江苏苏州市某校2026-2027学年高三上学期滚动练习5数学试题

**基本信息** 高三数学周测试卷，覆盖函数、数列、立体几何等核心知识，解答题注重综合应用与逻辑推理，如导数证明题（19题）多问递进，培养数学思维与创新意识，适配滚动练习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数最值、图像判断、三角化简|基础巩固，突出数学眼光的抽象能力| |多选题|3/18|立体几何位置关系、不等式性质|选项分层，考查推理意识的严谨性| |填空题|3/15|二项式定理、圆锥侧面积、解析几何整点问题|情境新颖，体现空间观念与应用意识| |解答题|5/77|三角函数零点、立体几何证明、概率统计（独立性检验）、双曲线综合、导数应用|综合度高，如概率题（17题）结合数据分析，导数题（19题）论证严谨，契合真题命题趋势|

高三数学滚动练习5 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.） 1．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．化简：（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D．1 5．命题的否定是（ ） A． B． C． D． 6．已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 7．已知函数在区间恰有两个零点，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D．3 8．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部作对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分.） 9．已知m、n是两条不同直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是2 B．若且，则 C．的最小值是2 D．函数的最大值为0 11．在数列和中，，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．36是与的公共项 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．的展开式中常数项为　　　　.  13．底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截,截去一个高为的圆锥,所得的圆台的侧面积为　　　　　　.  14．在平面直角坐标系xOy中,整点P(横坐标与纵坐标均为整数)在第一象限,直线PA,PB与圆C:(x+2)2+y2=4分别切于A,B两点,与y轴分别交于M,N两点,则使得△PMN的周长为2的所有点P的坐标是　　　　　　.  四、解答题（本题共5小题，共77分.）解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 15．（13分）已知函数f(x)=sin(0<ω<3),x=是f(x)的零点. (1) 求ω的值; (2) 求函数y=f+f的值域. 16．（15分）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1,BCC1B1均为正方形,D,E分别是棱AB,A1B1的中点,N为C1E上一点. (1) 求证:BN∥平面A1DC; (2) 若AB=AC,=3,求直线DN与平面A1DC所成角的正弦值. 17．（15分）人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种,某中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联,采用简单随机抽样的方法抽取90名学生,得到如下数据: 外向型 内向型 男生 45 15 女生 20 10 (1) 以上述统计结果的频率估计概率,从该校男生中随机抽取2人,女生中随机抽取1人担任志愿者,设这三人中性格为“外向型”的人数为X,求X的数学期望; (2) 对表格中的数据,依据α=0.1的独立性检验,可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联.如果将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍,在相同的检验标准下,再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性,得到的结论是否一致?请说明理由. 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 18．（17分）已知双曲线W:x2-=1,A(-3,0),动直线l:x-my-3=0与x轴交于点B,且与W交于C,D两点,t|CD|是|BC|,|BD|的等比中项,t∈R. (1) 若C,D两点位于y轴的同侧,求t取最小值时△ACD的周长; (2) 若t=1,且C,D两点位于y轴的异侧,求证:△ACD为等腰三角形. 19．（17分）已知函数f(x)=xln x-x2-1. (1) 讨论f(x)的单调性; (2) 求证:f(x)<e-x+--1; (3) 若p>0,q>0且pq>1,求证:f(p)+f(q)<-4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学滚动练习5 1．C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 2．B 【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论． 【详解】由，得，所以函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，故排除AC； 又，故排除D. 故选：B. 3．D 【分析】利用正余弦的齐次式法，结合正切的和角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果. 【详解】因为， 故选：D. 4．B 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 5．A 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 6．C 【分析】利用倒叙相加法求和即可. 【详解】①， ②， ①+②得 ， 所以. 故选：C. 7．A 【分析】根据题意，由辅助角公式可得，然后结合条件代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，其中， 且，函数在区间恰有两个零点， 则，即， 所以. 故选：A 8．A 【分析】化简的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质求得最大值. 【详解】 ， 设， 则的开口向下，对称轴， 所以函数在上单调递增， 所以， 也即的最大值为. 故选：A 9．AC 【分析】根据线面、面面的位置关系，性质定理和判定定理逐项判断各项的正误即可. 【详解】选项A：若，由线面垂直的性质可知，故A选项正确； 选项B：若，则不一定正确，因为与可能相交，故选项B不正确； 选项C：若，由线面垂直的性质和面面平行的定义或判定定理可知，故C选项正确； 选项D：若，则不一定正确，因为m与n可能相交，也可能m与n异面，选项D不正确； 故选：AC 10．BC 【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】对于选项A，对于函数，当时，，所以A错误； 对于选项B，由于，所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以B正确； 对于选项C，，当且仅当,即，故C正确， 对于选项D，由于，， 所以， 当且仅当即时等号成立，这与矛盾，故D错误． 故选：BC 11．ACD 【分析】A：根据等差数列定义求的通项公式，则可求；B：累加法求的通项公式；C：根据通项公式计算并判断；D：采用裂项相消法求和并证明. 【详解】对于A：因为，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以，故正确； 对于B：因为， 所以，所以， 当时，符合条件， 所以，故错误； 对于C：令，解得(负值舍去)，所以，令，解得(负值舍去)，所以， 所以，即是与的公共项，故正确； 对于D：因为， 所以，故正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．的展开式中常数项为　　　　.  【答案】 15　二项式定理 【解析】 展开式的通项公式为Tk+1=x6-k=(-1)kx6-3k,令6-3k=0,解得k=2,所以常数项为T3==15. 13．底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截,截去一个高为的圆锥,所得的圆台的侧面积为　　　　　　.  【答案】 6π　圆台的侧面积 【解析】 如图,由题可知△ABC是边长为4的等边三角形,CO=2,CO'=,可得圆台的上底面半径r'=1,下底面半径r=2,母线长l=AD=2,则该圆台的侧面积为π(r+r')l=π×(1+2)×2=6π. 14．在平面直角坐标系xOy中,整点P(横坐标与纵坐标均为整数)在第一象限,直线PA,PB与圆C:(x+2)2+y2=4分别切于A,B两点,与y轴分别交于M,N两点,则使得△PMN的周长为2的所有点P的坐标是　　　　　　.  【答案】 (1,4)或(2,3)　直线与圆的位置关系 【解析】 如图,因为直线PA,PB分别与圆C:(x+2)2+y2=4相切于A,B两点,且直线PA,PB分别与y轴交于M,N两点,所以|PA|=|PB|,|AM|=|OM|,|BN|=|ON|,所以△PMN的周长为|PM|+|MN|+|PN|=|PM|+|OM|+|ON|+|PN|=(|PM|+|AM|)+(|BN|+|PN|)=|PA|+|PB|=2|PA|=2=2=2,所以|PC|=5.设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则+=25.因为P为整点,所以点P的坐标为(1,4)或(2,3). 四、解答题 15．已知函数f(x)=sin(0<ω<3),x=是f(x)的零点. (1) 求ω的值; (2) 求函数y=f+f的值域. 【解答】 (1) 由已知可得f=sin=0,则ω-=kπ,k∈Z,即ω=2+8k,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2. (6分) (2) 由(1)可知f(x)=sin,可得y=f+f=sin+sin x=-cos 2x+sin x=-(1-2sin2x)+sin x=2-,其中-1≤sin x≤1,则当sin x=-时,函数y=f+f取得最小值-,当sin x=1时,函数y=f+f取得最大值2.故函数y=f+f的值域为. (13分) 16．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1,BCC1B1均为正方形,D,E分别是棱AB,A1B1的中点,N为C1E上一点. (1) 求证:BN∥平面A1DC; (2) 若AB=AC,=3,求直线DN与平面A1DC所成角的正弦值. 【解答】 (1) 如图(1),连接BE,BC1,DE.因为AB∥A1B1,且AB=A1B1,D,E分别是棱AB,A1B1的中点,所以BD∥A1E,且BD=A1E,所以四边形BDA1E为平行四边形,所以A1D∥EB.又A1D⊂平面A1DC,EB⊄平面A1DC,所以EB∥平面A1DC. (2分) 因为DE∥BB1∥CC1,且DE=BB1=CC1,所以四边形DCC1E为平行四边形,所以C1E∥CD.又CD⊂平面A1DC,C1E⊄平面A1DC,所以C1E∥平面A1DC. (4分) 因为C1E∩EB=E,C1E,EB⊂平面BEC1,所以平面BEC1∥平面A1DC. (5分) 因为BN⊂平面BEC1,所以BN∥平面A1DC. (7分) 　　 图(1) 图(2) (第16题) (2) 因为四边形ACC1A1,BCC1B1均为正方形,所以CC1⊥AC,CC1⊥BC.又AC∩BC=C,AC,BC⊂平面ABC,所以CC1⊥平面ABC.因为DE∥CC1,所以DE⊥平面ABC,从而DE⊥DB,DE⊥DC.又AB=AC,所以△ABC为等边三角形.因为D是棱AB的中点,所以CD⊥DB,即DB,DC,DE两两垂直.以D为原点,DB,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系Dxyz.设AB=2,则D(0,0,0),E(0,0,2),C(0,3,0),C1(0,3,2),A1(-,0,2), (10分) 所以=(0,3,0),=(-,0,2).设n=(x,y,z)为平面A1DC的法向量,则即可取n=(2,0,1). (12分) 因为=3,所以N(0,2,2),=(0,2,2).设直线DN与平面A1DC所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|===,即直线DN与平面A1DC所成角的正弦值为. (15分) 17．人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种,某中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联,采用简单随机抽样的方法抽取90名学生,得到如下数据: 外向型 内向型 男生 45 15 女生 20 10 (1) 以上述统计结果的频率估计概率,从该校男生中随机抽取2人,女生中随机抽取1人担任志愿者,设这三人中性格为“外向型”的人数为X,求X的数学期望; (2) 对表格中的数据,依据α=0.1的独立性检验,可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联.如果将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍,在相同的检验标准下,再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性,得到的结论是否一致?请说明理由. 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 【解答】 (1) 由统计结果可知,“外向型”男生在所有男生中占比为,“外向型”女生在所有女生中占比为,故从该校男生中随机抽取一人为“外向型”男生的概率是,从该校女生中随机抽取一人为“外向型”女生的概率是. (2分) 方法一:X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=×=,P(X=1)=×××+×=,P(X=2)=×+×××=,P(X=3)=×=,所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. (7分) 方法二:从该校男生中随机抽取2人,抽到性格“外向型”的人数记为Y1;从该校女生中随机抽取1人,抽到性格“外向型”的人数记为Y2,则Y1~B,Y2~B,所以E(Y1)=2×=,E(Y2)=1×=,所以E(X)=E(Y1+Y2)=E(Y1)+E(Y2)=+=. (7分) (2) 零假设为H0:这两种性格特征与人的性别无关联.将所获得的所有数据都扩大为原来的10倍,可知χ2==≈6.923>2.706=x0.1. (12分) 依据α=0.1的独立性检验,可以推断这两种性格特征与人的性别有关联,与原来的结论不一致,原因是每个数据扩大为原来的10倍,相当于样本量变大为原来的10倍,导致推断结论发生了变化. (15分) 18．已知双曲线W:x2-=1,A(-3,0),动直线l:x-my-3=0与x轴交于点B,且与W交于C,D两点,t|CD|是|BC|,|BD|的等比中项,t∈R. (1) 若C,D两点位于y轴的同侧,求t取最小值时△ACD的周长; (2) 若t=1,且C,D两点位于y轴的异侧,求证:△ACD为等腰三角形. 【解答】 (1) 方法一:因为动直线l:x-my-3=0与x轴交于点B(3,0),W:x2-=1的右焦点为(3,0),所以点B为W的右焦点.设|BC|=p,|BD|=q.因为C,D两点位于y轴的同侧,如图(1),所以|CD|=p+q.因为t|CD|是|BC|,|BD|的等比中项,所以(t|CD|)2=|BC|·|BD|,所以t2=≤=,当且仅当p=q时取等号,所以tmin=-. (4分) 当t=-时,p=q,所以|AC|=2+p=2+q=|AD|,所以l⊥x轴,由解得y=±8,所以|BC|=|BD|=8,所以|CD|=16,|AC|=|AD|=10,所以|AC|+|AD|+|CD|=10+10+16=36,即△ACD的周长为36. (8分) 方法二:设C(x1,y1),D(x2,y2).由得(8m2-1)y2+48my+64=0,因为直线l与W交于C,D两点,所以且y1+y2=-,y1y2=.由C,D两点位于y轴的同侧,如图(1),可得y1y2=<0,解得m2<.因为t|CD|是|BC|,|BD|的等比中项,所以|BC|·|BD|=t2|CD|2,故|y1|·|y2|=t2,即t2===·,又0≤m2<,故t2=·=,可得0<t2≤,即-≤t≤且t≠0,所以tmin=-. (4分) 当t=-时,m=0,所以l⊥x轴.由解得y=±8,所以|BC|=|BD|=8,所以|CD|=16,又|AB|=6,所以|AC|==10,所以|AC|+|AD|+|CD|=10+10+16=36,即△ACD的周长为36. (8分) 　　 图(1) 图(2) (2) 方法一:设C(x1,y1),D(x2,y2).由得(8m2-1)y2+48my+64=0,因为直线l与W交于C,D两点,所以且y1+y2=-,y1y2=. (10分) 由t=1,可得|BC|·|BD|=|CD|2,故|y1|·|y2|=.因为C,D两点位于y轴的异侧,如图(2),所以y1y2>0,所以y1y2=,即5y1y2=,所以5×=,解得m2=,所以y1y2=,所以|CD|2=|BC|·|BD|=(1+m2)y1y2=×=16,所以|CD|=4. (15分) 不妨设点C在第二象限,根据双曲线定义,得即解得|AC|=|AD|,所以△ACD是等腰三角形. (17分) 方法二:如图(2),因为C,D两点位于y轴的异侧,故y1y2=>0,所以m2>,且由(1)中方法二知t2==·=1,解得m=-或m=. (12分) 当m=-时,设CD的中点E的坐标为(xE,yE),yE==,xE=-yE+3=-×+3=-,所以点E的坐标为.因为CD的垂直平分线的斜率为,所以CD的垂直平分线方程为y-=,即y=x+.因为点A(-3,0)在直线y=x+上,所以|AC|=|AD|,即△ACD为等腰三角形. (15分) 当m=时,同理可证,△ACD为等腰三角形.综上所述,△ACD为等腰三角形. (17分) 19．已知函数f(x)=xln x-x2-1. (1) 讨论f(x)的单调性; (2) 求证:f(x)<e-x+--1; (3) 若p>0,q>0且pq>1,求证:f(p)+f(q)<-4. 【解答】 (1) f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-2x+1,记t(x)=f'(x),t'(x)=-2=,当x∈时,t'(x)>0,t(x)单调递增;当x∈时,t'(x)<0,t(x)单调递减.所以t(x)max=t=-ln 2<0,即f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减. (4分) (2) 方法一:先证f(x)≤-x-1.记g(x)=f(x)+x+1,则g(x)=xln x-x2+x=x(ln x-x+1),记m(x)=ln x-x+1,则m'(x)=-1,当x∈(0,1)时,m'(x)>0,m(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减.所以m(x)max=m(1)=0,所以m(x)≤0,又x>0,所以g(x)≤0,故f(x)≤-x-1. (7分) 再证e-x+--1>-x-1,即证e-x+-+x>0.记h(x)=e-x+-+x,则h(x)=e-x+x-1+≥e-x+x-1,记p(x)=e-x+x-1,x>0,则p'(x)=1-e-x>0,所以p(x)在(0,+∞)上单调递增,所以p(x)>p(0)=0,所以h(x)>0,即e-x+--1>-x-1,所以f(x)<e-x+--1. (10分) 方法二:构造函数h(x)=ex-x-1(x>0),则h'(x)=ex-1,当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,h(x)>h(0)=0,所以ex>x+1. (6分) 构造函数φ(x)=ln x-x+1,φ'(x)=-1,当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减.所以φ(x)max=φ(1)=0,即φ(x)≤0,即ln x≤x-1. (8分) 所以f(x)=xln x-x2-1≤x(x-1)-x2-1=-x-1,所以e-x+--1>-x+1+--1=--x,则只需证明--x≥-x-1,即-+1≥0,而-12≥0显然成立,所以f(x)<e-x+--1. (10分) (3) 方法一:由(2)中方法一知m(x)=ln x-x+1的最大值为0.因为p>0,q>0且pq>1,则p,q之中至少有一个大于1,不妨设p>1,则q>>0.由(1)可知f(x)为减函数,所以f(q)<f,所以f(p)+f(q)<f(p)+f. (12分) 因为f(p)+f=pln p-p2-1+ln--1=ln p--4=-4. (14分) 记s(p)=ln p-p+,则s(p)=m(p)+-1≤-1<0.因为p>1,所以p>,所以f(p)+f<-4,所以f(p)+f(q)<-4.(17分) 方法二:先证f(x)≤-x-1.记g(x)=f(x)+x+1,则g(x)=xln x-x2+x=x(ln x-x+1),记m(x)=ln x-x+1,则m'(x)=-1,当x∈(0,1)时,m'(x)>0,m(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减.所以m(x)max=m(1)=0,所以m(x)≤0,又x>0,所以g(x)≤0,故f(x)≤-x-1. (14分) 所以f(p)≤-p-1,f(q)≤-q-1,因为p>0,q>0且pq>1,所以f(p)+f(q)<-p-q-2,因为p+q≥2>2×1=2,所以-p-q<-2,则f(p)+f(q)<-2-2=-4. (17分) 1 学科网（北京）股份有限公司 $