2.1直线的倾斜角与斜率同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1直线的倾斜角与斜率同步练习及答案解析 （2.1.1直线的倾斜角与斜率+2.1.2两条直线平行和垂直的判定） 一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 二、两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 1、 单项选择题 1. 直线的倾斜角是（     ） A．0 B． C．π D．不存在 2. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3. 以为顶点的四边形是（    ） A． 平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形 4. 已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为　(　　) A．1 B．0 C．0或2 D．0或1 5. 直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 6. 若直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A． B．3 C．5 D． 7. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 8. 已知点，，，是的垂心．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题 9. 已知直线，则（    ） A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 10. 下列命题中，正确的是（    ） A． 任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 B．平行于轴的直线的倾斜角是或 C．若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D．若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等 11. 已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 3、 填空题 12. 设为轴上的一点，，若直线的斜率是直线的斜率的2倍，则点的坐标为 . 13. 的顶点，若是以点为直角顶点的直角三角形，则 ． 14. 若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是______． 4、 简答题 15. 分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 16. 根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行. （1）直线经过点，直线经过点； （2）直线平行于y轴，直线经过点，； （3）直线经过点，直线经过点. 17. 已知直线l1经过，直线l2经过点. (1)若l1∥l2，求的值； (2)若l1⊥l2，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1直线的倾斜角与斜率同步练习及答案解析 （2.1.1直线的倾斜角与斜率+2.1.2两条直线平行和垂直的判定） 一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 二、两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 1、 单项选择题 1. 直线的倾斜角是（     ） A．0 B． C．π D．不存在 【答案】B 【分析】由给定直线的位置求出倾斜角即得. 【详解】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角是. 故选：B 2. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，. 故选：D. 3. 以为顶点的四边形是（    ） A． 平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形 【答案】D 【详解】   在坐标系中画出ABCD点，大致如上图，其中， ， ， 所以四边形ABCD是直角梯形； 故选：D. 4. 已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为　(　　) A．1 B．0 C．0或2 D．0或1 【答案】D 【详解】当AB与CD斜率均不存在时， 故得m=0，此时两直线平行； 此时AB∥CD，当kAB=kCD时，，得到m=1，此时AB∥CD. 故答案选D． 5. 直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分与两种情况，由直线垂直得到方程，求出的值. 【详解】当时，直线不成立，故舍去； 故，斜率，， ∴，∴，故选：A. 6. 若直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直得关系后转化为函数求解， 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，化简得， 所以，当且仅当时取“=”，所以的最小值为5，故选：C 7. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】由题意，设点， 为直角，， 由，， 解得或，所以点的坐标为或 故选：B 8. 已知点，，，是的垂心．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率，∴， ∴点C的坐标为．故选:。 2、 多项选择题 9. 已知直线，则（    ） A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或 C．若，则 D．若不经过第二象限，则 【答案】ACD 【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将化简得，结合一次函数的性质即可判断D. 【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确； 对B，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率， 直线的斜率，则有，即，解得或， 当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误； 对C，若，当时，显然不合题意，则，则， 即，解得，故C正确； 对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确； 故选：ACD. 10. 下列命题中，正确的是（    ） A． 任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 B．平行于轴的直线的倾斜角是或 C．若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等 D．若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等 【答案】AC 【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，A对； 对于B选项，平行于轴的直线的倾斜角是，B错； 对于C选项，若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等，C对； 对于D选项，若两条直线的倾斜角都是直角时，则这两条直线的斜率都不存在，D错. 故选：AC. 11. 已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设轴上点或轴上点，根据斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】设轴上点或轴上点， 因为直线的倾斜角为，可得，得， 解得，故点的坐标为或. 故选：BD. 3、 填空题 12. 设为轴上的一点，，若直线的斜率是直线的斜率的2倍，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】设，由条件，则，解得，故. 13. 的顶点，若是以点为直角顶点的直角三角形，则 ． 【答案】 【分析】用两直线垂直的定义计算即可. 【详解】由为直角顶点可得为直角，则， 所以， 即，解得. 故值为. 14. 若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是______． 【答案】 【详解】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，. ①由于斜率都存在，若，则，此命题正确； ②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确； ③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确； ④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确； 所以正确的命题个数是4． 故答案为：． 4、 简答题 15. 分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为；(2)存在，斜率为，倾斜角为； (3)存在，斜率为，倾斜角为； (4)不存在. 【详解】（1）解：因为， 所以经过的直线斜率存在，所以斜率为， 设倾斜角为，则，故，即倾斜角为 （2）解：因为， 所以经过的直线斜率存在，所以斜率为， 设倾斜角为，则，故，即倾斜角为. （3）解：因为，所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为， 设倾斜角为，则，故，即倾斜角为. （4）解：因为，所以经过的直线斜率不存在。 16. 根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行. （1）直线经过点，直线经过点； （2）直线平行于y轴，直线经过点，； （3）直线经过点，直线经过点. 【答案】（1）不平行；（2）平行；（3）不平行. 【详解】解：（1）直线的斜率，直线的斜率，显然，所以直线与不平行. （2）直线与y轴重合，所以直线与平行. （3）直线的斜率，直线的斜率，所以，又，所以E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行. 17. 已知直线l1经过，直线l2经过点. (1)若l1∥l2，求的值； (2)若l1⊥l2，求的值. 【答案】(1)＝1或＝6 (2)＝3或＝－4 【分析】（1）由两直线的斜率相等列方程可求出的值，（2）由k1k2＝－1，可求出的值. 【详解】（1）由题知直线l2的斜率存在且， 若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2， 得，解得m＝1或m＝6， 经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2. （2）若l1⊥l2，当k2＝0时， 此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意； 当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0， 则直线l1的斜率也存在，且k1k2＝－1， 即， 解得m＝3或m＝－4， 所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2. 学科网（北京）股份有限公司 $