山东淄博市张店区龙凤苑中学2026-2027学年上学期七年级数学10月学情自测卷

【2026.10.8】初二数学月考试卷-龙凤苑中学 一，选择题（共10小题） 1.下列图形中，不是轴对称图形的是() A B. C D. 2.已知三角形的三边长分别为2、x、10,则x的值可能是（ A.6 B.8 C.10 D.12 3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是() B B 4.如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合.已知AC=5Cm,△ADC的周长为17cm, 则BC的长为() E D A.7cm B.10cm C.12cm D.22cm 5.如图，已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是() D B A.∠A=∠D B.AB=DC C.∠ACB=∠DBCD.AC=BD 6.如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=55°，点E、F在边AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF 得到△DEF,则图中∠1+∠2等于() ⊙ A.80° B.120° C.100 D.90° 7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点E在AB边上，连接CE交AD于点F,△ABD≌△CFD.若 BD=4,AD=12,则△ABC的面积为() D A.192 B.96 C.48 D.68 8.如图所示，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AB和AC,交BC于点D,E,若∠DAE=40°， 则∠BAC=() M E A.105° B.100° C.110 D.140° 9.如图，△ABC的面积为16cm',AP垂直∠B的平分线BP于P,则△PBC的面积为() C A.4cm2 B.6cm2 C.8cm2 D.10cn2 10.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程 中，其两边分别与射线OA,OB交于点M,N,则以下结论：①PM=PN恒成立；②OM什OW的值不变；③四 边形PMON的面积不变；④MN的长不变；其中正确的为() M N B A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 二.填空题（共5小题） 11.如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 %2日5E分 12.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若△ABC 是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 13.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1,P,连接P1P交 OA于M,交OB于N,P1P=15,则△PMN的周长为 14.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,过点C 作CFLAD于点P,在DA延长线上取一点G,连接GC,使∠G=∠BAD,则△DE= S△AGC G F D E 15.如图，BO,CO分别平分∠ABC、∠ACB,且ODLBC于点D,ABC的周长为24cm,OD=3cm, 则ABC的面积为 B D 三.解答题（共9小题） 16.(1)已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:3:5,求三角形中各角的度数. (2)已知a、b、c为三角形的三边长，化简：a-b+c-b-c-d-la-c+b外. 17.作图题： 如图，AC、AB是两条笔直的交叉公路，M、W是两个车站，现欲建一个加油站P使得 此加油站到公路两边的距离相等，且离M、N两个车站的距离也相等，此加油站P应建在何处？ 要求：尺规作图，保留作图痕迹：不写作法. ● ●V 18.如图，△ABC中，AD平分∠BAC,P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E,已知∠ACB=70°， ∠B=28°，求∠P的度数. E 19.八年级数学兴趣小组开展了测量学校高度AB的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度AB 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 口 E 教学楼 B D 测量步骤 (1)在教学楼外，选定一点C: (2)测量教学楼顶点A视线AC与地面夹角∠ACB: (3)测BC的长度： (4)放置一根与BC长度相同的标杆DE,DE垂直于地面； (5)测量标杆顶部E视线与地面夹角∠ECD和CD的长度. 测量数据 ∠ACB=68°，∠ECD=22°，BC=DE=2.5m,CD=12m 请你根据兴趣小组测量方案及数据，求教学楼高度AB的值. 20.如图，∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O. (1)求证：△AEC≌△BED: (2)若∠1=40°，求∠BDE的度数. B E 2 D 21.如图，△ABC中，∠B=2∠A,∠ACB的平分线CD交AB于点D,已知AC=16,BC=9,则BD 的长？ ⊙ D 22.如图，△ACD和△BCE都是等腰三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AC=DC,BC=EC,AE交 CD于点F,BD分别交CE,AE于点G,H.试猜想线段AE和BD的数量和位置关系，再说明理 由. D H F C B 23.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： D 、i E E 图1 图2 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围，小明在组内经过合作 交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是SAS: (2)求得AD的取值范围是1<AD<7; 【感倍】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把 分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中； 【问题解决】(3)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠DAB的角平分线AE交CD于E,连接 BE,且BE平分∠ABC,猜想： ①∠AEB的度数； ②BC,AD,AB的数量关系，说明理由， 【2026.10.8】初二数学月考试卷-龙凤苑中学 一.选择题（共10小题) 1.下列图形中，不是轴对称图形的是() A 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可. 【解答】解：根据轴对称图形的定义分析判断如下： A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 所以不是轴对称图形. 故选：A. 【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部 分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形， 2.已知三角形的三边长分别为2、x、10,则x的值可能是() A.6 B.8 C.10 D.12 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后 即可选择答案 【解答】解：.10-2=8,10+2=12， .8<x<12, ∴.x的可能取值是10 故选：C 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边 之差小于第三边”求出x的取值范围是解题的关键 3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是( 【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E,其中线段BE是△ABC的高， 再结合图形进行判断. 【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D 故选：D 【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接 顶点与垂足之间的线段.熟记定义是解题的关键 4.如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合.已知AC=5cm,△ADC的周长为17cm, 则BC的长为() D A.7cm B.10cm C.12cm D.22cm 【分析】首先根据折叠可得AD=BD,再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长，利用等 量代换可得BC的长. 【解答】解：根据折叠可得：AD=BD, .△ADC的周长为17cm,AC=5cm, .AD+DC=17-5=12(cm), .AD=BD, .∴.BD+CD=12cm. 即BC=12c, 故选：C 【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后 图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 5.如图，已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是() A.∠A=∠D B.AB=DC C.∠ACB=∠DBCD.AC=BD 【分析】根据题目所给条件∠ABC=∠DCB,再加上公共边BC=BC,然后再结合判定定理分别进 行分析即可. 【解答】解：A、添加∠A=∠D可利用AAs判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意： B、添加AB=DC可利用As定理判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意： C、添加∠ACB=∠DBC可利用AsA定理判定△ABC≌△DCB,故此选项不合题意： D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB,故此选项符合题意： 故选：D 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：Sss、sAs、AsA、 AAs、HL. 注意：AAA、sA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边 一角对应相等时，角必须是两边的夹角 6.如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=55°，点E、F在边AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF 得到△DEF,则图中∠1+∠2等于（) E D B A.80° B.120° C.100° D.90 【分析】利用三角形内角和定理，先求出∠A,再利用翻折变换的性质求出∠AED+∠AFD=130 ×2=260°，再根据∠AED+∠1+∠AFD+∠2=360°，即可求解. 【解答】解：在△ABC中，∠B=75°，∠C=55°， ∴.∠A=180°-∠B-∠C=180°-75°-55°=50°， ,沿EF向内折叠△AEF得到△DEF, ∴.∠D=∠A=50°，∠AEF=∠DEF,∠AFE=DFE, 在△DEF中，∠DEF+∠DFE=180°-∠D=180°-50°=130°， .∴.∠AED十∠AFD=130°×2=260°， ,∠AEDH∠1+∠AFD+∠2=360°， .∠1+∠2=100°， 故选：C 【点评】本题考查了翻折变换的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握翻折变换的性质和 三角形内角和定理. 7.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点E在AB边上，连接CE交AD于点F,△ABD≌△CFD.若 BD=4,AD=12,则△ABC的面积为() A.192 B.96 C.48 D.68 【分析】根据全等三角形的性质得AD=CD,进而得BC=BD+CD=16,然后在更剩下的面积公式 即可得出△ABC的面积. 【解答】解：，△ABD≌△CFD, ..AD=CD, .BC=BDCD, .BD=4,AD=12, ∴.BC=BD+CD=16, 又，AD⊥BC于点D, .S.ABC=BCAD-x16X12-96, 故选：B 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的性质，三角 形的面积公式是解决问题的关键 8.如图所示，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AB和AC,交BC于点D,E,若∠DAE=40°， 则∠BAC=( M A.105° B.100 C.110 D.140° 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=DB,AE=EC,从而可得∠B=∠BAD,∠C=∠EAC, 然后利用三角形内角和定理可得2∠BAD+2∠EAC=180°-∠DAE,进行计算即可解答， 【解答】解：，DM,EN分别垂直平分AB和AC, ∴.AD=DB,AE=EC, ∴.∠B=∠BAD,∠C=∠EAC, .∠B+∠BAC+∠C=180°， .∠B+∠BADH∠DAE+∠EAC+∠C=180°， ,∠DAE=40°， ∴.2∠BAD升2∠EAC=180°-∠DAE, .∴.∠BAD十∠EAC=70°， ∴.∠BAC=110°， 故选：C. 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 9.如图，△ABC的面积为16Cm,AP垂直∠B的平分线BP于P,则△PBC的面积为() B C A.4cm2 B.6c2 C.8c2 D.10cm2 【分析】延长AP交BC于E,根据AP垂直∠B的平分线BP于P,即可求出△ABP≌△EBP,又 知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可得到△PBC的面积. 【解答】解：AP垂直∠B的平分线BP于P,∠ABP=∠EBP,如图，延长AP交BC于E, B E 在△ABP和△EBP中， (LABP=∠EBP BP=BP ∠APB=∠BPE=90° ∴.△ABP≌△EBP(ASA), ∴.S△ABP=SABEP,AP=PE, ∴.△APC和△CPE等底同高， ∴.SAPC=SA△PEC, .S△PBC=S△PBE+S△PCB= SAnC-8cm2. 故选：C 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的面积，证明出三角 形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的关键， 1O.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程 中，其两边分别与射线OA,OB交于点MN,则以下结论：①PM=PN恒成立：②OM什ON的值不变；③四 边形PMON的面积不变；④MN的长不变；其中正确的为() y N B A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【分析】如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.只要证明Rt△POE≌Rt△POF,△PEM≌△PFN,即可一一判断. 【解答】解：如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F M FB .∠PEO=∠PFO=90°， .∠EPF+∠AOB=180°， ,'∠MP4∠AOB=180°， ∴.∠EPF=∠MPN, ∴.∠EPM=∠FPN, ,OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于点F, ..PE=PF, 在Rt△POE和Rt△POF中， SOP=OP PE PF' ∴.Rt△POE≌Rt△POF(HL), ∴.OE=OF, 在△PEM和△PFN中， (LMPE=∠NPF PE=PF ∠PEM=∠PFN .△PEM≌△PFN(ASA), ∴.EM=NF,PM=PN,故(1)正确， ∴.S△PEM=SAPF, ∴.S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3)正确， ,OM什ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故(2)正确， ,M,N的位置变化， N的长度是变化的，故(4)错误， 故选：B. 【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用 辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型. 二.填空题（共5小题） 11.如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是3265· 42日5E6 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称： 据此分析并作答. 【解答】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序 颠倒，则这个号码是3265. 故答案为：3265 【点评】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放 置和垂直放置的不同. 12.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”·若△ABC 是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为1.5或4. 【分析】由△ABC是“倍长三角形”，可知AB=2AC或AC=2BC或AC=2AB或BC=2AB,分别 求出AB,根据三角形的三边关系即可得答案 【解答】解：设三角形ABC中，第三条边AB=x,AC=2,BC=3, 等腰△ABC是“倍长三角形”， ①当AB=2AC,即x=4, ∴.△ABC三边分别是2,3,4，符合题意， ②当AC=2BC,即x=6, .△ABC三边分别是2,3,6， .2+3<6, .∴此时不能构成三角形，这种情况不存在： ③当AC=2AB=2,即x=1, ..1+2=3, .此时不能构成三角形，这种情况不存在： ④当BC=2AB=3,即x=1.5, .△ABC三边分别是1.5,2,3，符合题意， 综上所述，第三条边的长为是4或1.5， 故答案为：1.5或4. 【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是掌握三角形的三边关系和分类讨 论思想方法的应用· 13.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1,P2,连接P1P3交 OA于M,交OB于N,P1P=15,则△PMN的周长为15· 【分析】P点关于OA的对称是点P1,P点关于OB的对称点P2,故有PM=PM,PN=PN. 【解答】解：，P点关于OA的对称是点P1,P点关于OB的对称点P, ∴.PM=PM,PN=PN. '.△PMN的周长为PM什PNHMN-=MN4P什PW=P1P=15. 故答案为：15 【点评】本题考查轴对称的性质.对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的 线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都 相等。 14.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,过点C 作CFL4D于点R,在DA延长线上取一点G,连接cC,使∠G=∠AD,则2=_ 1 S△AGC 【分析】根据△BED≌△CFD得CF=BE,FD=ED,结合∠G=∠BAD得到△GFC≌△AEB,得 到GF=AE,从而得到GA=FE,即可得到答案 【解答】解：BE⊥AD,CF⊥AD于点F, .∠BED=∠CFD=90°， 在△ABC中，AD为BC边上的中线， ..BD=CD, 在△BED与△CFD中， (∠BED=∠CFD ∠BDE=∠CDF, BD=CD ∴.△BED≌△CFD(AAS), ∴.CF=BE,FD=ED, 在△GFC与△AEB中， (LGFC=LBEA LG=LBAE CF BE ∴.△GFC≌△AEB(AAS), ..GF=AE, ∴.GA=FE, 又，FD=ED, ..GA=2DE, ∴Sa8D8:SaAc=2 故答案为：是 【点评】本题考查三角形全等的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理， 15.如图，BO,CO分别平分∠ABC、∠ACB,且OD⊥BC于点D,ABC的周长为24C,OD=3cm, 则ABC的面积为36cm2. ◇ 【分析】过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N,由角平分线的性质推出OM=OD,ON=OD,由 三角形的面积公式得到△ABC的面积=2(AB+BC+AC)·OD=36(cmP)· 【解答】解：过O作OM⊥AC于M,ON⊥AB于N, ,BO,CO分别平分∠ABC、∠ACB,OD⊥BC, ∴.OM=OD,ON=OD, .△ABC的面积=△OBC的面积+△OAC的面积+△OAB的面积， ∴.△ABC的面积=BCOD+ACOM+ABON-号(AB+BC+AC)·OD, .ABC的周长为24cm,OD=3cm, ∴.△4BC的面积=3×24×3=36(cmP). 故答案为：36cm2. B D 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出OM=OD,ON =OD. 三.解答题（共9小题) 16.(1)已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:3:5,求三角形中各角的度数. 【分析】根据三内角度数的比和三角形内角和定理，列出方程，再分别进行计算即可. 【解答】解：设∠A=x,则∠B=3x,∠C=5x, ,∠A+∠B+∠C=180°， ∴.x+3x+5x=180°， 解得x=20°， ∴.∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°. 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用设未知数列方程的方法分别求出三内角的度数是本 题的关键， (2)已知、b、c为三角形的三边长，化简：la-b+c-b-c-d-a-c+b. 【分析】首先根据三角形的三边关系确定a-b+c>0,b-c-a<0,a-c+b>0,然后去绝对值， 化简即可求得。 【解答】解：，a,b,c是△ABC的三边的长， ..atc>b,a+b>c,atc>b, .a-b+c>0,b-c-a<0,a-c+b>0, .a-b+c-b-c-a-la-c+b =a-b+c-[-(b-c-a)]-(a-c+b) =a-b+c+b-c-a-atc-b =c-a-b. 【点评】此题考查了三角形三边关系与绝对值的性质.解此题的关键是要注意符号. 17.作图题： 如图，AC、AB是两条笔直的交叉公路，M、N是两个车站，现欲建一个加油站P使得 此加油站到公路两边的距离相等，且离M、N两个车站的距离也相等，此加油站P应建在何处？ 要求：尺规作图，保留作图痕迹；不写作法. B ● ● 【分析】到AB、AC距离相等的点在∠BAC的平分线上，到M,N距离相等的点在线段N的垂 直平分线上，那么所求点是角平分线与垂直平分线的交点. 【解答】解：如图所示，点P就是所求的点. 【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，角平分线的判定以及线段垂直平分线的判定，到两 条相交直线距离相等的点在这两条相交直线夹角的平分线上；到两点距离相等的点，在这两点连 线的垂直平分线上. 18.如图，△ABC中，AD平分∠BAC,P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E,已知∠ACB=70°， ∠B=28°，求∠P的度数. E 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义可得出 ∠CAD的度数，在△ACD中，利用三角形内角和定理可求出∠ADC的度数，结合对顶角相等可得 出∠PDE的度数，再在△PDE中利用三角形内角和定理可求出∠P的度数. 【解答】解：在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=28°， .∠BAC=180°-∠ACB-∠B=82°. .AD平分∠BAC, ∴.∠CAD=2∠BAC=41°. 在△ACD中，∠ACD=70°，∠CAD=41°， ∴.∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD=69°， ∴.∠PDE=∠ADC=69°. .PE⊥BC于E, .∠PED=90°， .∠P=90°-∠PDE=21°. 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及 角平分线的定义，求出∠ADC的度数是解题的关键. 19.八年级数学兴趣小组开展了测量学校高度AB的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度AB 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 教学楼 B 测量步骤 (1)在教学楼外，选定一点C: (2)测量教学楼顶点A视线AC与地面夹角∠ACB; (3)测BC的长度； (4)放置一根与BC长度相同的标杆DE,DE垂直于地面： (5)测量标杆顶部E视线与地面夹角∠ECD和CD的长度. 测量数据 ∠ACB=68°，∠ECD=22°，BC=DE=2.5m,CD=12m 请你根据兴趣小组测量方案及数据，求教学楼高度AB的值. 【分析】先证明∠BAC=∠ECD,再证明△ABC≌△CDE(AAS),得到AB=CD,即可求解. 【解答】解：AB⊥BC,DE⊥BC, ∴.∠ABC=∠CDE=90°， ,∠ACB=68°， ∴.∠BAC=90°-∠ACB=90°-68°=22°， .∠ECD=22°， .∠BAC=∠ECD, 在△ABC与△CDE中， (∠BAC=∠DCE ∠ABC=∠CDE, BC=DE '.△ABC≌△CDE(AAS), ..AB=CD, .CD=12m, .AB=12m, 答：教学楼高度AB为12m. 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键， 20.如图，∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O (1)求证：△AEC≌△BED: (2)若∠1=40°，求∠BDE的度数. 2入 【分析】(1)根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED: (2)由(1)可知：EC=ED,∠C=∠BDE,根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可 求出∠BDE的度数； 【解答】证明：(1)AE和BD相交于点O, ∴.∠AOD=∠BOE. 在△AOD和△BOE中， ∠A=∠B,∴.∠BEO=∠2. 又.∠1=∠2， .∠1=∠BEO, ∴.∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中， (LA=∠B AE=BE N∠AEC=∠BED ∴.△AEC≌△BED(ASA). (2).'△AEC≌△BED, ∴.EC=ED,∠C=∠BDE. 在△EDC中， .EC=ED,∠1=40°， ∴.∠C=∠EDC=70°， .∠BDE=∠C=70°. 【点评】本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等 题型。 21.如图，△ABC中，∠B=2∠A,∠ACB的平分线CD交AB于点D,已知AC=16,BC=9,则BD 的长？ B 【分析】在AC上截取CE=CB,连接DE,利用已知条件求证△CBD≌△CED(SAS),然后可得 BD=ED,∠B=∠CED,再利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定求证CE=DE,然后问题 可解。 【解答】解：如图，在AC上截取CE=CB,连接DE, ,∠ACB的平分线CD交AB于点D, ∴.∠BCD=∠ECD. 在△CBD与△CED中， (CB=CE LBCD=LECD, CD-CD ..△CBD≌△CED(SAS), ∴.BD=ED,CE=BC,∠B=∠CED, ,∠B=2∠A,∠CED=∠A+∠ADE, ∴.∠CED=2∠A, ∴.∠A=∠EDA, ..AE=ED ..AE=BD, .AC=16,BC=9, ..BD=ED=AC-CE=AC-BC=16-9=7. 故答案为：7 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握还涉及三角形的 外角性质、等腰三角形的判定，证明此题的关键是在AC上截取CE=CB,连接DE,利用已知条 件求证△CBD≌△CED,此题难易程度适中，适合学生的训练. 22.如图，△ACD和△BCE都是等腰三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AC=DC,BC=EC,AE交 CD于点F,BD分别交CE,AE于点G,H.试猜想线段AE和BD的数量和位置关系，再说明理 由. D H G B 【分析】求得∠ACE=∠DCB,然后证明出△ACE≌△DCB(SAS),得到AE=BD,∠CAE=∠ CDB,又因为对顶角相等即∠AFC=∠DFH,得到∠DHF=∠ACD=90°，即AE⊥BD. 【解答】解：AE=BD,AE⊥BD.理由如下： .∠ACD=∠BCE=90°， '.∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE, .∠ACE=∠DCB, 在△ACE与△DCB中， (AC=DC ∠ACE=∠DCB, EC =BC '.△ACE≌△DCB(SAS), ∴.∠CAE=∠CDB,AE=BD, .'∠AFC=∠DFH,∠FAC+∠AFC=90°， ..∠DHF=∠ACD=90°， .AE⊥BD 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理. 23.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： B B D ② D E 图1 图2 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作 交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到△ADC2△EDB的理由是SAS; (2)求得AD的取值范围是1<AD≤Z; 【感倍】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把 分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中： 【问题解决】(3)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠DAB的角平分线AE交CD于E,连接 BE,且BE平分∠ABC,猜想： ①∠AEB的度数； ②BC,AD,AB的数量关系，说明理由. 【分析】(I)根据AD=DE,∠ADC=∠BDE,BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可： (2)根据全等三角形的判定与性质得出BE=AC=6,AE=2AD,由三角形三边关系定理得出8- 6<2AD<8+6,求出即可： (3)①根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABC+∠BAD=180°，又BE、AE都是角平分线， 可以推出∠ABE叶∠BAE=90°，从而得到∠AEB=90°： ②延长AE交BC的延长线于点F,先证明△ABE与△FBE全等，再根据全等三角形对应边相等得 到AE=EF,然后证明△AED与△FEC全等，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解. 【解答】(1)解：.在△ADC和△EDB中， (AD-DE ∠ADC=∠BDE, BD=CD .△ADC≌△EDB(SAS), 故答案为：S4S: (2)解：.由（1)知：△ADC≌△EDB, ∴.BE=AC=6,AE=2AD, 在△ABE中，AB=8, 由三角形三边关系定理得：8-6<2AD<8+6, .1<AD<7, 故答案为：1<AD<7. (3)①.AD∥BC, .∠ABC+∠BAD=180°， .'AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线， ∴∠BAE-=3∠BAD,∠ABE-∠ABC, ·∠BAEH∠ABE=（∠BAD+∠ABC)=90°， ∴.∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE)=180°-90°=90°； ②AB=BC+AD,理由如下： 如图2，延长AE交BC延长线于F, B E D 图2 .∠AEB=90°， ∴.BE⊥AF, .'BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠FBE, 在△ABE与△FBE中， (ABE=LFBE BE=BE (∠AEB=∠FEB=90° ∴.△ABE≌△FBE(ASA), ∴AB=BF,AE=FE, .AD∥BC, .∠EAD=∠F, 在△ADE与△FCE中， (LEAD=∠F AE-FE N∠AED=∠FEC .△ADE≌△FCE(ASA), ..AD=CF, ..AB=BF=BC+CF=BC+AD. 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线 的定义，证明BELAF并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高.