩B=A,知A⊆B.由|x-3|≤m,得-m+3≤x≤m+3,故有解得即m≥5,故m的最小值为5. 方法二:(优解)因为A∩B=A,所以A⊆B,即解得m≥5,即m的最小值为5. 13．已知动点P与两个定点O(0,0),A(0,3)满足|PA|=2|PO|,则点P到直线l:mx-y+4-3m=0的距离的最大值为　　　　　　.  【答案】 2+ 　两点间的距离公式+点到直线的距离公式 【解析】 设P(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2=4,所以点P的轨迹是圆心为(0,-1)、半径为2的圆.直线l:mx-y+4-3m=0可化为m(x-3)-(y-4)=0,易知过定点(3,4),由32+(4+1)2>4,知点(3,4)在圆x2+(y+1)2=4外,当圆心与定点所在直线与直线l垂直时,圆心与直线l的距离最大,所以点P到直线l距离的最大值为+2=2+. 14．已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是　　　　,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是　　　　.  【答案】 　1　圆锥的表面积与体积+球的表面积与体积 【解析】 设圆锥MM'的底面半径为r,球O的半径为R.因为圆锥MM'的轴截面为正三角形,所以圆锥MM'的高h=r,母线l=2r,圆锥MM'的体积V1=πr2h=πr3.由题可知h=2R,所以球O的半径R=r,球O的体积V2=πR3=π×=πr3,所以==.圆锥MM'的表面积S1=πrl+πr2=3πr2,球O的表面积S2=4πR2=4π×=3πr2,所以==1. 四、解答题 15．已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直. (1) 求a; (2) 求f(x)的单调区间和极值. 导数的几何意义+利用导数研究函数的单调性、极值 【解答】 (1) f'(x)=+2x+a,则f'(2)=+2×2+a=+a,由题意得×=-1,解得a=-3.(6分) (2) 由(1)知a=-3,故f(x)=ln x+x2-3x+2,则f'(x)=+2x-3==,x>0.当0<x<时,f'(x)>0,当<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为,(1,+∞),单调递减区间为,极大值为f=ln+-3×+2=-ln 2,极小值为f(1)=ln 1+12-3×1+2=0. (13分) 16．盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个,一次随机取出3个小球. (1) 求取出的3个小球上的数字两两不同的概率; (2) 记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X). 【解答】 (1) 记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M,先确定3个不同数字的小球,有种方法,然后每种小球各取1个,有××种取法,所以P(M)==. (5分) (2) 由题意可知,X的所有可能取值为1,2,3,当X=1时,分为两种情况:只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球,所以P(X=1)==; (7分) 当X=2时,分为两种情况:只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球,所以P(X=2)==; (9分) 当X=3时,分为两种情况:只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球,所以P(X=3)==, (11分) 所以X的分布列为 X 1 2 3 P (13分) 所以E(X)=1×+2×+3×=. (15分) 17．设Sn为数列{an}的前n项和,已知是首项为、公差为的等差数列. (1) 求{an}的通项公式; (2) 令bn=,Tn为数列{bn}的前n项积,求证:Ti≤. 【解答】 (1) 由是首项为、公差为的等差数列,得=+(n-1)=+,即Sn=n(n+1)=, (3分) 当n≥2时,Sn-1=,故Sn-Sn-1=an=-==n2, (6分) 当n=1时,a1=S1==1,符合上式,故an=n2. (7分) (2) 由an=n2,Sn=,得bn===, (9分) 则Tn=b1b2·…·bn=··…·==,因为(2n+1)(n+1)≥3×2=6,故Tn≤=6n-1,则Ti≤6i-1==. (15分) 18．如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°. (1) 求证:C1O⊥平面ABCD; (2) 求二面角B-AA1-D的正弦值. 【解答】 (1) 如图(1),连接BC1,DC1,因为底面ABCD是边长为2的正方形,所以BC=DC.又因为∠C1CB=∠C1CD,CC1=CC1,所以△C1CB≌△C1CD,所以BC1=DC1.又O为线段BD的中点,所以C1O⊥BD.在△C1CO中,CC1=2,CO=AC=,∠C1CO=45°,所以cos∠C1CO==,解得C1O=,则C1C2=OC2+C1O2,所以C1O⊥OC.又OC∩BD=O,OC⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD. (5分) 　　　　 图(1) 图(2) (2) 在正方形ABCD中,AC⊥BD,又C1O⊥平面ABCD,所以OA,OB,OC1两面垂直,以O为坐标原点,OA,OB,OC1分别为x轴、y轴、z轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则B(0,,0),D(0,-,0),A(,0,0),C(-,0,0),C1(0,0,),所以==(,0,),=(-,,0),=(-,-,0). (9分) 设平面BAA1的法向量为m=(x1,y1,z1),则⇒令x1=1,得m=(1,1,-1).设平面DAA1的法向量为n=(x2,y2,z2),则⇒令x2=1,得n=(1,-1,-1). (12分) 设二面角B-AA1-D的大小为θ,则|cos θ|===,故sin θ==,所以二面角B-AA1-D的正弦值为. (15分) 19．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点P在椭圆C上,且PF垂直于x轴. (1) 求椭圆C的方程; (2) 若直线l的斜率存在,交椭圆C于A,B两点,A,B,F三点不共线,且直线AF和直线BF关于PF对称. ①求证:直线l过定点; ②求△ABF面积的最大值. 【解答】 (1) 由点P在椭圆C上,且PF垂直于x轴,知F(1,0).设椭圆C的焦距为2c(c>0),则c=1.将点P代入椭圆方程,有+=+=1,解得a=2,则b2=a2-c2=4-1=3,所以椭圆C的方程为+=1. (5分) (2) ①设直线l的方程为y=kx+m.由消去y,整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 因为l交椭圆C于A,B两点,所以Δ=48(4k2-m2+3)>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=. (7分) 因为直线AF和直线BF关于PF对称,所以kAF+kBF=+=+==0,所以2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=2k×+(m-k)×-2m=0,所以8km2-24k-8km2+8k2m-8mk2-6m=0,解得m=-4k,所以直线l的方程为y=kx-4k=k(x-4),所以直线l过定点(4,0). (11分) ②设直线l的方程为x=ny+4.由消去x,整理得(3n2+4)y2+24ny+36=0,因为l交椭圆C于A,B两点,所以Δ=(24n)2-144(3n2+4)=144(n2-4)>0,解得n2>4,y1+y2=-,y1y2=,所以|y1-y2|===.设点F到直线l的距离为d,则S△ABF=·d·|AB|=×××|y1-y2|=×=18×. (15分) 令n2-4=t(t>0),则S△ABF=18×=18×≤,当且仅当t=,即n2=时取等号,所以△ABF面积的最大值为. (17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 $