江苏苏州市某校2026-2027学年高三上学期数学第二次补差练习试题

周末练习02 姓名：________班级___________ 一、单项选择题 1.函数f(x)=的定义域是(　　) A. B. C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　D 解析　因为f(x)==，则sin≥0， 可得2kπ≤x-≤2kπ+π(k∈Z)， 解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z)， 故函数f(x)=的定义域为(k∈Z). 2.使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为偶函数，则θ的一个值可以是(　　) A. B. C.- D. 答案　A 解析　由f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin， 因为f(x)为偶函数，可得θ+=kπ+，k∈Z，所以θ=kπ+，k∈Z， 令k=0，得θ=. 3.已知函数f(x)=2cos，x∈，则f(x)的单调递增区间是(　　) A. B. C.， D.， 答案　D 解析　f(x)=2cos=2cos，由2kπ-π≤3x-≤2kπ，k∈Z， 解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z， ∴f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z. 令k=0，得x∈， 令k=1，得x∈. 又∵x∈， ∴f(x)的单调递增区间是，. 4.已知函数f(x)=sin+cos，则下列结论正确的是(　　) A.当x∈时，f(x)的取值范围是 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在[0，π]上有2个零点 D.把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为奇函数 答案　C 解析　函数f(x)=sin+cos =sin+cos =sin+sin=2sin. 当x∈时，2x+∈， 所以sin∈， 所以f(x)的取值范围是(-，2]，故A错误； 当x∈时，≤2x+≤， 此时f(x)=2sin不单调，故B错误； 当x∈[0，π]时，≤2x+≤， 可知当2x+=π以及2x+=2π，即x=以及x=时，f(x)=0，f(x)在[0，π]上有2个零点，故C正确； 把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)=2sin=2cos 2x的图象，该函数为偶函数，故D错误. 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=1-，a=3，b=2，则sin B的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由=1-及正弦定理， 得=1-，可得b2+c2-a2=bc， 由余弦定理得cos A==， 又0<A<π，所以A=. 又a=3，b=2， 由=，得sin B==. 6.若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sin A=2sin Bcos C，那么△ABC是(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.腰与底不相等的等腰三角形 D.等腰直角三角形 答案　B 解析　由(a+b+c)(b+c-a)=3bc， 得(b+c)2-a2=3bc， 化简得b2+c2-a2=bc， 所以由余弦定理得cos A===， 因为A∈(0，π)，所以A=， 因为sin A=2sin Bcos C， 所以a=2b·，化简得b2=c2， 所以b=c，故△ABC为等边三角形. 二、多项选择题(共6分) 7.已知A，B是函数f(x)=tan的图象与直线y=3的两个交点，则下列结论正确的是(　　) A.|AB|min= B.f(x)的定义域为 C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)图象的对称中心为点，k∈Z 答案　AD 解析　因为A，B是函数f(x)=tan的图象与直线y=3的交点，所以|AB|的最小值为函数f(x)的最小正周期T=，所以|AB|min=，故A正确； 令3x+≠+kπ，k∈Z，解得x≠+，k∈Z，所以f(x)的定义域为，故B错误； 当x∈时，所以3x+∈，因为函数y=tan x在上不单调，所以函数f(x)在上不单调，故C错误； 令3x+=，k∈Z，解得x=-+，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为点，k∈Z，故D正确. 8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A=(3b-c)sin B，且cos A=，则下列结论正确的是(　　) A.a+c=3b B.tan A=2 C.△ABC的周长为4c D.△ABC的面积为a2 答案　ABD 解析　因为bsin A=(3b-c)sin B， 则由正弦定理得ba=(3b-c)b，整理得a=3b-c，即a+c=3b，A正确； 由cos A=，A∈(0，π)，可得sin A==，则tan A==2，B正确； 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，又a=3b-c，可得(3b-c)2=b2+c2-2bc·，整理得3b=2c，故△ABC的周长为a+b+c=4b=c，C错误； 由C项分析知，a=3b-c，3b=2c，可得a=c，b=a，则△ABC的面积为bcsin A=·a·a·=a2，D正确. 9.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A-sin B)=csin C-bsin B，则下列说法正确的是(　　) A.C= B.若△ABC的面积为，则c的最小值为2 C.若c=2，则△ABC的周长的最大值为6 D.若b=3，c=2，则满足条件的△ABC有且仅有一个 答案　BC 解析　∵a(sin A-sin B)=csin C-bsin B， ∴由正弦定理可得a(a-b)=c2-b2， 即a2+b2-c2=ab， 对于A选项，由余弦定理的推论，可得 cos C==， ∵0<C<π，∴C=，故A错误； 对于B选项，由题可知absin C=ab=， ∴ab=4， 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab=4， ∴c≥2，当且仅当a=b=2时等号成立， 故c的最小值为2，故B正确； 对于C选项，c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4， ∵ab≤，-3ab≥-，则4=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-=， ∴(a+b)2≤16， ∴a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立， ∵c=2，∴a+b>2，∴4<a+b+c≤6， 则△ABC的周长的最大值为6，故C正确； 对于D选项，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C， 即8=a2+9-3a，即a2-3a+1=0， 解得a=， 则满足条件的△ABC有2个，故D错误. 三、填空题(共5分) 10.(2023·全国乙卷改编)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f =　　　　　　. 答案　 解析　因为直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴， 所以=-=，不妨取ω>0，则T=π，ω==2， 由题意知，当x=时，f(x)取得最小值，则2×+φ=2kπ-，k∈Z， 则φ=2kπ-，k∈Z，不妨取k=0， 则f(x)=sin， 则f =sin=. 11.已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x-，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是　　　　　. 答案　 解析　依题意，函数f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin， 当x∈时，2x+∈， 显然sin=sin=-，sin =1， 且正弦函数y=sin x在上单调递减， 由f(x)在区间上的值域为， 得≤2m+≤，解得≤m≤， 所以实数m的取值范围是. 12.在△ABC中，AB=5，AC=7，D为BC的中点，AD=5，则BC=　　　　　　　. 答案　4 解析　方法一　设BC=2x，则BD=CD=x. 在△ACD中，由余弦定理的推论可得，cos∠ADC= =. 在△ABD中，由余弦定理的推论可得， cos∠ADB==. 又∠ADC+∠ADB=π， 所以cos∠ADC=-cos∠ADB， 所以有=-， 整理可得x2=12，解得x=2，所以BC=4. 方法二　=+)， 则=++2·)， 即25=(25+49+2×5×7×cos∠BAC)， 解得cos∠BAC=， 由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC =25+49-2×5×7×=48， 所以BC=4. 13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(a≠b).已知c=2acos A，则sin B+sin A的最大值是　　　　　. 答案　 解析　因为c=2acos A， 则由正弦定理可得sin C=2sin Acos A=sin 2A，A，C∈(0，π)， 所以C=2A或C+2A=π，而A+B+C=π， 且a≠b，即A≠B， 所以C=2A，且0<A+C=3A<π， 即0<A<， 所以sin B+sin A=sin 3A+sin A=sin Acos 2A+cos Asin 2A+sin A =sin A(1-2sin2A)+2cos2Asin A+sin A=sin A-2sin3A+2(1-sin2A)sin A+sin A=-4sin3A+4sin A， 令t=sin A，f(t)=-4t3+4t，t∈， 所以f'(t)=-12t2+4=-12=-12， 当t∈时，f'(t)>0，则f(t)在上单调递增； 当t∈时，f'(t)<0，则f(t)在上单调递减， 所以f(t)max=f =-4×+4×=， 即sin B+sin A的最大值为. 四、解答题(共14分) 14.(14分)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsin C=csin . (1)求角B的大小；(6分) (2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，a=2，b=，求线段BD的长.(8分) 解　(1)已知bsin C=csin ， 由正弦定理，得sin Bsin C=sin Csin ， 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0， 故sin B=sin ，即2sin cos =sin ， 因为∈，所以sin ≠0，则cos =， 所以=，则B=. (2)依题意，得a·BD·sin +c·BD·sin =acsin ，即a·BD+c·BD=ac， 即2BD+c·BD=2c，所以BD=. 在△ABC中，由余弦定理， 得b2=a2+c2-2accos =a2+c2+ac， 即7=4+c2+2c，解得c=1或c=-3(舍去)， 所以BD==. 15.(14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，a=3. (1)若BC边上的高h等于1，求cos A；(7分) (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.(7分) 解　(1)由正弦定理，==， 所以sin B=cos B，则tan B=1， 又0<B<π，所以B=， 因为S△ABC=ah=acsin B， 所以×3×1=×3×c×，解得c=， 又由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos B=32+-2×3××=5， 解得b=， 所以cos A== =-. (2)由正弦定理有==， 且由(1)可知B=， 所以c===， 又因为△ABC为锐角三角形， 所以解得<A<， 所以0<<1，所以<c<3， 所以S△ABC=acsin B=×3×c×=c∈， 所以△ABC面积的取值范围是. 16.(14分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b)，且sin C=sin 2B. (1)求角B的大小；(7分) (2)若△ABC的面积为2，求AC边上的中线长.(7分) 解　(1)∵sin C=sin 2B，∴sin C=2sin B·cos B， 由正弦定理得c=2bcos B， 由b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b)，得b2(1-4cos2B)=-a2-ab， 又由c=2bcos B，得c2=4b2cos2B，b2=-a2-ab，a2+b2-c2=-ab， 由余弦定理的推论得cos C==-， 又∵C∈，∴C=， 由sin C=sin 2B，即sin=sin 2B，B∈，得2B∈， ∴2B=，B=. (2)由(1)得B=，A=，C=，则a=b，S△ABC=absin C=a2=2，解得a=b=2， ∴c===2， 设AC的中点为D，则AD=AC=， 由中线长定理，得BA2+BC2=2(BD2+AD2)， 即24+8=2(BD2+2)，解得BD=， ∴AC边上的中线长为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 周末练习02 姓名：________班级___________ 一、单项选择题 1.函数f(x)=的定义域是(　　) A. B. C.(k∈Z) D.(k∈Z) 2.使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为偶函数，则θ的一个值可以是(　　) A. B. C.- D. 3.已知函数f(x)=2cos，x∈，则f(x)的单调递增区间是(　　) A. B. C.， D.， 4.已知函数f(x)=sin+cos，则下列结论正确的是(　　) A.当x∈时，f(x)的取值范围是 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在[0，π]上有2个零点 D.把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为奇函数 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=1-，a=3，b=2，则sin B的值为(　　) A. B. C. D. 6.若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sin A=2sin Bcos C，那么△ABC是(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.腰与底不相等的等腰三角形 D.等腰直角三角形 二、多项选择题 7.已知A，B是函数f(x)=tan的图象与直线y=3的两个交点，则下列结论正确的是(　　) A.|AB|min= B.f(x)的定义域为 C.f(x)在区间上单调递增 D.f(x)图象的对称中心为点，k∈Z 8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A=(3b-c)sin B，且cos A=，则下列结论正确的是(　　) A.a+c=3b B.tan A=2 C.△ABC的周长为4c D.△ABC的面积为a2 9.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A-sin B)=csin C-bsin B，则下列说法正确的是(　　) A.C= B.若△ABC的面积为，则c的最小值为2 C.若c=2，则△ABC的周长的最大值为6 D.若b=3，c=2，则满足条件的△ABC有且仅有一个 三、填空题 10.(2023·全国乙卷改编)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f =　　　　　　. 11.已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x-，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是　　　　　. 12.在△ABC中，AB=5，AC=7，D为BC的中点，AD=5，则BC=　　　　　　　. 13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(a≠b).已知c=2acos A，则sin B+sin A的最大值是　　　　　. 四、解答题 14.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsin C=csin . (1)求角B的大小； (2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，a=2，b=，求线段BD的长. 15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，a=3. (1)若BC边上的高h等于1，求cos A； (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围. 16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B-3cos2B)=-a(a+b)，且sin C=sin 2B. (1)求角B的大小； (2)若△ABC的面积为2，求AC边上的中线长. 学科网（北京）股份有限公司 $