江苏省郑梁梅高级中学2026-2027学年高二上学期9月份学情调研数学试题

2026一2027学年度高二年级9月份学情调研 数学试题 试卷满分：150分 考试时长：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知直线的方程为x-2y+1=0,则该直线的斜率为 ( A.-2 ® C.2 D. 11 【答案】D【详解】由题知y+2,所以直线的斜率为： 2.若直线x+y-1=0是圆(x-m2+(y-1)2=1的一条对称轴，则m= A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】A 【解析】由题意可得，直线x+y-1=0过圆心(，1)，则m+1-1=0,解得=0. 故选：A 3.直线x+2y-4=0与直线3x+y-9=0所成角是 A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】B 【分析】根据题意，求得两条直线的斜率，然后由两直线的夹角公式代入计算，即可得到结 果 1 【详解】直线x+2y-4=0斜率k= ,直线3x+y-9=0斜率k,=-3, 设两直线的夹角为B,则tan8= k2-k 1+kka +(-3) 且0°≤0≤90°，所以0=45°. 故选：B 4.直线y=x+b与曲线x=√1一y2有且仅有一个公共点，则b的取值范围是 A.Ibl=V2 B.-1<b≤1或b=-V2 C.-1≤b≤1 D.-V2<b≤-1 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了由直线与圆的位置关系求参数，是基础题. 首先根据题意得到曲线x=√1一y表示半圆，再结合图象即可得到直线y=x+b与曲线x= √1一严有且仅有一个公共点时b的取值范围.】 【解答】 解：将方程x=V1-y2变形为x2+y2=1(x>0 当直线y=x+b与曲线2+y=1相切时，满足0-0+L=1, J12+(-102 即b=√2，解得b=士√2. 0)x √2 由图可知，当b=-V2或-1<b≤1时， 直线y=x+b与曲线x=√1-y2有且仅有一个公共点， 故选：B. 5若直线产+-1a>0,b>0)过点，山，则a+b+驰的最小值为 a b 19 A.7 B. 3 C.6 D.45 【答案】C 【详解】直线+y=1过点L,1),代入得1+1=1，即a+b=b,且a>0,b>0, a b a b 由此解得b= (a>1),代入目标函数并化简得： a-1 3b a+b+ a+a3 a+3 a a-1a-1a a-11 a-1a-1)+4 =a+1+ 1+2, 因为a>1,所以a-1>0, 所以由基本不等式， +22a-04+2=4+2=6, 得：(a-1)+4 a-1 当且仅当a-1= 4即a=3时取等， a- 故a+b+3边的最小值为6. a 6.过点P(3,2)作圆C:(x-1)+(y-1)2=3的两条切线，切点分别为A和B,则切点弦AB所 在直线的方程为 A.2x+y-6=0 B.x+2y-7=0 C.x-y+1=0 D.3x+y-9=0 【答案】A 法一：留一代一 法二：留一代一 【分析】作出辅助线，得到点P,A,C,B共圆，CP为直径，从而得到圆心和半径，得到 圆的方程，再由直线AB为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解： 【详解】 如图所示，连接CA,CB, 由平面几何知，CA⊥PA,CB⊥PB,点P,A,C,B共圆，且CP为直径 因为P(3,2),C(1,1),所以所求圆的圆心为PC中点， 则引￥径为网G--2--克 所以所求圆的方程为-矿+(-引-景即+户-有-+5=0 又直线AB为这两个圆的公共弦所在直线， 由C:(x-1)+(y-1)=3与x2+y2-4x-3y+5=0相减， 可得AB的方程为2x+y-6=0. 故选：A 7.已知直线ax+by+1=0和直线4x+b2y+1=0都过点A2,1),则过点(4，b)和点 (a,b)的直线方程是 ) A.x+2y+1=0B.2x-y+1=0C.2x+y-1=0 D.2x+y+1=0 【答案】D 【分析】把A(2,1)坐标代入两条直线4x+by+1=0和a4x+by+1=0得 24+b+1=0,2a4+b,+1=0,求出2(4-a)=b-b,再用两点式方程求过点 R(a,b),(a,b)的直线的方程. 法一：同构 法二：【详解】把A(2,1)坐标代入两条直线4x+by+1=0和a2x+by+1=0,得 24+b+1=0,24+b2+1=0, .2(4-a2)=b-b, 过点Ra,4),￡(a,b)的直线的方程是：-64-4 y-b x-a ∴y-b=-2(x-a),则2x+y-(2a1+b)=0, 24+6+1=0,.24+b=-1, .所求直线方程为：2x+y+1=0. 故选：D 8.A,B是圆C1:(x-2?+(y-m=4上两点，/AB/=2V√3，若在圆C2:(x-2P+(y+12=9 上存在点P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围为 () A.[1,3] B.[-5,3引 C.[-5,-3]U1,3] D.[-4,-21U[2,4] 【答案】C 【解析】解：设AB的中点M的坐标为x,y), 因为A,B是圆C1:(x-2+(y-mP=4上两点，/AB/=2V3, 所以/AB/=2V4-/MC1/=2N3, 所以/MC1/=1,即M的轨迹为以C1为圆心，1为半径的圆， 因为在圆C2:(x-2P+(y+12=9上存在点P恰为线段AB的中点， 则M的轨迹与圆C2有公共点， 所以2≤/C1C2/≤4，即2≤/m+1/≤4， 解得-5≤m≤-3或1≤m≤3， 所以实数m的取值范围为[-5，-3]U[1,3. 故选：C 设AB的中点M的坐标为x,y以，由圆的弦长公式求出M的轨迹，通过M的轨迹与圆C2有公 共点建立不等式组，求解即可. 本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系，属于中档题 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.(多选)下列说法正确的是 () A.若直线y=kx+1在两坐标轴上的截距相等，则k=士1 B.若过点M(-2,m,Nm,4)的直线的斜率是2，则m=2 C两平行直线x+2y-1=0与x+ay+b=0之何的距窝为号，则b=0或b:-2 D.直线y=2x关于直线y=x对称的直线为y=2x 【答案】CD 【解析】解：y=kx+1,令y=0,解得x=- 令x=0,解得y=1, 直线y=kx+1在两坐标轴上的截距相等， 则-=1，解得k=-1,故A错误： 过点M(-2,m,N(m,4的直线的斜率是2， 则点=2，解得m=0,故B错误； 直线x+2y-1=0与x+ay+b=0平行， 则a=2, 两平行直线x+2y-1=0与x+ay+b=0之间的距离为号， 则气解得=0或2，故C正确 V12+225 直线y=2x, 则x=》,由反函数的定义可知，y=x, 故直线y=2x关于直线y=x对称的直线为y=x,故D正确。 故选：CD. 结合截距的定义，直线的斜率公式，直线平行的性质，反函数的定义，即可求解. 本题主要考查截距的定义，直线的斜率公式，直线平行的性质，反函数的定义，是基础题 10.（多选)若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以2，-4)为圆心，4为半径的圆，则下列结 论正确的是 () A.F=4 B.圆关于直线y=-2x对称 C.圆与y轴相切 D.√x-22+(y-1的最大值为9 【答案】ABD 【解析】解：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为半径的圆， 故它的标准方程为化-2P+y+4=16,故D=-4,E=8,4(16+64-4F)=16,F=4, 故A正确： 由于圆心2，-4)在直线y=一2x上，故圆关于直线y=一2x对称，故B正确： 由于圆心2，一4)到y轴的距离为2，小于半径4，故圆和y轴相交，故C错误， 结合圆心(2，-4)到点(2,1)的距离为5， 而√(x-2P+y-1表示圆上的点（化，y到点(2,1的距离， 故√(x-2}+y-1P的最大值为5+4=9，故D正确， 故选：ABD. 把圆的一般方程和标准方程作对比，可得D、E、F的值，再利用两点间的距离公式，得出 结论， 本题主要考查圆的一般方程和标准方程，两点间的距离公式，属于中档题 11.（多选)已知直线1：x-y+5=0,过直线上任意一点M作圆C:(x-3)2+y2=4的两条切 线，切点分别为A,B,则有 A.四边形MACB面积的最小值为4√7 B.∠MAB最大度数为60° 15 C.直线AB过定点 2’2 D.AB的最小值为√14 【答案】AD 【分析】S边形McB=2SMc=MAAC=2MA,当CM⊥1时MC有最小值，求出MCLm可 判断A;通过计算得到tan∠AMC的值可以趋近于0，∠AMC可以任意接近0，∠MAB可以任 意接近90°，从而可判断B;设点A(5,),B(x2,),M(,%),求出直线AB的方程 (:-3)(x-3)+y=4,整理得(x+y-3)+(5y-3x+5)=0,由 x+y-3=0 5y-3x+5=0可得直 线AB过的定点可判断C;直线AB所过定点为P,当CP⊥AB时，弦长AB最小，求出AB 的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知S边wacB=2SMac=MAAC=2MA, 当CML1时，C有最小值，即MC-045=45,此时1M=ay-4=2V5, 所以四边形MACB面积的最小值为4W7,故选项A正确： 对于B,当点M在直线1上运动时，MA的取值范围是2√7，+o),因此 amC-G2乙，m次e的位可以老近于0，Ac可以无限拉0 ∠MAB可以无限接近90°，故选项B错误： 对于C,设点A(5,),B(,2),M(),则-+5=0， 易知在点A、B处的切线方程分别为(x-3)(5-3)+%=4,(x-3)(x2-3)+%=4, 将点M(,)分别代入两切线方程得(-3)(：-3)+y=4, (6-3)(6-3)+65=4, 所以直线AB方程为(-3)(x-3)+y=4,整理得xx+yy-3x-3x+5=0,代入 %=x+5, 得(x+y-3)+(5y-3.x+5)=0, x+y-3=0, 解方程组 2 51) (5v-3x+5=0,得 所以直线AB过定点 2’2 故选项C错误； 对于0，设直线AB所过定点为P,则P侣》当CP1B时，弦长4因最小 出时cPr-引〔安则的装本位为3号，故选喷DF跑 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.点(2,0)到直线x-√3y+2=0的距离是 【答案】2 【解析1点a,0到直线x-V5v+2=0的距离d-12-V3×0+2-2 V1+3 故答案为：2. 13.已知在平面直角坐标系中，点A(2√2,0，B(0,1)到直线的距离分别为1,2，则这样的直 线共有 条 【解析】【分析】 本题考查两圆的公切线条数，满足条件的直线条数的求法，是中档题 由已知得直线与以A为圆心，1为半径的圆相切，且直线与以B为圆心，2为半径的圆相切， 即直线l是圆A与圆B的公切线，由圆心距离d=/AB/=3,得两圆相外切，从而求出满足条件 的直线有3条. 【解答】 解：点A(2V2,0)到直线的距离为1， 则直线是以A为圆心，1为半径的圆的切线， 即直线与圆A:(化-2VP+y2=1相切， 点B(0,1)到直线的距离为2， 则直线是以B为圆心，2为半径的圆的切线， 即直线与圆B:x2+(y-12=4相切， ∴直线是圆A与圆B的公切线， 圆心距离d=1AB1=√(2√2)+12=3=1+2=3， 两圆相外切，满足条件的直线有3条. 14.已知点A(-7,0),B为直线l:4x+3y+11=0上的动点，P为圆C:(x-2?+y2=9上的 动点，则PA+3PB的最小值为 【答案】9 【解析】令PA=3PD,则=3. PD 设点P的坐标为化，yW,点D坐标为m,n, a (x+7)2+y2 =3, PD √x-m)2+0-n2 nx-y=9-92-9吧 整理得x2+y2_9m+7 8 而该圆的方程为C:x2+y2-4x=5, (_9m+7=-4, 4 则 9 40 解得。 49-9m2-9n2 =5 8 故点D的坐标为(1,0)， 所以PA+3PB=3(PD+PB) 如图，过点D作DB垂直于l于点B,交圆(x-2P+y2=9于点P', 故PD+PB的最小值为BD=4+11 V64污=3， 所以PA+3PB的最小值为3×3=9. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知△ABC的顶点A4,2),顶点C在x轴上，AB边上的高所在的直线方程为x+2y+m=0. (1)求直线AB的方程： (2)若AC边上的中线所在的直线方程为x-y-4=0,求m的值. 【答案】2x-y-6=0: -6 【解析】1)因为△ABC的顶点A(4,2),顶点C在x轴上，AB边上的高所在的直线方程为x+2y+ m=0, 依题意，直线AB的斜率为2， 又A4,2引，所以直线AB的方程为y-2=2(x-4, 即2x-y-6=0: (2由C点在x轴上，设C(t,0), 则线段4C的中点D1生，， 由点D在直线x-y-4=0上，得44-1-4=0， 2 解得t=6,即C6,0), 又点C在直线x+2y+m=0上，因此6+0+m=0,解得m=-6, 所以m的值为-6. (1)求出直线AB的斜率，利用点斜式可得出直线AB的方程： (2)设点C(化，0)，利用AC的中点在直线x-y-4=0上，求出t值，再由点C在直线x+2y+m= 0上求出m值， 本题考查两条直线互相垂直的性质的应用及两点的中点坐标的求法，属于基础题. 16.(本小题15分)已知两直线1：x-2y+4=0,l2:4x+3y+5=0. (1)求直线L和L2的交点P的坐标： (2)若过点P作圆x-m2+y2=m2+1的切线有两条，求m的取值范围： 3)若直线ax+2y-6=0与l1,l2不能构成三角形，求实数α的值. 【答案】解：)联立方程组化少+4=0.x=-2 4x+3y+5=0'y=1, 即直线L和L2的交点P的坐标(-2,1)： (2)由题意知点P在圆外，∴(-2-m2+12>m2+1, m的取值范围为(-1，+o: (3)若直线l3:ax+2y-6=0与l1,l2不能构成三角形，则l3/几1或l3/几2或l3过点P, 当1几，时，则-=方a=-1,满足题意： 当l,时，-号=-专∴a=号 满足题意： 当l3过点P时，-2a+2-6=0,.a=-2, 故实数a的值为-1，号-2 【解析】(1)联立直线方程，解方程组，即得答案： (2根据点在圆外可得不等式，即求得答案： 3)讨论直线ax+2y-6=0与l1,l2不能构成三角形的情况即为l3/几或l/几2或l3过点P,由 此可求得a的值. 本题考查了直线的交点问题，涉及到直线间的平行关系，属于基础题. 17.(本小题15分已知圆C的圆心在直线3x-y=0上，且经过点A(-1,3引，B(1,5. (1)求圆C的标准方程： (2过点P(2,1)的直线1与圆C相交于M,N两点，且/MN/=2√3，求直线1的方程. 【答案】解：(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则3-2)+号=0,1+9-D+3E+F=0,1+25+D+5B+F=0, 联立解得D=-2,E=-6,F=6,满足D2+E2-4F>0, 圆C的方程为x2+y2-2x-6y+6=0,即(x-1P+(y-32=4. (2)直线1的斜率不存在时，设直线1的方程为x-2=0, 则2√4-1=2V3,满足/MN/=2V3. 直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0, 圆心C1,3到到直线1的距离d=k-3+1-2州-k+2斗 √k2+1√k2+1 由题意可得4-+P=W, √k2+1 3 解得k= 直线1的方程为y-1=-子(x-2,即3x+4y-10=0 综上可得，直线1的方程为：x-2=0,3x+4y-10=0 【解析】本题考查了求圆的标准方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交问题、弦长公式， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 )设圆的方程为x2+y+Dx+y+F=0,可得3(-+号=0,1+9-D+36+F=0,1+25+ D+5E+F=O,联立解得D,E,F,即可得出圆C的方程 (2)直线1的斜率不存在时，直接验证是否满足/MN/=2V3.直线1的斜率存在时，设直线1 的方程为y-1=k(x-2),求出圆心C到直线1的距离d,根据题意4-d=-W3P,解得k, 即可得出直线1的方程. 18.(本小题17分)已知x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0m∈R)表示圆C的方程. (1)求实数的取值范围： (2)当圆C的面积最大时，求过点A4,一4)圆的切线方程： (3P为圆上任意一点，己知B(6,0,在(2的条件下，求/PAP+1PB2的最小值. 【答案】解：(1)油题可知：(x-2P+y+m}=3+2m-m2, 该方程表示圆，则3+2m-m2>0, 即m2-2m-3<0,解得-1<m<3, 则实数m的取值范围为(-1,3： (2)冷y=3+2m-m2=-(m-1)2+4,m∈(-1,3)，开口向下， 对称轴为m=1∈(-1,3)，当m=1时，圆C的面积取得最大值， 此时圆的方程为化-22+(y+12=4, 当切线方程斜率存在时，设切线方程为y+4=k(x-4),即kx-y-4k-4=0, 圆心2，一1)到切线的距离等于半径长，即2k+14-4=2, √1+k2 解得k=一品 当切线斜率不存在，切线方程为x=4,与圆相切于点4，一1，满足题意 即切线方程为y+4=吾x-队即5x+12y+28=0:另一条切线方程为x=4: (3)设P(x,yW,则/PA12+/PB12=(x-42+(y+4?+(x-62+y2 =2[0x-52+(y+2P1+10, 设M(5,-2),则(x-52+y+2}表示圆C上的点P与点M的距离的平方， 由(2知C(2,-1,又因为/CM/=√5-2P+(-2+12=√10>2， 则点M在圆C外面， 所以/PM/min=/CM1-2=V10-2, 则(/PA/2+/PB/2mm=2W10-2}+10=28-8W10+10=38-8V10, 则可知/PA2+/PB/2的最小值为38-8√10. 19.(本小题17分)设A1,V3),B(4,0),D1,-V3,圆Q过A,B,D三个点. (1求圆Q的方程： (2)设点C(-3,√③)，若圆Q上存在两个不同的点P,使得PA2+PC2=2成立，求实数的取值 范围； (3)设斜率为k的直线与圆Q相交于E,F两点（不与原点0重合，直线0E,OF斜率分别为k1, k2,且k1k2=3,证明：直线恒过定点. 【答案】解：1)由题意可得，圆心Q为线段AB的垂直平分线和线段AD垂直平分线的交点， “k8=得号线段AB的中点为（哥 所以线段AB的垂直平分线的方程为y-号=V(x-)】 即V3x-y-2W3=0,又线段AD的垂直平分线的方程为y=0, 联立方程组N3x-y-2√39解得化三0所以圆心为Q2吵，半径为/QB1=2, 所以圆Q的方程为(x-22+y2=4. (2)设P(x,yW,因为PA2+PC2=22, 所以化-1)2+(y-V3+(x+3y+(y-V3)2=2λ， 化简得x+12+(y-√3=λ-4，所以1>4. 则点P在以M(-1,√3为圆心，√入-4为半径的圆上，依题意该圆M与圆Q有两个交点，即两 圆相交，又MQ/=√(-1-2P+(V3)=2√3， 则N入-4-2<2√3<V√八-4+2，解得20-8W3<1<20+8V3. (3)设直线的方程为y=kx+m,E(xyy),F(x2,y2),x1x2≠0， y=kx+m 气k-3+1g得a+k+2m-2g+m=0 D 所以x,+x2=-2m-2 122，,X1X2=2>1 2km(2-km)m2 所以k,k2=业=1tm2+m-2x12+km+2+m2=k2+1Hk2 =1+址=3， x1X2 x1X2 x1x2 m m 1+k2 所以m=2k,所以直线方程为知=+2水今+0解利，7：石即直线过定(-20 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 2026—2027学年度高二年级9月份学情调研 数学试题 试卷满分：150分 考试时长：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知直线的方程为，则该直线的斜率为 （     ） A． B． C．2 D． 2.若直线是圆的一条对称轴，则 （     ） A．0 B．1 C．2 D．4 3.直线与直线所成角是 （     ） A． B． C． D． 4.直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是 （     ） A. B. 或 C. D. 5若直线过点，则的最小值为 （ ） A．7 B． C．6 D． 6.过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为 （      ） A． B． C． D． 7.已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是 （     ） A． B． C． D． 8.A，B是圆：上两点，，若在圆：上存在点P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围为 (     ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.（多选）下列说法正确的是 (     ) A. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 B. 若过点，的直线的斜率是2，则 C. 两平行直线与之间的距离为，则或 D. 直线关于直线对称的直线为 10.（多选）若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是 (     ) A. B. 圆关于直线对称 C. 圆与y轴相切 D. 的最大值为9 11.（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有 （    ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.点到直线的距离是 . 13.已知在平面直角坐标系中，点，到直线的距离分别为，，则这样的直线共有 条． 14.已知点，为直线：上的动点，为圆：上的动点，则的最小值为           ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知的顶点，顶点C在x轴上，AB边上的高所在的直线方程为 求直线AB的方程； 若AC边上的中线所在的直线方程为，求m的值. 16.本小题15分已知两直线：，： 求直线和的交点P的坐标； 若过点P作圆的切线有两条，求m的取值范围； 若直线与，不能构成三角形，求实数a的值. 17.本小题15分已知圆C的圆心在直线上，且经过点， 求圆C的标准方程； 过点的直线l与圆C相交于M，N两点，且，求直线l的方程. 18.本小题17分已知表示圆C的方程. 求实数m的取值范围； 当圆C的面积最大时，求过点圆的切线方程； 为圆上任意一点，已知，在的条件下，求的最小值. 19.本小题17分设，，，圆过，，三个点． 求圆的方程； 设点，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围； 设斜率为的直线与圆相交于，两点不与原点重合，直线，斜率分别为，，且，证明：直线恒过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $