专题29 巧作辅助圆专项训练（5大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题29 巧作辅助圆 题型01 定点定长构造辅助圆 题型02 定弦定角构造辅助圆 题型03 四点共圆模型 题型04 最大张角问题 题型05 阿基米德折弦定理 ▌题型01 定点定长构造辅助圆 【典例1】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝_____． 【变式1-1】如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为、的中点，，，绕点A旋转的过程中，的最大值为__________，最小值为__________． 【变式1-2】如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为______． 【变式1-3】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（     ） A． B． C． D． ▌题型02 定弦定角构造辅助圆 【典例1】如图，正方形中，是平面内任意一点．若，请写出线段长度的取值范围是________． 【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______． 【变式1-2】如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 【变式1-3】问题探究 (1)如图，在中，，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值为______； (2)如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，的最小值是多少？ (3)问题解决：如图，一家养老院的平面示意图可抽象为直角梯形，经测量可得，，，老年公寓位于点处，且m，根据养老院规划，需要在边上建立一个半径为的餐厅，即半圆，并在半圆的三等分点处设置餐厅入口，在半圆与交点处设置餐厅出口，同时以直角梯形的边建设以点为入口的老年活动中心，因活动中心场地规划需求，要使．线段、是要修的两条道路，为节约成本，希望最小，试求最小值及此时的长． ▌题型03 四点共圆模型 【典例1】如图①，点在直线上，过点构建等腰直角，使，且，过点作于点，连接．    (1)小亮在研究这个图形时发现，，点，应该在以为直径的圆上，则的度数为________；将射线绕点顺时针旋转交直线于点，则线段与之间的数量关系为________； (2)小亮将等腰直角绕点在平面内旋转，当旋转到图②的位置时，试说明线段，，之间的数量关系； (3)在（2）的条件下，将等腰直角绕点在平面内旋转到图③的位置，长为，当面积取得最大值时，求线段的长． 【变式1-1】【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现：如图1，是的高，若是的中点．则点就在以点为圆心的同一个圆上． 【提出并解决问题】学习小组在探究此结论后提出问题： (1)如图1，若的交点为点，则点四点是不是也在同一个圆上．如果是，请证明：如果不是，请说明理由． (2)如图2，锐角中，是高线，于，于，求证：． (3)如图3，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为，则的最小值为___________． 【拓展应用】 (4)如图4，学习小组完成上面的问题后发现的两条高相交于点，连接并延长交于点，则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图5，已知是的外接圆，是的高，相交于点．若，请直接写出的面积___________．（结果请用的代数式表示，并保留） 【变式1-2】【学习心得】 数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)如图1，在中，，，是外一点，且，若以点为圆心，为半径作，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角． ①求的度数； ②若点也在上，且点与点在弦（与，不重合）的两侧，求的度数． 【问题解决】 (2)如图2，在四边形中，，连接，，若，求的度数． 【问题拓展】 (3)如图3，，是正方形的边上的两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是________（直接写出答案）． 【变式1-3】【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】 （1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ， ______， ， ， ______射门好； 【理解应用】 （2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． ▌题型04 最大张角问题 【典例1】如图，在中，，，点D在边上且，连接，当最大时，的长为______． 【变式1-1】如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、点D．点A是x轴上的一个动点，点C是y轴上的一个动点，且．点E、F分别是和的中点，当的值是________，最大． 【变式1-2】如图，在足球比赛中，某运动员带球奔向对方球门，当他带球冲刺到点时，他的射门角为（射门角为从球员对应的点出发，分别经过球门立柱，的两条射线形成的夹角），已知，，球门宽约米． (1)若对方守门员在球门立柱，之间（即在线段上）选择防守位置，其防守覆盖区域是以为圆心，半径为米的圆，试判断线段上是否存在合适的位置，使对方守门员能够完全防守住该运动员的射门角，若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)该运动员决定放弃直接射门，选择传球给射门角度更大的球员，请利用尺规作图画出比他的射门角度更大的球员所处的最大范围． 【变式1-3】在中，，点为线段上一点，点为平面内一点． (1)如图1，若，且，，连接，若，求（用含的式子表示）； (2)如图2，连接，，满足且，取的中点，连接，若，猜想与之间的数量关系并证明； (3)如图3，，，点与点位于直线的异侧，连接，，，满足，且最大，连接，求当取到最大值时，的面积． ▌题型05 阿基米德折弦定理 【典例1】阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为5的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为30，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知、、、顺次在圆上，，于点，求证：． 【变式1-2】如图1，，是的两条弦，M是弧中点，于点D，点E为上一点，且，连接、、、． (1)求证：； (2)求证：； (3)【探究应用】如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，连接，过点A作于点E，求的周长． 【变式1-3】【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线 段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点．    【理解应用】（1）如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为　　　．    【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点 是的中点，从向 作垂线，垂足为，则．这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程．    【定理证明】 证明：如图3，在上截取，连接、、、， ∵点 是的中点， ∴， ∴． （2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【变式探究】（3）如图4，若点 是 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系?请直接写出结论．    【灵活应用】（4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　　．    1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29 巧作辅助圆 题型01 定点定长构造辅助圆 题型02 定弦定角构造辅助圆 题型03 四点共圆模型 题型04 最大张角问题 题型05 阿基米德折弦定理 ▌题型01 定点定长构造辅助圆 【典例1】如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝15°，BD＝AB，则∠BDC＝_____． 【答案】45° 【分析】以A为圆心，AB为半径作，过点A作AM⊥BD于M，分别求出∠ADC，∠ADB可得结论； 【详解】解：如图：以A为圆心，AB为半径作，过点A作AM⊥BD于M， ∵AB=AC=AD， ∴∠CAD=2∠CBD=30°， ∴∠ADC=∠ACD=75°， ∵AB=AD，AM⊥BD， ∴BM=DM， ∵BD=AB， ∴ ， ∴ ， ∴∠ABM=∠ADB=30°， ∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=45°， 故答案为：45°． 【变式1-1】如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为、的中点，，，绕点A旋转的过程中，的最大值为__________，最小值为__________． 【答案】 【分析】由题可知：点在以点为圆心，为半径的圆上，连接，，则：，当三点共线时，且点M在延长线上时，的值最大，当点M在线段上时，的值最小，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，， ∴ ∴，， ∵绕点A旋转， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴当三点共线时，且点M在延长线上时，的值最大， 即：； 当三点共线时，且点M在线段上时，的值最小， 即：． 故答案为：，． 【变式1-2】如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，当取最大值时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD=OA=4，连接CD， ∵AM=CM，OD=OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM=CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB=OD=4，∠BOD=90°， ∴BD=， ∴CD=， ∴OM=CD=，即OM的最大值为， 故答案为：． 【变式1-3】（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由矩形和勾股定理得，当点在上时，有最小值为的长，再结合折叠可得，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，，E是边的中点， ，，     ， ， 当点在上时，有最小值为的长， 折叠， ， 的最小值为． ▌题型02 定弦定角构造辅助圆 【典例1】如图，正方形中，是平面内任意一点．若，请写出线段长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的逆定理求最值的计算，根据题意得到点在以为直径的圆上运动，运用勾股定理，结合图形分析即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图所示，设的中点为点，连接并延长，交于点， ∴，， 当点在处时，的值最小，最小值为， 当点在处时，的值最大，最大值为， ∴线段长度的取值范围是：， 故答案为： ． 【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______． 【答案】 【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根据题意知点E在以FG为直径的⊙P上，连接PD交⊙P于点E，此时DE长度取得最小值，证明∠APD=90°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ACD=∠ABD=30°， ∴∠ADB=60°， ∵AD=2， ∴BD=2AD=4， 分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG， ∵E是AC的中点， ∴EF∥BC，EG∥CD， ∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD， ∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°， ∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图： 当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值， 连接PA， ∵F、G分别是AB、AD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD=2， ∴∠ADB=∠AGF=60°， ∵PA=PG， ∴△APG是等边三角形， ∴∠APG=60°， ∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°， ∴∠GPD=∠GDP=30°， ∴∠APD=90°， ∴PD=， ∴DE长度的最小值为() ． 故答案为：()． 【变式1-2】如图，四边形中，，．若四边形面积的最大值为，则对角线的长为___________． 【答案】 【分析】假设线段为定值，根据已知条件可知四点共圆，且线段是圆的直径，根据，可知弧所对的圆心角是，得到，再根据两点之间线段最短可知，当时，最大，从而解出答案． 【详解】解： ∵四边形中，， ∴四边形对角互补， ∴四点共圆， ∵， ∴线段是圆的直径，即圆的半径是，假设线段长为定值， 如图所示，连接，以的中点为圆心，长为半径画圆， ， 连接，分别过点作垂直，垂足分别为点， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， 又∵两点之间线段最短， ∴， ∴当时，最大，即最大，如下图所示， ， 此时， ∴，解得， ∴． 【变式1-3】问题探究 (1)如图，在中，，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值为______； (2)如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，的最小值是多少？ (3)问题解决：如图，一家养老院的平面示意图可抽象为直角梯形，经测量可得，，，老年公寓位于点处，且m，根据养老院规划，需要在边上建立一个半径为的餐厅，即半圆，并在半圆的三等分点处设置餐厅入口，在半圆与交点处设置餐厅出口，同时以直角梯形的边建设以点为入口的老年活动中心，因活动中心场地规划需求，要使．线段、是要修的两条道路，为节约成本，希望最小，试求最小值及此时的长． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，此时的长度为 【分析】（1）利用轴对称性质，将点关于对称，把转化为两点间线段，结合直角三角形中位线与勾股定理计算最小值； （2）先通过全等三角形证明，确定点的运动轨迹为一段圆弧，再利用圆外一点到圆上点的最短距离（即−半径）求出的最小值； （3）通过平移变换将转化为，结合轴对称将转化为，把转化为，利用圆的轨迹（，在以为直径的半圆上），结合勾股定理与中位线性质，求出的最小值及此时的长度． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接，此时的最小值为 取的中点，连接， ∵点是的中点， ， ， ； （2）解：如图，是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动， 其中， 过点作于点， 由垂径定理，，， 在中，， 连接交于，当点与重合时，的值最小，最小值； （3）解：如左图，连接，，作，为垂足． 如图，平移线段至，点与点重合，以为对称轴作点的对称点，交于点． 根据线段平移的性质，四边形为平行四边形， ∴，， 设的中点为，由于点，的相对位置固定不变，动点的轨迹是以为直径的半圆，此时半径， 且点在以为圆心，为半径的圆上运动， 连接、， ，即， 当且仅当，，，四点共线时，等号成立， 的最小值为， 的最小值为，即为的最小值， 在如图中，半圆形餐厅的半径，， ， ，， 根据平移的性质，点移至点，相当于先向左平移了长度，再向上平移了长度， ， 根据轴对称的性质，， 由平移得：， 过点作的平行线交的延长线于，得四边形为矩形， ，， ， 在中，， 最小值为：， 即的最小值为， 设和的交点， ，， 为中位线，， 当取最小值时，动点位置为和的交点， 故的最小值为，此时的长度为． ▌题型03 四点共圆模型 【典例1】如图①，点在直线上，过点构建等腰直角，使，且，过点作于点，连接．    (1)小亮在研究这个图形时发现，，点，应该在以为直径的圆上，则的度数为________；将射线绕点顺时针旋转交直线于点，则线段与之间的数量关系为________； (2)小亮将等腰直角绕点在平面内旋转，当旋转到图②的位置时，试说明线段，，之间的数量关系； (3)在（2）的条件下，将等腰直角绕点在平面内旋转到图③的位置，长为，当面积取得最大值时，求线段的长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）由题意可得，由，推出、、、四点共圆，根据圆周角定理即可求出的度数；由旋转的可得，，即可得到线段与之间的数量关系； （2）如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点．易证，则，由，，可得 ，根据线段的和差即可求解； （3）由（2）知，，可推出、、、四点共圆，于是作、、、的外接圆，当点在线段的垂直平分线上且在的左侧时，的面积最大．作，则平分，，在上截取一点，使得，据此即可求解． 【详解】（1）（1）①如图，    ，且， ， ， 、、、四点共圆， ； ②根据题意得：，， ， ； （2）线段，，的数量关系为．理由如下： 如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点．     则， ，又，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）由（2）知，， ， ， ， ， ， 、、、四点共圆，于是作、、、的外接圆，如图3．    当点在线段的垂直平分线上且在的右侧时，的面积最大．作，则平分，，在上截取一点，使得， ， ，， ，， ， ， ． 【变式1-1】【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现：如图1，是的高，若是的中点．则点就在以点为圆心的同一个圆上． 【提出并解决问题】学习小组在探究此结论后提出问题： (1)如图1，若的交点为点，则点四点是不是也在同一个圆上．如果是，请证明：如果不是，请说明理由． (2)如图2，锐角中，是高线，于，于，求证：． (3)如图3，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为，则的最小值为___________． 【拓展应用】 (4)如图4，学习小组完成上面的问题后发现的两条高相交于点，连接并延长交于点，则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图5，已知是的外接圆，是的高，相交于点．若，请直接写出的面积___________．（结果请用的代数式表示，并保留） 【答案】(1)点、、、四点在同一个圆上． 证明：如图2，连接，取的中点，连接， 则， ∵、是的高， ∴，均为直角三角形， ∴， ∴， ∴点、、、四点在同一个圆上． (2)证明：如图，连接，， 在锐角中，、是高线，于，于， 由于与共斜边， ∴、、、四点共圆， ∴， 同理与共斜边， ∴、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴． (3)； (4) 【分析】（1）连接，取的中点，连接，构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，再利用等量代换及圆的定义解答即可； （2）通过四点共圆及圆周角定理得到，然后根据同位角相等两直线平行即可证明结论； （3）连接，设中点为，连接，易得四点共圆，为直径，为圆心，再结合等腰三角形的性质可得，设圆的半径为，过作，结合已知条件利用勾股定理求出的长度，要使最小，则的半径最小，故直径最小，即当时，求得的最小值，进而求得半径，最后代入即可求解； （4）连接并延长交于，连接，则，连接并延长交于，根据结论得，进而推得，通过同位角相等证明四边形是平行四边形得边相等，再运用勾股定理求得的长度进而推出半径长，最后根据圆的面积公式即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵是等边三角形， ∴， 如图4，连接，设中点为，连接， ∵， ∴四点共圆，为直径，为圆心， ∴，， ∴， 设圆的半径为，过作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径最小，故直径最小， 当时，直径有最小值， ∵是等边三角形，，， ∴ ∴， ∴， ∴． （4）解：如图6，连接并延长交于，连接， ∴， 连接并延长交于，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即的半径为， ∴的面积为． 【变式1-2】【学习心得】 数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)如图1，在中，，，是外一点，且，若以点为圆心，为半径作，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角． ①求的度数； ②若点也在上，且点与点在弦（与，不重合）的两侧，求的度数． 【问题解决】 (2)如图2，在四边形中，，连接，，若，求的度数． 【问题拓展】 (3)如图3，，是正方形的边上的两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是________（直接写出答案）． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】(1)①可知、、三点在以为圆心、为半径的圆上，根据圆周角定理求解即可； ②利用圆内接四边形对角互补求解即可； (2)由，取斜边的中点，可得，于是、、、四点共圆，且为直径，再利用圆周角定理推论求解即可； (3)通过两次全等证明，确定动点在以为直径的圆上，最后将“最小值”转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题即可． 【详解】（1）解：①如图1， ，， ，，都在以为圆心，为半径的上， ； ②在圆内接四边形中，， ． （2）解：如图2，取的中点，连接，， ，， ， ，，，在以为直径的上， ． （3）解：如图3： ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 取的中点O，连接， ， 在以为直径的圆上，，，三点共线时最小， 在中，， 的最小值是． 【变式1-3】【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】 （1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ， ______， ， ， ______射门好； 【理解应用】 （2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【答案】 （1）甲自己射门好，理由如下： 如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ， ， ， ， 甲自己射门好； （2）C； （3）球员在点M处射门角度()最大， 米 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由三角形外角的性质解答即可； （2）连接，作的垂直平分线交于点O，连接，根据勾股定理可得，从而得到A，B，D，E四点共圆，再由三角形外角的性质解答即可； （3）以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N，证明四边形，四边形，四边形为矩形，可得米，米，，从而得到为等腰直角三角形，进而得到米，米，再结合切线的性质可得为等腰直角三角形，连接，设圆O的半径为r，则，可得，再由，可得关于r的方程，求出r的值，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接， 由勾股定理得：， ∴， ∴A，B，D，E四点共圆， ∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大， 故选：C （3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N， ∵，∴米， ∵米，， ∴米，米， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形为矩形， ∴米，米，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴米， ∴米，米， ∵为圆O的切线， ∴， ∴为等腰直角三角形， 连接， 设圆O的半径为r，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴米， ∴米． ▌题型04 最大张角问题 【典例1】如图，在中，，，点D在边上且，连接，当最大时，的长为______． 【答案】 【分析】作，交于点，根据平行线的性质以及平行线分线段成比例，得到，，进而得到，，点在经过两点且含圆周角的圆弧上运动，作的外接圆，连接并延长，交于点 ，连接，得到当最大时，与相切于点，证明，进行求解即可. 【详解】解：作，交于点， 则，， ∴，， ∴点在经过两点且含圆周角的圆弧上运动， 作的外接圆，连接并延长，交于点 ，连接， 则， ∴， 当最大时，则与相切于点，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式1-1】如图，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B、点D．点A是x轴上的一个动点，点C是y轴上的一个动点，且．点E、F分别是和的中点，当的值是________，最大． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，直角三角形斜边上中线的性质，切线的性质，勾股定理，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，分别令，，求出点B，D的坐标，得到，的长，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，的长，过O作于点H，当最大时，则也最大，又，因此当H和E重合时取等号，此时，即与小圆相切，根据切线的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， 当时，， ∴点D坐标为， 当时，， ∴， ∴点B坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵F是中点，， ∴， 过O作于点H，当最大时，则也最大， 在中，，当H和E重合时取等号，此时，即与小圆相切，如图所示， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】如图，在足球比赛中，某运动员带球奔向对方球门，当他带球冲刺到点时，他的射门角为（射门角为从球员对应的点出发，分别经过球门立柱，的两条射线形成的夹角），已知，，球门宽约米． (1)若对方守门员在球门立柱，之间（即在线段上）选择防守位置，其防守覆盖区域是以为圆心，半径为米的圆，试判断线段上是否存在合适的位置，使对方守门员能够完全防守住该运动员的射门角，若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)该运动员决定放弃直接射门，选择传球给射门角度更大的球员，请利用尺规作图画出比他的射门角度更大的球员所处的最大范围． 【答案】(1)没有合适位置 (2)见解析 【分析】（1）设与相切于点且经过点，这样可以找到能刚好覆盖球门的“最小圆”，当这个最小圆的半径大于守门员的防守半径时，即说明不存在合适位置； （2）过，，三点作一个圆，根据圆周角定理，该圆在球场一侧的弓形区域内的任意点所对的夹角（射门角），都大于圆外（如球员当前位置）所对的夹角． 【详解】（1）解：能完全防守住的最小圆如图所示，设与相切于点且经过点， 则于点 ，设， ， 没有合适位置 （2）解：①连接线段和。 ②用尺规作图法作出线段的垂直平分线。 ③用尺规作图法作出线段的垂直平分线。 ④两条垂直平分线的交点即为过，，三点的圆的圆心，记为， ⑤以为圆心，以为半径画圆， ⑥该圆在直线下方（即球员所在的一侧）的弓形区域（不包括边界圆弧），即为比该运动员射门角度更大的球员所处的最大范围，如下图所示： 【变式1-3】在中，，点为线段上一点，点为平面内一点． (1)如图1，若，且，，连接，若，求（用含的式子表示）； (2)如图2，连接，，满足且，取的中点，连接，若，猜想与之间的数量关系并证明； (3)如图3，，，点与点位于直线的异侧，连接，，，满足，且最大，连接，求当取到最大值时，的面积． 【答案】(1) (2) ，证明如下： 如图1，延长到点，使 ，连接；延长到点，使，连接，连接并延长，交于点． 设，则由条件易知，， ，． ， ， ， ． ， ， ， ，即为等腰直角三角形． ， ． 的外角， ． ， ， ， ， ． ，， ，， ． ， ． ， ， ， ． (3) 【分析】（1）首先通过证明表示出，然后借助表示出，进而求解； （2）通过观察和测量可以猜想出．先延长到点，使 ，连接，把问题转化为证明；然后延长到点，使 ，连接并延长，交于点，进一步把问题转化为证明即可； （3）先确定最大时点D的位置，然后利用相似求出的长，再确定出取最大值时点A的位置，最后利用解直角三角形求出面积即可． 【详解】（1）解： ， ． 在 和 中， ， ， ． ， ， ； （2）略 （3）解： 如图 2，过点，点作，当与相切，且为切点时 最大． 假设位于处，连接，，其中与交于，连接． 由圆周角定理可知 ， 由三角形外角性质可知 ， ， 当为切点时， 最大． 延长交 于 ，连接，由条件易知 ，， ． 又 ， ， ， ， ． 如图3，由题意可知点A在以为直径的 上运动，圆心 为中点． 连接并延长，交 于点 ，此时最大． 过点作于，过点 作 于 ， 在 中，，， 则 ，． 由条件易知 ， ， ， ． 在 中，，。 ， ． ▌题型05 阿基米德折弦定理 【典例1】阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为5的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为30，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，根据圆周角定理，结合已知条件易证得为的直径，，则，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得，，设，，其中，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得，的长度，再结合可证得，则，最后利用勾股定理列得方程，进一步分析即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为矩形， ， 为的直径，， 的半径为5， ， 点为的中点， ， ， ，， ，， 设，，其中， 则， 解得：或 舍去， 即，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， ∴或， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴． 【变式1-1】已知、、、顺次在圆上，，于点，求证：． 【答案】 证明：在上截取，连结，如图， ∵，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】在上截取，连结，证明，得到，即可得到． 【详解】略 【变式1-2】如图1，，是的两条弦，M是弧中点，于点D，点E为上一点，且，连接、、、． (1)求证：； (2)求证：； (3)【探究应用】如图2，已知等边内接于，，D为上一点，，连接，过点A作于点E，求的周长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 为的中点， ， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵， ， ， ， ； (3) 【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，再由M是弧中点得出，最后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可得证； （3）在上截取，连接，证明得出，再证明得出，解直角三角形可得，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图2，在上截取，连接， 由题意可得：，， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 则的周长是． 【变式1-3】【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线 段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点．    【理解应用】（1）如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为　　　．    【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点 是的中点，从向 作垂线，垂足为，则．这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程．    【定理证明】 证明：如图3，在上截取，连接、、、， ∵点 是的中点， ∴， ∴． （2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【变式探究】（3）如图4，若点 是 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系?请直接写出结论．    【灵活应用】（4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　　．    【答案】（1）3； （2）证明：在上截取，连接、、、，    ∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）； （4）或 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可； （2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由等腰三角形三线合一的性质得到，则有，即可证明是折弦的中点； （3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到； （4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再解直角三角形求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再解直角三角形求出． 【详解】（1）解：是的切线，为切点， ， ， ，， ， ， 是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）略 （3）解：，理由如下： 证明：如图，在上截取，连接、、、，   点是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ； ∴； （4）解：是的直径， ， ，， ∴由勾股定理得， 当点在下方半圆上时，如图，   ， ， 过点作交于点， 同理由（3）可知， ， ； 当点在上时，如图，，    过点作交于点， 同理由（3）可知， ， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $