2.1直线的倾斜角与斜率（分层作业，16大题型）高二数学人教A版选择性必修第一册

分层作业 2.1 直线的倾斜角与斜率 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线的倾斜角 题型02 直线斜率的定义 题型03 斜率与倾斜角的变化关系 题型04 已知两点求斜率 题型05 斜率公式的应用 题型06 由斜率判断两条直线平行 题型07 由斜率判断两条直线垂直 题型08 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 B组 能力进阶 题型01 已知斜率求参数 题型02 直线与线段的相交关系求斜率的范围 题型03 已知直线平行求参数 题型04 已知直线垂直求参数 题型05 斜率中的三点共线 题型06 直线的方向向量与斜率 C组 思维拔高 题型01 代数式的几何意义——斜率模型 题型02 直线的倾斜角与斜率的综合应用 直线的倾斜角题型01 1．直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C．不存在 D． 2．下列图中能表示直线l的倾斜角的是（    ） A． B． C． D． 3．平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 4．已知直线的斜率等于，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西萍乡·期末）经过两点，的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北武汉·月考）下列叙述正确的是（   ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 C．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 8．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 直线斜率的定义题型02 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（     ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 2．（25-26高二上·河北石家庄·联考）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； ②平行于x轴的直线的倾斜角为或； ③若直线过点与，则该直线的斜率为． 其中正确说法的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．以下四个命题，正确的是（    ） A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135° B．经过两点的直线的倾斜角为锐角 C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应 D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 5．“直线经过第一、二、四象限”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 斜率与倾斜角的变化关系题型03 1．图中的直线的斜率分别为，则有（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北十堰·期中）某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·联考）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 4．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是_____. 已知两点求斜率题型04 1．已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 2．（25-26高二上·质检）已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（   ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·月考）已知直线l经过两点，，那么直线l的斜率为（   ） A． B． C． D．3 4．（24-25高二上·广西玉林·期中）经过两点的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·北京·月考）已知点，，直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 6．若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 7．已知点，点，则直线的倾斜角为_______． 8．（25-26高二上·上海·月考）已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 斜率公式的应用题型05 1．直线l经过，两点，那么直线l的斜率的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．已知，，若在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏盐城·联考）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 由斜率判断两条直线平行题型06 1．直线与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．由m决定 2．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合 4．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 5．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 6．设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7．（24-25高二上·云南·期中）已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是______. 8．判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 由斜率判断两条直线垂直题型07 1．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 2．在平面直角坐标系中，两条直线（    ）时候垂直？ A．斜率之积为-1时 B．两条直线有1个公共点的时候 C．两条直线分别与坐标轴垂直的时候 D．以上答案均不正确 3．若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合 4．下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（24-25高二上·陕西渭南·质检）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 7．（25-26高二上·山东济南·月考）两直线，的方程分别为和为实常数，为第三象限角，则两直线，的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 8．已知三点，则△ABC为__________ 三角形. 直线平行、垂直的判定在几何中的应用题型08 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．（26-27高二上·河南·月考）已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______． 5．（24-25高二上·贵州六盘水·期中），，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 6．（24-25高二上·广西南宁·月考）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 7．已知直线的方程为． （Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程； （Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 8．（24-25高二上·四川广安·月考）已知. (1)若四点可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下若点在第四象限的情况下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 已知斜率求参数题型01 1．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知点，，若直线AB的斜率为2，则   ） A．7 B．3 C．1 D．9 2．经过两点的直线的斜率是12，则等于（    ） A． B． C．3 D．1 3．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若直线的倾斜角等于，则实数   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（    ） A． B．0 C． D． 5．直线的倾斜角为，则实数满足的关系是　（　 　） A． B． C． D． 6．已知点在轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为，则点P的坐标为 A．（0，3） B．（0，-1） C．（3,0） D．（-1,0） 7．若过两点，的直线的倾斜角为，则    ） A．-2或-1 B．1 C．-1 D．-2 8．已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 直线与线段的相交关系求斜率的范围题型02 1．（25-26高二上·广东惠州·月考）直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 2．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 3．（25-26高二上·安徽·质检）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏镇江·质检）已知点，，若直线与线段相交，则实数k的取值范围是（    ）． A．或 B．或 C．或 D． 5．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 7．已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 8．已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，． (1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围． 已知直线平行求参数题型03 1．直线与平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．若直线：与直线：互相平行，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知点，且直线MN与直线平行，则   ） A． B． C．2 D．-2 4．直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 5．已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，，，，且直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．0或1 7．已知集合，．若，则实数________． 8．（24-25高二上·广东河源·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 已知直线垂直求参数题型04 1．（24-25高二·江苏淮安·月考）若直线与直线互相垂直，则实数的值是（    ） A．1 B．－1 C．4 D．－4 2．（24-25高二上·安徽·期末）平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）直线与直线垂直，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高二上·广东·联考）已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 5．直线：，：，则“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（25-26高二上·四川巴中·月考）已知直线，，且，则_____. 7．过点与直线垂直的直线方程是___________. 8．已知直线，与直线． （1）若，求的值； （2）若，求的值. 斜率中的三点共线题型05 1．（25-26高二上·江苏淮安·月考）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若，，三点共线，则实数m的值为 （    ） A． B．2 C． D．3 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5 5．（25-26高二上·天津·月考）已知，，三点共线，则________. 6．（24-25高二上·吉林白城·期中）已知，，三点，这三点__________ 7．已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________. 8．（24-25高二上·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则________． 直线的方向向量与斜率题型06 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）如果直线l先沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高二下·甘肃·期末）已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若直线l的倾斜角为，则l的一个方向向量可以是______.(只需填写一个) 4．若直线的一个方向向量为则实数______. 5．（25-26高二上·上海·月考）已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角__________． 代数式的几何意义——斜率模型题型01 1．若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是 （　  ） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 2．（24-25高二下·北京·期末）已知函数，对于实数，，已知，设，，，则（    ） A．时，有 B．时，有 C．时，有 D．时，有 3．已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是_________． 4．（24-25高二上·河南·联考）已知实数满足，且，则的最小值为__________. 5．点在函数的图象上，当，则的取值范围为______. 6．已知点在直线上，且满足，则的取值范围为_______． 7．已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值. 8．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 直线的倾斜角与斜率的综合应用题型02 1．（24-25高二上·天津·质检）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知为直线的倾斜角，则    ） A． B． C． D． 4．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则    ） A． B． C．2 D． 6．（25-26高二下·上海·期中）直线与的夹角的大小为_______． 7．直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为 ________  . 8．已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1 直线的倾斜角与斜率 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 直线的倾斜角 题型02 直线斜率的定义 题型03 斜率与倾斜角的变化关系 题型04 已知两点求斜率 题型05 斜率公式的应用 题型06 由斜率判断两条直线平行 题型07 由斜率判断两条直线垂直 题型08 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 B组 能力进阶 题型01 已知斜率求参数 题型02 直线与线段的相交关系求斜率的范围 题型03 已知直线平行求参数 题型04 已知直线垂直求参数 题型05 斜率中的三点共线 题型06 直线的方向向量与斜率 C组 思维拔高 题型01 代数式的几何意义——斜率模型 题型02 直线的倾斜角与斜率的综合应用 直线的倾斜角题型01 1．直线的倾斜角为（    ） A．0 B． C．不存在 D． 【答案】B 【分析】由直线的图像可得倾斜角. 【详解】直线的图像与轴垂直， 故其倾斜角为. 故选：B 2．下列图中能表示直线l的倾斜角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角的概念直接判断即可. 【详解】由倾斜角的定义，直线向上的方向与x轴正向之间所成角为倾斜角， 可知只有选项A中的表示直线l的倾斜角. 故选：A 3．平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角的定义得到答案. 【详解】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为. 故选：C 4．已知直线的斜率等于，则该直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可得到答案. 【详解】设该直线的倾斜角为，，则，. 故选：D. 5．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程求得直线的斜率，由此求得直线倾斜角. 【详解】依题意可知直线的斜率为，故倾斜角为，故选B. 【点睛】本小题主要考查直线斜率与倾斜角，属于基础题. 6．（25-26高二上·江西萍乡·期末）经过两点，的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可求出直线的斜率，根据直线的倾斜角和斜率的关系，即可求得答案. 【详解】由题意知经过两点，的直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，故， 故选：C 7．（25-26高二上·湖北武汉·月考）下列叙述正确的是（   ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 C．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】B 【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断各选项即可. 【详解】选项A：当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故A错误； 选项B：与轴垂直的直线倾斜角为，与轴垂直的直线倾斜角为，所以选项B正确； 选项C：平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，而倾斜角为的直线的斜率不存在，所以选项C错误； 选项D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，故D错误． 故选：B. 8．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可. 【详解】由题意可将原直线方程变形为， 由倾斜角的取值范围，所以倾斜角为.即A、 B 、C错误. 故选：D. 直线斜率的定义题型02 1．在平面直角坐标系中，直线的斜率为（     ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线过点且垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 2．（25-26高二上·河北石家庄·联考）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整理直线方程，即可求得斜率. 【详解】由直线，可得，所以直线的斜率为. 故选：D. 3．关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； ②平行于x轴的直线的倾斜角为或； ③若直线过点与，则该直线的斜率为． 其中正确说法的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】对于①：举反例：倾斜角均为，斜率不存在.否定结论；对于②：由倾斜角的范围直接判断；对于③：举反例：当时，过点与的直线的斜率不存在.否定结论 【详解】若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在.所以①不正确； 直角倾斜角的取值范围为[,)，所以平行于x轴的直线的倾斜角为不可能是.所以②不正确； 当时，过点与的直线的斜率不存在；当时过点与的直线的斜率为.所以③不正确. 故选：D. 4．以下四个命题，正确的是（    ） A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135° B．经过两点的直线的倾斜角为锐角 C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应 D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 【答案】D 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念依次判断选项即可. 【详解】A：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为，故A错误； B：过点A、B的直线的斜率为， 即(为直线的倾斜角)，则为钝角，故B错误； C：当直线的倾斜角为时，该直线的斜率不存在，故C错误； D：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D正确. 故选：D. 5．“直线经过第一、二、四象限”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先利用直线经过第一、二、四象限求得k的取值范围，进而得到其与“”逻辑关系. 【详解】要使 经过第一、二、四象限， 则 ，解得： ， 因此，“直线经过一、二、四象限” 是“”的充要条件． 故选：C 斜率与倾斜角的变化关系题型03 1．图中的直线的斜率分别为，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果. 【详解】由图象可得，， 故选：C 2．（25-26高二上·湖北十堰·期中）某直线的斜率为，则此直线的倾斜角为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】设该直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 故选：C. 3．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·联考）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 4．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故选：C 5．已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解. 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 6．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围. 【详解】因为直线的斜率为，且， ，因为， . 故选：A. 7．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分和两种情况讨论，再结合的图像，即可求出结果. 【详解】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上，    故选：C. 8．若直线的斜率为，倾斜角为且，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系来得答案. 【详解】，且， 或， 即的取值范围是. 故答案为：. 已知两点求斜率题型04 1．已知直线经过点，则直线的斜率为（  ） A．-3 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 2．（25-26高二上·质检）已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的计算公式求解即可. 【详解】因为直线l经过点，， 所以直线l的斜率为. 故选：C. 3．（25-26高二上·北京·月考）已知直线l经过两点，，那么直线l的斜率为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据斜率公式求得直线的斜率. 【详解】， 故选：C 4．（24-25高二上·广西玉林·期中）经过两点的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率的两点式公式和定义求解. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则， 又，所以. 故选：B 5．（25-26高二上·北京·月考）已知点，，直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点斜率公式求斜率，结合倾斜角与斜率关系求倾斜角. 【详解】点，，则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 6．若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，写出平移后点的坐标，由此点也在原直线上，计算斜率即可． 【详解】解：设是直线上任意一点，则平移后得点， 则直线的斜率． 故选：A． 7．已知点，点，则直线的倾斜角为_______． 【答案】 【分析】利用两点斜率公式结合三角恒等变换求得，从而可得倾斜角； 【详解】设直线的倾斜角为， 则 ， 所以直线的倾斜角为； 故答案为：. 8．（25-26高二上·上海·月考）已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）根据斜率的两点式及斜率与倾斜角的关系列方程求参数值； （2）应用斜率两点式求斜率，注意参数取值. 【详解】（1）由题设，可得，即； （2）由题设，当时，直线不存在斜率， 所以，则. 斜率公式的应用题型05 1．直线l经过，两点，那么直线l的斜率的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间斜率公式得到. 【详解】，故那么直线l的斜率的取值范围为. 故选：B 2．已知，，若在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，所以，结合即可求出答案. 【详解】因为点在线段上， 所以，且， 即，所以， 设， 所以当时，. 故选：D. 3．（25-26高二上·江苏盐城·联考）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1) (2)直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 由斜率判断两条直线平行题型06 1．直线与直线的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．由m决定 【答案】A 【分析】本题首先可以根据题意得出两直线的斜率，然后观察两直线斜率之间的关系，通过两直线的斜率的关系即可得出结果． 【详解】由题意可知直线与直线斜率分别为和， 所以两直线的斜率既不相等，且乘积也不为-1， 故直线与直线的位置关系是相交，故选A． 【点睛】本题考查了直线与直线的位置关系，如果两直线的斜率相等，那么直线的关系是平行或者重合，如果两直线的斜率乘积为，则两直线相互垂直，属于基础题． 2．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 3．直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，根据，的斜率关系，即可求解. 【详解】由点，，可求得直线的斜率， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 则有，则直线与直线平行或重合. 故选： D. 4．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线位置关系与斜率的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 5．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断． 【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确； 由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确， 所以正确的命题个数是4． 故选：D． 6．设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】分均不为0和有且只有一个为0两种情况讨论，分别证得充分性和必要性即可得出结论. 【详解】当直线斜率都存在即均不为0时，若“、相交”，则两直线的斜率不相等，得，即，当直线斜率有一个不存在即有且只有一个为0时，也成立，故充分性成立； 反之，均不为0时，若“”，则，则两直线的斜率不相等，即、相交，有且只有一个为0时，、也相交，故必要性成立；综上，则“、相交”是“”的充要条件， 故选：C. 7．（24-25高二上·云南·期中）已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是______. 【答案】⑤ 【分析】根据直线平行、垂直，以及充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若，则可能、的斜率都不存在，故不能得到； 若，则可能、重合，故不能得到， 所以①②③错误. 若，则可能的斜率不存在，的斜率为，故不能得到； 若，，则， 所以⑤正确，④⑥错误. 故答案为：⑤ 8．判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 【答案】(1)平行 (2)垂直 (3)(I);(II) 【分析】（1）分别求出两直线方程，根据斜率关系即可判断； （2）求出直线的斜率，根据斜率关系即可判断； （3）(I)根据两条平行直线的斜率关系即可求解；(II)根据两条垂直直线的斜率关系即可求解. 【详解】（1）因为直线经过两点，所以，则直线的方程为：； 因为直线经过且斜率为1，所以直线方程为：， 则直线与直线平行. （2）因为直线经过两点，所以， 因为直线的斜率为， 所以， 则直线与直线垂直. （3）因为直线过， 所以； (I)当直线与直线平行时；则，解得： (II) 当直线与直线垂直时则，解得： 由斜率判断两条直线垂直题型07 1．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系. 【详解】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A 2．在平面直角坐标系中，两条直线（    ）时候垂直？ A．斜率之积为-1时 B．两条直线有1个公共点的时候 C．两条直线分别与坐标轴垂直的时候 D．以上答案均不正确 【答案】A 【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确 对于B：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误 对于C：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是同一坐标轴，那么平行，错误 对于D：错误 故选：A 3．若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合 【答案】B 【分析】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可. 【详解】因为直线经过点，， 所以直线的斜率为：， 又因为， 所以两直线垂直， 故选：B 4．下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断. 【详解】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为， 故两直线平行，故A错误； 对于B：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误； 对于C：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误； 对于D：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积为，即两直线垂直，故D正确； 故选：D 5．“两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】根据两直线垂直与斜率的关系判断即可得到结果. 【详解】当两条直线斜率乘积为时，两条直线互相垂直，充分性成立； 当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立； “两条直线的斜率乘积为”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（24-25高二上·陕西渭南·质检）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 【答案】B 【分析】判断两条直线的位置关系，分类讨论，通过计算斜率的乘积来确定即可. 【详解】当、都不为时,直线的斜率为，直线的斜率为.因为两条直线斜率的乘积为：，所以两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率不存在. 直线可化为，其斜率为，此时两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率为. 直线可化为，其斜率不存在，此时两条直线垂直. 故选：B. 7．（25-26高二上·山东济南·月考）两直线，的方程分别为和为实常数，为第三象限角，则两直线，的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的结论判断. 【详解】因为为第三象限角， 所以， 故两直线垂直. 故选：A 8．已知三点，则△ABC为__________ 三角形. 【答案】直角 【分析】根据直线斜率关系即得. 【详解】如图，猜想是直角三角形， 由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率， 由，得即， 所以是直角三角形. 故答案为：直角. 直线平行、垂直的判定在几何中的应用题型08 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 2．（26-27高二上·河南·月考）已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为，且，所以. 又因为，，所以，解得，因此. 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 4．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______． 【答案】， 【分析】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2，结合倾斜角与斜率的关系求出，利用正方形的性质即可得到答案． 【详解】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则， 解得，故， 根据垂直关系可得另一条边的斜率为， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，． 故答案为：；． 5．（24-25高二上·贵州六盘水·期中），，，判断，，三点是否在同一条直线上； （2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直. 【答案】（1）三点在同一直线上； （2）与互相垂直 【分析】（1）计算可得，可得结论； （2）计算可得，可得结论. 【详解】（1）因为，，， 所以，又直线均过点， 所以点三点在同一条直线上； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过，两点，所以， 所以，所以与互相垂直. 6．（24-25高二上·广西南宁·月考）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1) (2)四边形为直角梯形 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 7．已知直线的方程为． （Ⅰ）直线与垂直，且过点（1，-3），求直线的方程； （Ⅱ）直线与平行，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线的方程． 【答案】（1）（2）直线的方程为：或 【详解】试题分析：（1）由直线与垂直，可设直线的方程为：，将点 代入方程解得，从而可得直线的方程；(2)由直线与平行，可设直线的方程，由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，解得可得直线的方程. 试题解析：（1）设直线的方程为：     直线过点（1，-3），     解得     直线的方程为：． (2)设直线的方程为：    令，得；令，得    则，得   直线的方程为：或． 8．（24-25高二上·四川广安·月考）已知. (1)若四点可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下若点在第四象限的情况下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)或或 (2)不是菱形 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为即可. 【详解】（1）由题意得，，， 设，若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上所述，点的坐标为或或. （2）若的坐标为，因为， 直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 已知斜率求参数题型01 1．（25-26高二上·甘肃酒泉·月考）已知点，，若直线AB的斜率为2，则   ） A．7 B．3 C．1 D．9 【答案】D 【分析】由斜率的定义式计算即可. 【详解】因为点，， 所以直线AB的斜率为． 由题意得，解得. 故选：D． 2．经过两点的直线的斜率是12，则等于（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】由斜率公式可得答案. 【详解】由题可得，由斜率公式， . 故选：A 3．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若直线的倾斜角等于，则实数   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，故. 故选：A. 4．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知直线l上两点，，若直线l的倾斜角为，则实数n的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可. 【详解】因为点，在直线l上，直线l的倾斜角为， 所以直线l的斜率为，解得. 故选：A. 5．直线的倾斜角为，则实数满足的关系是　（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：由题意得到直线的斜率，根据倾斜角为可得所求关系． 详解：由题意得直线的斜率存在，且为， 又直线的倾斜角为， ∴， ∴， ∴． 故选A． 点睛：本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，解题时利用直线的斜率存在且倾斜角为θ时有求解即可． 6．已知点在轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为，则点P的坐标为 A．（0，3） B．（0，-1） C．（3,0） D．（-1,0） 【答案】C 【分析】首先设出点P的坐标，然后结合三角函数的定义解方程即可确定点的坐标. 【详解】设点P的坐标为，由斜率的定义可知：， 即，解得：.故点P的坐标为（3,0）. 故选C. 【点睛】本题主要考查斜率的定义，特殊角的三角函数值的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．若过两点，的直线的倾斜角为，则    ） A．-2或-1 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【解析】由题意可得，故有，由此求得实数的值. 【详解】过两点，的直线的倾斜角为， 则有， 即， 即且， 解得， 故选：D. 【点睛】易错点睛：该题考查的是根据过两点的直线的倾斜角求参数的取值问题，在解题时应注意： （1）利用两点斜率坐标公式，得到参数满足的等量关系式； （2）在求解的过程中，分母不等于零常被忽略，导致错误. 8．已知点，直线的倾斜角，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，再利用表示斜率，解不等式即可． 【详解】因为直线的倾斜角，可得直线的斜率， 又因为，可得直线的斜率，解得， 即的范围为， 故答案为：． 直线与线段的相交关系求斜率的范围题型02 1．（25-26高二上·广东惠州·月考）直线过点与以为端点的线段有公共点， 则直线倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】求出直线的倾斜角，直线的倾斜角，结合图形可得结果． 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，从而， 设直线的倾斜角为，， 则，从而， 要使直线与线段有公共点， 结合图形可知，直线倾斜角的范围是：， 故选：A. 2．已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案. 【详解】根据题意，，，， 则，， 结合图象可得直线的斜率k的取值范围是. 故选：D.    3．（25-26高二上·安徽·质检）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【详解】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 4．（25-26高二上·江苏镇江·质检）已知点，，若直线与线段相交，则实数k的取值范围是（    ）． A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】由直线与线段相交，则线段的两端点在直线的两侧或在直线上，即可列式求解. 【详解】因为直线与线段相交，所以， 解得. 故选：D. 5．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，设l的倾斜角为，l的斜率为 k，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点斜率公式可求解斜率，进而得，然后求解三角不等式得答案． 【详解】设直线的倾斜角为， , 所以，即， 由题意知：， 解得：或． 倾斜角的取值范围是 故BCD错误，A正确， 故选：A 6．（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 【答案】 【分析】作出图形，根据直线上两点分别求出直线的斜率，进而求得两直线的倾斜角，结合图形，即得答案. 【详解】    如图，先求出直线的斜率分别为：， 则可得直线的倾斜角分别为， 由图知，要使直线与线段没有公共点，需使直线的倾斜角满足， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为：. 7．已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 8．已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，． (1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围． 【答案】(1)直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为 (2) 【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可； （2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可． 【详解】（1）由斜率公式得：， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， ∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为； （2）如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时， 直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到， ∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为． 已知直线平行求参数题型03 1．直线与平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由两直线平行得斜率相等且截距不等，即可得解. 【详解】直线与平行，且的斜率为2， 它们在轴上的截距不相等，且直线的斜率也为2， 即. 故选：D. 2．若直线：与直线：互相平行，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据平行线的性质进行求解即可. 【详解】由题意，，解得， 此时，，满足题意. 故选：C. 3．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知点，且直线MN与直线平行，则   ） A． B． C．2 D．-2 【答案】B 【分析】求得直线MN的斜率，结合题意可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 又直线MN与直线平行，所以，解得. 故选：B. 4．直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】A 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 5．已知直线与直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行斜率的关系结合充分性和必要性的概念求解即可. 【详解】当时，直线与直线的斜率均为，所以，充分性成立； 当时，，由解得， 又当时与重合， 所以，必要性成立， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 6．已知，，，，且直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．0或1 【答案】D 【分析】分直线与的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式，解之即可. 【详解】当直线与的斜率不存在，即时，直线AB的方程为：，直线CD的方程为：，显然，满足题意. ②当直线与的斜率存在，即时，直线AB的斜率，直线CD的斜率 要使直线与平行，须，即，解得：或（舍） 当时，直线AB的方程为：，直线CD的方程为：，显然，满足题意.故. 综上所述，或. 故选：D. 7．已知集合，．若，则实数________． 【答案】3 【分析】由题意可知直线与直线互相平行，由此可求出或，再代入检验即可得出答案. 【详解】因为，所以直线与直线没有交点， 所以直线与直线互相平行， 所以，解得或， 当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足； 当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足， 所以的值为3. 故答案为：3. 8．（24-25高二上·广东河源·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 已知直线垂直求参数题型04 1．（24-25高二·江苏淮安·月考）若直线与直线互相垂直，则实数的值是（    ） A．1 B．－1 C．4 D．－4 【答案】B 【分析】直接利用两直线垂直时系数的关系求解即可. 【详解】由题可知，，解得. 故选：B 2．（24-25高二上·安徽·期末）平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角为，求出直线的斜率；再根据两直线与垂直，斜率积为，从而求出的斜率. 【详解】因，所以， 易知，故直线的斜率为. 故选：B. 3．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）直线与直线垂直，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据互相垂直两直线方程系数的关系进行求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以. 故选：C 4．（25-26高二上·广东·联考）已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标，利用垂直关系，结合斜率公式列式求解. 【详解】设点，则直线的斜率必存在，分别为， 由，得，即， 而，解得，点的纵坐标为. 故选：A 5．直线：，：，则“或”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义 【详解】当时，直线：，：，两直线倾斜角分别为和，； 当时，直线的斜率为，的斜率为9，，. 充分性成立， 直线：，：，若， 则有，解得或. 必要性成立. 所以“或”是“”的充要条件. 故选：C 6．（25-26高二上·四川巴中·月考）已知直线，，且，则_____. 【答案】 【分析】根据两直线垂直的充要条件可求出的值. 【详解】因为直线，，且， 所以，解得. 故答案为：. 7．过点与直线垂直的直线方程是___________. 【答案】 【解析】设与垂直的直线方程为，利用过的点，求出即可. 【详解】设所求直线为 过点，故 直线方程为 故答案为： 8．已知直线，与直线． （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）1. 【分析】（1）根据垂直时直线的一般式方程中系数间的关系求解参数； （2）根据平行时直线的一般式方程中系数间的关系求解参数（注意是否重合）. 【详解】（1） （2）或 时，重合，舍去，所以. 【点睛】已知直线： （1）若两直线垂直，则有：； （2）若两直线平行，则有：且. 斜率中的三点共线题型05 1．（25-26高二上·江苏淮安·月考）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误； 故选：C. 2．若，，三点共线，则实数m的值为 （    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】先判定斜率存在，再由三点共线可得，任意两个点组成直线斜率相等即可得结果 【详解】因为，直线斜率存在，，，三点共线，则， 即，解得． 故选：D 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 4．已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5 【答案】C 【解析】根据，知直线斜率存在，利用斜率相等求解. 【详解】因为三点，，在同一条直线上，且直线斜率存在， 所以， 解得或 故选：C 5．（25-26高二上·天津·月考）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【分析】利用三点共线有，结合斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题意，则，即. 故答案为： 6．（24-25高二上·吉林白城·期中）已知，，三点，这三点__________ 【答案】是 【分析】通过计算斜率来进行判断. 【详解】由题意可知直线的斜率， 直线的斜率. 因为， 即两条直线的斜率相同， 并且它们过同一点， 所以，，三点在同一直线上． 故答案为：是 7．已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________. 【答案】 【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值. 【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得， 故答案为：4 8．（24-25高二上·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则________． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】解：因为三点共线， 所以， 又因为， 所以， 整理得：， 即， 又因为， 解得. 故答案为： 直线的方向向量与斜率题型06 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）如果直线l先沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设点为直线上任意一点，根据直线平移的性质得到平移后的点，再利用平移后回到原位置得出直线斜率，最后代入坐标求解． 【详解】直线l先沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置， 设点为直线上任意一点，则平移后得到，而直线平移后位置没变，故的斜率， 直线的斜率． 故选：C． 2．（25-26高二下·甘肃·期末）已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，求得直线的一个方向向量为，结合向量垂直的坐标表示，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，直线的一个方向向量为， 又由直线的方向向量为，设， 当时，可得，此时， 所以，即充分性成立； 反之：若，可得，所以， 解得，所以必要性成立， 综上可得，“”是“”的充要条件. 3．若直线l的倾斜角为，则l的一个方向向量可以是______.(只需填写一个) 【答案】 【解析】利用直线倾斜角确定直线斜率，进而确定方向向量的横纵坐标之比，写出方向向量. 【详解】直线l的倾斜角为，故直线的斜率， 故方向向量的横纵坐标之比为， 故可以是， 故答案为：. 4．若直线的一个方向向量为则实数______. 【答案】1. 【分析】求出直线的斜率，即可求解. 【详解】斜率为， 直线一个方向向量为 ，解得. 故答案为:1. 【点睛】本题考查直线方向向量与直线方程的关系，属于基础题. 5．（25-26高二上·上海·月考）已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角__________． 【答案】 【分析】先由直线的法向量求出直线的方向向量，从而可求出直线的斜率，利用反三角函数进而可求出直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个法向量为，所以取直线的一个方向向量为 所以直线的斜率为 所以 ，所以 所以. 故答案为：. 代数式的几何意义——斜率模型题型01 1．若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是 （　  ） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 【答案】B 【分析】把,,分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率，对照图象可得答案． 【详解】 由题意可得，,,分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率， 结合图象可知当时，>>． 故选：B． 2．（24-25高二下·北京·期末）已知函数，对于实数，，已知，设，，，则（    ） A．时，有 B．时，有 C．时，有 D．时，有 【答案】D 【分析】设三点都在函数的图象上，且三点的横坐标为，记点关于原点的对称点为点，则，通过画图即可求解. 【详解】如图所示，取，设三点都在函数的图象上，且三点的横坐标为， 记点关于原点的对称点为点， 则，，， 其中分别表示直线的斜率， 由图可知，故排除C， 现在我们说明当时，有，即可说明D正确， 如图所示，当时，有， 如图所示，当时，有， 故D正确； 对于AB，如图所示，当时，有，排除AB. 故选：D. 3．已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·河南·联考）已知实数满足，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】为线段上的点与点的连线的斜率，画出相应图形，易得即为的最小值，计算即可得. 【详解】为线段（如图中的）上的点与点的连线的斜率， 如图，当点在点时，取最小，此时， 则，即的最小值为.    故答案为：. 5．点在函数的图象上，当，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：.    6．已知点在直线上，且满足，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】作出直线，找到满足的点的位置，结合斜率的定义得结论． 【详解】如图，作出直线及，它们的交点为， 直线上满足的点在点右下方， ，又直线的斜率为，， 由图可得的范围是． 故答案为：． 7．已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值. 【答案】最大值为3，最小值为 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】由于点满足关系式，且， 可知点在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为，. 令，易得的几何意义是直线PQ的斜率，且，， 如图： 所以的最大值为3，最小值为. 8．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 直线的倾斜角与斜率的综合应用题型02 1．（24-25高二上·天津·质检）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． 2．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知直线斜率可以求得，再根据二倍角公式可以求得. 【详解】由直线可知，，， 则. 故选：C 3．已知为直线的倾斜角，则    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得，利用二倍角公式及齐次式可得结果. 【详解】∵为直线的倾斜角， ∴直线斜率， ∴. 故选：A. 4．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】首先充分性验证：通过举反例直接否定充分性; 必要性验证：设()，由推出，进而得. 【详解】直线的斜率(，且). 充分性，已知，设，，则，，，，则充分性不成立. 必要性，由可知，异号，设： ，则； ，令()，则. 已知，代入得， 即. 因为正切函数在上单调递增， 所以，所以， 又因为，所以，代入得 化简得，所以， 必要性成立. 故选：B 5．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】不妨设直线的倾斜角为，则直线的斜率分别为，由得到，由，得到的方程，计算得解. 【详解】不妨设直线的倾斜角为， 则直线的斜率分别为， ，， 又，，即． 又，， 化简得， 解得（负值舍去）． 故选：D. 6．（25-26高二下·上海·期中）直线与的夹角的大小为_______． 【答案】 【分析】根据直线的方程求直线的斜率，根据直线的斜率求直线的倾斜角，从而得到两条直线的夹角． 【详解】因为直线的斜率不存在，故它的倾斜角为， 又的斜率为，故它的倾斜角为， 故这两条直线的夹角的大小为． 7．直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为 ________  . 【答案】## 【分析】求出旋转后的倾斜角再求斜率即可. 【详解】因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点逆时针旋转60°后，得到直线的倾斜角，斜率． 故答案为：． 8．已知直线经过点,直线的倾斜角是直线倾斜角的一半,则直线的斜率为__________. 【答案】5 【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率,进一步得到直线的倾斜角的正切值,再根据同角关系式和半角公式求得直线的倾斜角的正切值，即为直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为,则直线的斜率, 由于,所以, 所以直线的斜率. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $