四川省射洪中学校2026-2027学年高二强实班上学期第一次月考数学试题

射洪中学高2025级强实高二上期第一次月考参考答案答案 2 5 6 7 P 9 10 11 B 0 A D B ACD BC ACD 12 13 14 2π √2 V17 8.当x=0,y=0时，曲线C表示原点： 2为半径的圆在第一象限的部分】 同理，可在平面直角坐标系内作出曲线C的完整图形（如图），又曲线C上的点到原点距离的 最大值为OM 兽反，所以25 11.因为方程x2+y2-2y=0可化为x2+(y-1)2=1,所以圆x2+y2-2y=0的圆心为C(0,1), 半径r=1,所以CA=CB=1, 因为MA,MB为圆x2+y2-2y=0的切线，切点分别为A,B,所以MA⊥CA,MB⊥CB, 所以MA=MB,MA=MCP-CAP=MC-1,如图四边形MACB的周长1=2MA+2CA=2MC-1+2, 因为四边形MACB周长的最小值是6，所以MC的最小值为√5， 所以点C到直线x+y+4=0(k>0)的距离为√5，所 k×0+1+4=5,所以k=2,A正确： Vk2+1 ∠AMB=2∠AMC,sin∠AMC= MCMC 所以cos∠AMB=cos2∠AMC=1-2sii∠MC=1 MCP 当C取最小值5时，0s∠AMB取最小值为：，即(cos∠AMB=；>)0 又余弦函数y=Cosr在(0，)上单调递减，所以（∠AMB)x<60°，B错误； 因为MA⊥CA,MB⊥CB,所以点M,A,C,B四点共圆，且线段MC为该圆的直径， 设Ma2a-,过点44cB的圆简方程为号(-a女+(2a-] 化简可得x2-x+y2+(2a+3)y-2a-4=0,因为圆x2-ar+y2+(2a+3)y-2a-4=0与圆x2+y2-2y=0相交， 将圆x2-+y2+(2a+3)y-2a-4=0与圆x2+y2-2y=0方程相减可得ax-(2a+5)y+2a+4=0, 化简可得a(x-2y+2)-5y+4=0,故直线AB的方程为a(x-2y+2)-5y+4=0, [x-2y+2=0 又由 -5y+4=0 可得 所以直线8必过点〔号)， C正确； y= 因为△AMC的面积S= wr,所以h 24M2MCP-1 =2. 1 MC 所以当MC取最小值V5时，AB取最小值为4y5 D正确；故选：ACD. 14.V5+4c0s- co sina-o .1 2 设P(cosa,sina）, -2.).fa)-ca+ia- 则f(a)=√(cosa+2)2+sin2a- cos2a+sina- =PO-PB], 又易知，点P(cosx,sin)在圆x2+y2=1上，如图所示， =7 2 故f(a)的最大值为 2 因为存在实数aeR使得√5+4cos& /cos2a+(sin a-)2≥m 2 所以m≤ √5+4cosa- cosa+(6ina 即ms ,故答案为： 血a 15.(1)由频率分布直方图，可得[60,70)的频率为0.1，「90,100的频率为0.3， 所以用分层随机抽样的方法从[60,70)，[90,100]两个区间共抽取出4名学生， 可得从[60,70)抽取1人，即为a,从90,100]中抽取3人，即为1,2,3， 从这4名学生中随机抽取2名进行交流分享，有(a,)(a2),(a,3列(，2)，3)(2,3)：共有6个基本事件： 其中第交流分享的学生成绩在区间[60,70]的有：（化，）.(2，a),3,a,共有3个，所以概率为P=3=} 62 (2)甲最终获胜的可能性大.理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是0， 可有1-0-0-号0-p)-0共中05ps1,解钓n 5 则甲的2分或3分的概率为：P=×2× 1、241243 2552555' 以乙得分为2分或3分的概率为，因为>，所以甲最终获胜的可能性更 2 x-y-1=0 16.（1)联立方程 x+y-5=0'解得x=3y=2: 垂直于直线3x+4少-50，所以所求直线 4 故所求直线方程为y-2=3x-3列，即4x-3y-6=0: (2)①以A(-1,1)、B(0,2)为直径的圆的方程为⊙D:(x+1)x+(y-1)(y-2)=0, 13 故圆心到直线4的距离为22 3W2、√ 2 2 2 故直线与圆D的位置关系为相离. B ②设点A(-1,1)关于直线l对称的点为C(m,n), (m-1_n+1-1=0 则 22 1-1-1 ,解得m=2,n=-2,即C(2,-2); +1 PA+PB=PB+PC>BC =2V5, 故|PA|+|PB|的最小值为2√5. 17(1)由题知，直线AB,AD,AP两两垂直， 以点A为坐标原点，直线AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 如图所示： G D 过点C作CF⊥AD于点F,由CD=V2,∠CDA=45°，得CF=DF=1, 设AB=t(0<t<3),则P(0,0,t),B(t,0,0),D(0,6-,0),C(1,5-t,0), 所以PD=(0,6-t,-1),CD=（-1,1,0), 设平面PCD的法向量n=(x,y,z),则 1P0=（6-y-亿=0令y=,得方=666- n.CD=-x+y=0 由PB⊥平面ADE,得平面ADE的一个法向量为PB=(L,O,-t), 依题意，得cos(i,PB= n.PB 2-(6- PB ++(6-1)+(-) 6, 整理得7？-41+60=0：解得1=2(1-9舍去)，.所以线段B的长为2 3 (2)显然AB⊥平面PAD,而AGC平面PAD,则AB⊥AG,又BG=2AG, 所以(2AG=AG2+22,解得4G=25, 3 因此点G的轨迹是以点A为圆心， 25为半轻的圆的分，所以点G的轨迹的长度为)×25-5、 πX 2 33 18(1)圆0：x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2， 若过点P(2,4)垂直于x轴的直线x=2,恰与圆相切，符合题意： 设另一条直线l的斜率为k,其方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0, 因为该直线与圆0：+广=4相切，所以圆心到直线的距离为2+42，解得片=2 Vk2+1 则该切线方程为3x-4y+10=0. 综上，过点P与圆O相切的直线方程为x=2和3x-4y+10=0. (2)因为截得的弦长为22且半径r=2,所以圆心到直线的距离为 22 =√5， 由2+4-2，解得k-1或k=7,即所求直线为-+2=0或7江-y-10=0. Vk2+1 (3)由题意知点2(2,0)，显然直线的斜率存在，设直线方程为y-4=k(x-2), 联立 y,4=-2列，得1+k)x-4k-2x+(2k-4-4=0, p x2+y2=4 飞+5-址2 1+k2 设A(5,),B(5,),则 (2k-4)2-4 x2= o 1+k2 且△=[-4kk-2订-41+2)[2k-4-4>0,解得k> 4 设直线QA,QB的斜率分别为k,k2, 飞+%-上，+，k2)+4飞-2+4-2k+4,4,2+46+-4) 5-263-25-2 5-2 X1-22-2x3-2$+x2)H4 4kk-2）4 4. =2k+ 1+k2 2k-48k+4-1, (2k-4-4-24k&-2）44 16 1+k2 1+k2 所以k+k是定值，定值为-1. 4 19.(1)由折叠的不变性，折叠前CD⊥AB,故折叠后有CD⊥SD,CD⊥BD, 因为SD∩BD=D,且SD,BDC平面SBD,所以CD⊥平面SBD, 又SBc平面SBD,所以CD⊥SB. 因为SC⊥BD,CD⊥BD,且SC∩CD=C,SC,CDc平面SCD,得BD⊥平面SCD, 又SDc平面SCD,所以BD L SD. 又CD⊥LSD,BDOCD=D,BD,CDC平面BCD,所以SD⊥平面BCD, 又BCc平面BCD,所以SD⊥BC, 综上，三组对棱两两垂直，故四面体S-BCD为对垂四面体. (2)由(1)知DB,DC,DS两两互相垂直， 以D为坐标原点，DB,DC,DS所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),S(0,0,1),所以 CD=(0,-2,0),SB=(2,0,-1),SC=0,2,-1), i.S8=0「2x-5=0 设平面SBC的法向量为i=(x,y,),则 c-0即2y-0 B 令z=2,得x=1,y=1,故i=(1,1,2), .CD 设直线CD与平面SBC所成的角为a,则sina= 26 c可1+1+4x26 故直线CD与平面SBC所成角的正弦值为y 6 (3)由 。211） C *i+动曲e =1,得P0 ，0品) 所以DP= 00-品) 221 0, [f.DP=0「22y+z=0 设平面DPQ的法向量为t=(x,y,),则 。,即 f.D0=0 2x+z=0令y=1,得x=,z=-22,故1=(，1-2刘， 平面DBC的一个法向量为i=(0,0,1), 7.m 2 锐二面角O满足cos8= -2 2元 网√2+1+4元√24+42+11 分子分母同除以22>0)，得os0= 1 由基本不等式，得公完之2是2，当且仅当京：即1=1时取等号， 因此，cos0≤ 2一=V6,即九=1时，cos8取得最大值V6 3 5 射洪中学高2025级强实班高二上期第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知事件A和B互斥，满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，三棱锥中，为线段OA上靠近的三等分点，， 点为MN的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 4．算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件A=“表示的四位数大于5500”，则（    ） A． B． C． D． 5．第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 6．已知圆，圆，M、N分别为圆和上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7.在平面内，，若则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 8.在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.口袋中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个白球3个黑球．从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，则（     ） A． B．与互斥 C． D．与不独立 10．下列说法正确的是（   ） A．点为圆外一点，则实数的取值范围为 B．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 11过直线上一点作圆的两条切线.切点分别为，若四边形周长的最小值是6，则（    ） A． B．的最大度数为 C．直线必过点 D．的最小值为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量，向量满足，，则向量与的夹角为________. 13.已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________. 14.若存在实数使得，则实数的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： (1)用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名进行交流分享，求交流分享的学生成绩在区间的概率； (2)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． ▲ 16.（15分）已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． ▲ 17.（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，为的中点．四边形中，，，，，若平面与平面所成的角的余弦值为． （1）求线段的长； （2）设为内（含边界）的一点，且，求满足条件的所有点组成的轨迹的长度． ▲ 18.（17分）平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点与圆相切的直线方程； (2)求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. ▲ 19.（17分）定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． (1)求证：四面体为对垂四面体； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． ▲ 高二强实班数学 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $