专题03 圆中动点与新定义型综合有关问题的三种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦圆中动点、课本再现与新定义三大模型，通过分层应用与逻辑递进构建系统性解题方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点综合问题|5题|模型建立（圆上点距离最值）+ 四阶运用（情境/直接/构造/灵活）|从点与圆位置关系到动态几何构造，形成“模型-应用-拓展”链条| |课本再现问题|5题|原题证明→逆向改编→延伸计算|以教材核心结论为起点，通过变式训练深化圆的性质理解与迁移| |新定义问题|5题|定义抽象→性质推导→综合应用（旁心/等弦圆/智慧三角形）|从新定义生成数学对象，结合圆的性质解决探究性问题，发展创新意识|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03圆中动点与新定义型综合有关问题的三种模型 题型归纳 题型一圆中的动点综合问题 题型二圆中的课本再现综合问题 题型三圆中的新定义型综合问题 题型专练 题型一：圆中的动点综合问题 1. 【详解】解：(1)：点A是⊙0外一点，点P是O0上一动点.⊙0的半径为3，且OA=5, 当点P是线段OA与⊙O的交点时，PA为最短， 此时AP=AO-OP=5-3=2, 则点P到点A的最短距离为2： (2)如图，连接A0, ◇ B 图1 当点P是线段OA与⊙O的交点时，PA为最短， 当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的距离最短， :AC=BC=4,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧CD上的一个动点， c08cx4=2. .·∠ACB=90°， .在Rt△A0C中，A0=V42+22=2V5, 1/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AP的最小值为AO-r=2V5-2 故答案为：2V5-2: (3)解：点P到点C的最短距离为4√5-4，理由如下： ,四边形ABCD是正方形， B 图2 .AB=BC,∠ABM=∠BCN=90°， :点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC,CD方向向终点C和D运动， .BM=CN, .△ABM≌△BCN, .∠BAM=∠CBN .∠CBN+∠ABP=90°， ∴.∠BAM+∠ABP=90°， .AM⊥BN, 故点P在以AB为直径的圆上运动，连接OC,与⊙O的交点，此交点P即为PC最小时的位置； :正方形ABCD的边长为8， AB=8」 则B0 24B=4 ∴.在Rta0CB中，OC=V42+82=4V5, PC的最小值=0C-P0=0C-B0=4V5-4: (4)连接0A,OB」 .⊙0的半径为6，弦AB=6, ..OA=OB=6=AB, △AOB是等边三角形， :.∠AOB=60°， ,弧AB=弧AB 2/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACB=∠A0B=30, 2 .'AM⊥AC ∴.∠M=90°-30°=60° ,AB=6,要使△ABM面积最大，则点M到AB的距离最大， 如图，，∠M=60°，弧AB=弧AB ∠ADB=2×60°=120° ∴点M在以∠ADB=120°的⊙D上， 刀 B C 当AM=BM时，点M到AB的距离最大， .∠M=60° ∴.△ABM是等边三角形， ∴结合三线合一，点M到AB的距离=V6-3=3V5 0M的装大面积为对35×6=9 2. 【详解】解：(1)当点P是OA与⊙O的交点时，PA为最短， AP=A0-OP=5-2=3, 故答案为：3： (2)如图，连接AO,当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的最短， AC=BC=2. r-c-1 .A0=√22+12=V5 .AP的最小值为AO-r=V5-1 故答案为：5-1： 3/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P O B 图1 (3)AB=BC,∠ABM=∠BCN,BM=CN ∴AABM≌△BCN, .∠BAM=∠CBN, ∴∠CBN+∠ABP=90°， ∴∠BAM+∠ABP=90°， ∴.AM⊥BN, 故点P点在以AB为直径的圆上运动，连接OC,与⊙O的交点，此交点P即为PC最小时的位置： AB=6, .0C=V32+62=3V5 PC的最小值为3V5-3: A B M 图2 (4)连接OA,OB .0A=OB=4=AB, ∴△AOB是等边三角形， ∴.∠AOB=60° .∠ACB=2∠AOB=30° AM⊥AC, ∠M=60°， 4/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,要使 面积最大，则点到 的距离最大， .AB=4 △ABM MAB 如图，：∠M=60°， 点M在以∠ADB=120°的⊙D上， 当AM=BM时，点M到AB的距离最大， ∴△ABM是等边三角形， 4- :ABM的最大面积为BxV3 4 x16=45 0 M 3. 【详解】(1)解：如图①，若点P在圆O外，此时PA=3PB=7, P BB 图① 图② .AB=PB-PA=7-3=4, 圆0的半径为2： 如图②，若点P在圆0内，此时PA=3PB=7, .AB=PB+PA=7+3=10, .圆0的半径为5： 综上所述，圆O的半径为2或5： 故答案为：2或5 (2)解：如图，连接AE,交圆E于点D, 5/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 由【模型建立】得：可得AD的长是点A到圆E上的点的最短距离， 在RtAACE中，AC=8CE=2, .AE=√AC2+CE2=V82+22=27, .AD=AE-DE =2v17-2, .AP的最小值为2W17-2: 故答案为：2W7-2 (3)解：取点D(4,O),连接BD, A D 点A(2,0,D(4,0), ∴.点A为线段OD的中点， :点C为线段OB的中点， 4C-BD ,当线段BD取得最大值时，线段AC也取得最大值， 连接DP,并延长DP交圆P于点B', ∴当点B位于点B时，线段DB有最大值， P(4,4),D(4,0), .PD=4, ,圆P的半径为V2,即PB=√2， .DB'=PB+PD=4+√2. ∴，线段DB有最大值为4+√2， 6/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·线段4C的最大值为4C=)BD=2+ 2 2: 故答案为：2+2 (4)解：，四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠BAD=∠ABC=90°， .AM BN, .△ADM≌aBAN, ∴.∠ADM=∠BAN. .∠BAW+∠DAN=90° .∠ADM+∠DAN=90°. ∴.∠AED=90°. .点E在以AD为直径的圆上运动： 如图，取AD的中点O,作点F关于BC的对称点H,连接OH,PH,OE,HE, A :PH =PF ∴.PE+PH=PE+PF, ∴.当E,P,H三点共线时，PE+PH有最小值，即此时PE+PF有最小值，最小值为EH的长， ,当O,P,E三点共线时，EH有最小值，即此时PE+PF有最小值， ,点F为AB的中点， .'BH BF=2, AH=6, ∴.OH=√AH2+OA2=210, .EH的最小值为2W10-2, ∴.PE+PF的最小值为2W10-2. 故答案为：210-2 4. 7125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图3所示，连接AO与⊙O相交于点P,由题意得，此时AP最短， :BC的直径，且BC=2, 0c=0p-c=1, .AC=2,∠BCA=90°， ..04=AC2+0C2=5, .AP的最小值为V5-1: 图3 (2)解：：四边形ABCD是边长为2的菱形， .AD=CD=2,AB‖CD: M是AD的中点， :.MA=MD=T4D=1, 21 由折叠的性质可得MA'=MA=MD=1, ,点N在线段AB上运动， ,点A'在AD为直径的圆上运动(AD右侧的半圆上)： 连接CM交圆M于点Q,过点C作CP⊥AD,交AD的延长线于点P,如图4所示， .∠A=60°.AB CD D D M 图4 .∠PDC=∠A=60°， .∠PCD=90°-60°=30°， :.DP=CD=1, 2 8/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CP=CD2-DP2 =3,PM=MD+DP=2, ∴.CM=VMP2+Cp2=V7, 由题意可知，当点A与点Q重合时，AC最短，最短为V7-1: (3)解：如图5所示，作点D关于AB的对称点D',连接D'P,D'G,D'O, 设D'O分别交AB于点N,交半圆O于点H, D D B 图5 由轴对称的性质可得PD=PD,AD'=AD=4,AD'⊥AB, .PD+PG=PD'+PG≥D'G, 当D,P,G三点共线时，PD+PG有最小值，最小值为D'G的长， ∴由题意得，当点P与点N重合，点G与点H重合时，PD+PG有最小值，最小值为D'H的长； 如图5所示，过点D'作D'C'⊥CB交CB的延长线于点C', ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=90° .∠ABC'=180°-90°=90°=∠D'C'B=∠DAB, 四边形AD'CB是矩形， .CD'=AB=4,BC'=AD'=4: :0B=1BC=2 ..OC'=BC'+OB=6,OH =OB=2. .D'0=V62+42=213, .D'H=D'0-OH=2V13-2. .PD+PG的最小值为2V3-2」 5. 【答案】(1)①45，②90；2： (2)4； (3)①AE=DF,AE⊥DF.理由： 9/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :正方形ABCD中，AD=CD,∠ADC=∠DCB=90°，且DE=CF. :.△ADE≌△DCF(SAS) ∴.AE=DF,∠DAE=∠CDF」 ∴.∠APF=∠ADF+∠DAE=∠ADF+∠CDF=90°， .AE⊥DF; 5 ®4开 【详解】解：(I)①：AB=AC,AD=AC, 点B、C、D都在⊙A上， .∠BAC=90°， :∠BDC=)∠BMC=45°， 2 故答案为：45； ②∠ABC=90°， .∠ABP+∠PBC=90°， :∠PAB=∠PBC, .∠BAP+∠ABP=90°， .∠APB=180°-（∠BAP+∠ABP)=90° .点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上， 当点O,P,C三点共线时，CP的长最小， ,AB=6, .OB=5AB=3. Γ2 .∠ABC=90° ..OC=OB2 BC2=5, CP长的最小值为5-3=2： (2)连接AC, 矩形ABCD中，AB=6,BC=8,∠ABC=90°， ∴.AC=VAB2+BC2=10, 由轴对称可知AM=AB=6, .CM≥AC-AM, 10125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.当点M在AC上时，CM的值最小， 最小值为：CM=AC-AM=4: D M (3)①略 ②，∠APF=90°， .∠APD=180°-∠APF=90° ∴点P在以AD为直径的⊙G上运动， 当点E从点D开始运动到点C时， 点P也随之从点D开始运动到正方形对角线交点O, 由对称性可知，点P运动的路径长为⊙G的4圆周长， 5 m=AD=氵π 4 4 故点P的运动路径长为：4元 G 题型二：圆中的课本再现综合问题 6. 【答案】(1)OE=OF」 理由如下：在△AOB和△COD中， .AO=BO=CO=DO.AB=CD ∴.△AOB≌ACOD(SSS) 11/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F, 即OE,OF分别是△AOB,△COD边AB,CD上的高， ∴.OE=OF: (2)证明：如图，过点O分别作OM1AB,ON⊥CD,垂足分别为M,N. M B 0 N AB=CD 同理可得：OW=OM, ·OM⊥AB.ON⊥CD .EO为∠AED的平分线. 7. 【答案】(1) 证明：连接OC,如图1： B 图1 :AD⊥DC, .∠ADC=90°， .AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠CAO. ..OA=OC. .∠CAO=∠ACO, ∴.∠DAC=∠ACO AD∥OC. .∠OCD=180°-∠ADC=90°， .OC⊥DC, :OC是⊙0的半径， 12/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.DC是⊙O的切线： (2)解：连接BC,作CP⊥AB,垂足为P,如图： ◇ E◇ B .∠ADC=∠APC=90° 在Rt△ADC中，DC=2,DA=4, 由勾股定理得：AC=√AD2+DC2=V42+22=2√5， :AC平分∠DAB, ∠ACB=90°」 .∠DAC=∠PAC. ,∠ADC=∠APC=90°，AC=AC, △ADC≌aAPC(AAS). ∴.AP=DA=4,CP=DC=2, 设⊙O的直径为t,即AB=t,BP=t-4, 在Rt△ABC中，根据勾股定理， 可得：BC2=AB2-AC2=t2-20」 在Rt△BPC中，根据勾股定理， 可得：BC2=BP2+CP2=(t-4}+4, .(（t-4)2+4=2-20. 解得：t=5; .⊙0的直径为5： 8. 【答案】 (1)证明：如图，取AB的中点O,连接OC, 因为。ABC为宜角三角形，∠AC8=90r:0为AB的中点，所以oC-4,01=084B, 所以OA=OB=OC, 13125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以A,B,C三点都在以点O为圆心，OA为半径的圆上. (②)由圆周角定理可知，∠B0c-84C=2， 故答案为：27： (3)证明：因为AB=AC=AD,所以点B,C,D在以点A为圆心，AB为半径的圆上. 如图②，作辅助圆oA:则1=2∠B1C, 因为AB=AC,所以∠ABC=∠2， 因为∠BAC+∠ABC+∠2=∠BAC+2∠2=180，所以 ∠BAC+∠2=90°」 所以∠1+∠2=90° D B 9 【答案】 (1)证明：取AB的中点O,连接C0,如图， B.∠ACB=90°OA=OB .CO=0A=OB=1AB 2 1 ·A:B,C三点在以4B的中点为圆心，2AB为半径圆上； (2)解：如图2，以点A为圆心，AB为半径作辅助圆， .AB=AC=AD, ·点C、D必在⊙A上， 14125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BCD是⊙A的圆周角，且∠BAD是圆心角， .∠BAD=2∠BCD=32°， 故答案为：32°： (3)解：如图所示，根据三角形外角的性质得∠ASB>∠ARB, .∠ASB=∠ANB, ∠ANB>∠ARB. A E B 01234567 ∴当经过A,B两点的圆与y轴相切时，∠AWB最大，作出该圆，如图， EB ō1234567 设圆心为C,连接CN,过点C作CE⊥AB于点E,连接CA,则AE=BE, A3,0).B(7,0) OA=3,OB=7, .AB=OB-OA=4. ∴AE=BE=2, ..OE=OA+AE=5, :①与y轴相切于点N, ∴.CN⊥ON, ∠NOB=90°，CE⊥AB, ∴.四边形NOEC为矩形， 15125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.NC=OE=5,ON=EC, ∴CA=CN=5, .CE=VCA-AE2=√21， ..ON=CE=21, :点N的坐标为(0，V2T, 故答案为：(0，V2 10. 【答案】(1)证明：取AB的中点O,连接OC, B :∠C=90° 人在RtA4BC中，OC=OA=OB=AB ∴A,B,C三点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上； (2)根据圆周角定理可得：∠BDC=号B4C=45 故答案为：45°； (3)证明：AB=AC=AD, 点B,C,D在以A为圆心，AB为半径的圆上， 可以构造出过B,C,D三点的⊙A,然后用图2或图3所示的方法解决. 方法1：如图， B .AB=AC .∠ABC=∠2 又在⊙A中，∠BAC=2∠1， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180° 16/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴2∠2+2∠1=180°. ∴.∠1+∠2=90° 方法2：延长CA交⊙A于点P,连接BP 夕 则PC为⊙A的直径， .∠PBC=90 .在△PBC中，∠P+∠2=90°， 又在⊙A中，∠1=∠P, ∴.∠1+∠2=90° (4)解：由折叠性质知'M=AM, 又M是AD的中点， :MA-M4-MD-14D-1x2-1, 2 ∴点A'在以M为圆心，AD为直径的圆上， .当点A'为⊙M与MC的交点时，AC长度取最小值， 过点M作MF⊥CD的延长线于点F, C M 菱形 中， B ABCD ABI∥CD .∠FDM=∠A=60° .∠FMD=30°， R△0ew本.M-n-m-F--9 在 17/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在 中，MC=VFM2+CF ∴.Rt△CFM 图 ..A'C=MC-MA'=7-1. 题型三：圆中的新定义型综合问题 11 【答案】(1) 如图，点O即为所求： ① (2) 证明：过点O作ON⊥BA于点N,连接AO A D B C ② :0为旁心， ∴，AO平分∠NAD, 又：ON⊥BA,OD⊥AC, ∴.ON=OD OD是半径， .ON是半径， ∴.BA是OO的切线 12. 【详解】(1)解：如图1， 18125 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C NA 图1 当m=2,n=2时，线段BC与线段OA的距离就是线段BC与x轴之间的距离，即为2， 故答案为：2 (2)解：如图2，过点B作BN1x轴交x轴于点N, B AN 图2 当m=5,n=2时，B点坐标为(5,2)，线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长， 由题意得AN=1,BN=2, 在Rt△BAN中，由勾股定理得：AB=VAW2+BN2=VP+22=√5， 故答案为：√5： (3)解：如图3，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6： m,=4 B 图3 当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2; 当2≤m<4时，线段BC与线段OA的距离等于BN长， ON=m,AN=OA-ON=4-m, 在Rt△BAN中，由勾股定理得：d=V22-(4-m)}=V4-16+8m-m=√m2+8m-12 13. 【详解】解：(I)①，四边形ABCD是圆美四边形，∠A是美角， :.∠BCD=2∠A,∠BCD+∠A=180° 19125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.2∠A+∠A=180°， 解得∠A=60°， .∠BCD=2∠A=120°，∠BOD=2∠A=120° 故答案为：60°，120°，120° ②连接OC交⊙0于点P, 图1 ,C为BD的中点， 心OP⊥BD, PD=PB=L8D 2 OB=DO. :.∠BOP=∠DOP=∠BOD=60°. :.OP-108-5 2 ·BP=VOB2-OP=5V3 2 .BD=2BP=53 (2)如图，延长DC到点M,使得CM=CB,连接MB, 0 B D C M ,四边形ABCD是圆美四边形，∠BAD是美角， .∠BCD=2∠BAD,∠BCD+∠BAD=180° .2∠BAD+∠BAD=180°， 20/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得∠BAD=60°， .∠BCD=120°， ,CA平分∠BCD ∴.∠BCM=∠ACB=∠ACD=60°， .△CMB是等边三角形， ∴.BC=BM,∠ABD=∠CBM=60°， .∠ABD+∠DBC=∠CBM+∠DBC, ∴，∠ABC=∠DBM, [∠BAC=∠BDM .∠ABC=∠DBM, BC=BM .△DBM≌△ABC(AAS), .AC=DM. DM=CM+CD ∴.AC=BC+CD ,AC是⊙0的一条弦， ∴当AC是直径时，AC取最大值12， 即BC+CD的最大值是12. 故答案为：12 14 【答案】(I)过点P向AB和CD作垂线，分别交AB和CD于点E,F,连接BP,DP, 则PE⊥AB,PF⊥CD ∠PEB=90e:∠PFD:90,EB=号AB,DF=cD .AB=CD. :EB=DF, 在RtAPEB和Rt△PFD中， PB=PD EB=DE .RtePEB≌Rt△PFD(HL), .PE=PF 21125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又PE⊥AB,PF⊥CD ∴.∠EOP=∠FOP ∴点P在∠MON角平分线O0上 (2)解：过点P向AB和CD作垂线，分别交AB和CD于点E,F,连接BP,DP, 则PE⊥AB,PF⊥CD M B A ,由(1)得平分 F -N D 图2 .∠MON=60° OP ∠MON .∠AOP=30°， PE⊥AB, AB=4, 六AE=AB=2, 2 .0E=4+2=6, 设PE=x ∠EOP=30°， :.OP=2x, ..OE =OP2-PE2=3x, √5x=6, .x=2√5， ∴.OP=2PE=4V3: (3)解：OM=0N=12V5,∠MON=60°， ∴△OMN是等边三角形， .ON=OM=MN=123,∠M=∠W=60°， 由(1)得OP平分∠MON .PO垂直平分MW,令垂足为H, 22125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 6 图3 0H= ×12√3=18 .∠MON=60°，OP平分∠MON, ∴.∠PON=30° ①临界1：⊙P与ON相切，P到ON距离=r P到ON距离=r,∠PON=30°， :.OP=2r, P到MN距离=18-OP=18-2r, :MN与⊙P相切， ∴.P到MN距离=r, .18-2r=r, r=6, ②临界2：⊙P过点O,设OP=r, P到MN距离=18-OP=18-r, :MN与⊙P相切， ∴.P到MN距离=r, .18-r=r, r=9, .6<r<9 15. 【答案】 (1)如图1所示： 23125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 (2)解：△AEF是“智慧三角形”， 理由如下：设正方形的边长为4a, E是BC的中点， .'BE CE=2a, .FC=a,BF=4a-a=3a, 在Rt△ADE中，AE2=(4a}+(2a}=20a2, 在RtAECF中，EF2=(2a}+a2=5a2, 在RtA4BF中，AF2=(4a)2+(3a}-25a2, .'AE2+EF2=AF2, ∴.△AEF是直角三角形， ,斜边AF上的中线等于AF的一半， .△AEF为“智慧三角形”： (3)如图3所示： 图3 由“智慧三角形”的定义可得△OPP为直角三角形， 根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为3， 由勾股定理可得PQ=W5-P=2, 24125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Sore= G00xPM=-OPxPQ:5xPM=1x2 2 ·PM=1x25-25 由勾股定理可求得OM= 故点P的坐标为 25)25 25125面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03圆中动点与新定义型综合有关问题的三种模型 题型归纳 题型一圆中的动点综合问题 题型二圆中的课本再现综合问题 题型三圆中的新定义型综合问题 题型专练 题型一：圆中的动点综合问题 1.(25-26九年级上江苏盐城阶段检测)【问题情境】 (1)点A是⊙0外一点，点P是⊙0上一动点.若⊙0的半径为3，且0A=5,则点P到点A的最短距离 为 【直接运用】 (2)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧CD上 的一个动点，连接AP,则AP的最小值是一 图1 【构造运用】 (3)如图2，已知正方形ABCD的边长为8，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边 BC,CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P,则点P到点C的最短距离，并说明理由。 1/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BL M 图2 【灵活运用】 (4)如图3，⊙0的半径为6，弦AB=6,点C为优弧AB上一动点，AM上AC交直线CB于点M,则 △ABM的面积最大值是 图3 2.(25-26九年级上江苏连云港阶段检测)(1)【问题情境】A是⊙0外一点，P是⊙0上一动点.若 ⊙0的半径为2，且OA=5,则点P到点A的最短距离为_ (2)【直接运用】如图1，在RIAABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于点 D,P是弧CD上的一个动点，连接AP,则AP的最小值是_· (3)【构造运用】如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M,N分别从点B,C同时出发，以相同 的速度沿边BC,CD向终点C,D运动，连接AM和BN交于点P,求点P到点C的距离最小值 (4)【灵活运用】如图3，⊙O的半径为4，弦AB=4,C为优弧AB上一动点，AM⊥AC交直线CB于 点M,则△ABM面积的最大值是_· B B M 图1 图2 图3 3.(25-26九年级上江苏镇江阶段检测)【模型建立】 如图①、②，点P分别在圆O外、在圆O内，直线PO分别交圆O于点A,B,则PA是点P到圆O上的点的 最短距离，PB是点P到圆O上的点的最长距离， 2/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA B BB E MF 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 【问题解决】 (1)已知点P到圆O上的点的最短距离为3，最长距离为7.则圆O的半径为 (2)如图③，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6.点E在边BC上，且CE=2,动点P在半径为2的 圆E上，则AP的最小值是 3)如图④，点A(2,0),动点B在以P(4,4)为圆心，√2为半径的圆上，OB的中点为C,则线段AC的最 大值为 (④如图⑤，正方形ABCD中，点M,N分别为AB,BC上的动点，且AM=BN,DM,AN交于E,点F为 AB的中点，点P为BC上一个动点，连接PE,PF.若AB=4,则PE+PF的最小值为 4.(25-26九年级下浙江杭州开学考试)阅读材料：如图1，若点P是⊙0外的一点，线段P0交⊙0于 点A,则PA长是点P与⊙0上各点之间的最短距离 A PB N B 图1 图2 图3 图4 证明：延长PO交⊙O于点B,显然PB>PA.如图2，在⊙O上任取一点C(与点A,B不重合)，连接 PC,OC .PO<PC+OC,PO=PA+OA,OA=OC, .PA<PC, PA的长是点P与⊙O上各点之间的最短距离. 由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差 请用上述结论解决下列问题. ()如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,以BC为直径的半圆O交AB于D,P是弧CD上 的一个动点，连接AP,求AP长的最小值. (②)如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将 △AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连接A'C.求线段AC长的最小值. 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图5，已知正方形ABCD的边长为4，点G是以BC为直径的半圆O上的一动点，点P是AB边上另一 动点，连接PG,PD,求PD+PG的最小值 D 图5 5.(25-26九年级上：湖南长沙期中)【学习心得】(1)小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些 几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易. D 图1 图2 图3 图4 ①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且 AD=AC,求∠BDC的度数 解：若以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助圆⊙A,则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆 心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=_° ②类型二，“定角+定弦”：如图2，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动 点，且满足∠PAB=∠PBC,求线段CP长的最小值. 解：∠ABC=90°，∴.∠ABP+∠PBC=90°，∠PAB=∠PBC,∠BAP+∠ABP=90°，∠APB= (定角)，∴.点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上，请直接写出线段CP长的最小值 【问题解决】(2)如图3，在矩形ABCD中，已知AB=6,BC=8,点P是BC边上一动点（点P不与B, C重合)，连接AP，,作点B关于直线AP的对称点M,求线段MC的最小值， 【问题拓展】(3)如图4，在正方形ABCD中，AD=5,动点E,F分别在边DC,CB上移动，且满足 DE=CF.连接AE和DF,交于点P. ①请你写出AE与DF的关系，并说明理由： ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长 题型二：圆中的课本再现综合问题 6.(2025·江西模拟预测)课本再现 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图1，AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F,OE与OF相等吗？为什么？ 0 图1 图2 (1)完成上述课本习题， 知识应用 (2)如图2，⊙O的弦AB,DC的延长线相交于点E,连接EO并延长.若AB=CD,求证：EO为 ∠AED的平分线， 7.(25-26九年级上河南安阳期末)【课本再现】 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分∠DAB. 【课本开发】一次数学课上，李老师引导同学们一起对课本习题进行改编 (1)如下是小文同学改编的题目： 如图，AB为⊙O的直径，C为OO上一点，AD⊥CD于点D,AC平分∠DAB.求证：CD是⊙O的切线 请你利用所学知识解答小文同学改编的题目， D (2)小峰同学在小文同学的基础上进行了如下延伸： 若DC=2,DA=4,求⊙0的直径.请你利用所学知识解答小峰同学延伸的题目. 8.(25-26九年级上山西朔州阶段检测)综合与探究 【课本再现】 课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的 5/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 距离都等于半径.复习课上，复盘小组结合图①对课本例题进行了深入学习，对“到定点的距离等于定长 的点都在同一个圆上”有了更深刻的理解 例：矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,求证：A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 证明：因为四边形ABCD为矩形， ① AC,OB-OD-BD.AC-BD 1 所以0A=0心= 所以OA=OC=OB=OD 所以A,B,C,D四个点都在以点O为圆心，OA为半径的圆上. (1)以下是一道课本原题：“在△ABC中，∠C=90°，求证：A,B,C三点在同一个圆上.”请你利用图 ②写出证明过程， 【初步运用】 (2)对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决.例如：如图③，在△ABC中， AB=AC,∠BAC=54°，D是△ABC外一点，且AD=AC,求∠BDC的度数.若以点A为圆心，AB为半 径作辅助圆OA,由AB=AC=AD可知点C,D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角， 从而容易得到∠BDC=·, 【深入理解】 (3)如图④，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,求证：∠I+∠2=90°」 ② ④ 9.(25-26九年级上江苏常州阶段检测)阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半 径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上 【课本理解】 (1)如图1，在△ABC中，∠C=90°，求证：A,B,C三点在同一个圆上. 【初步运用】 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简 (2)如图2，AB=AC=AD,若∠BCD=16°，求∠BAD的度数.若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆， 由AB=AC=AD可得点C、D必在⊙A上，∠BCD是⊙A的圆周角，且∠BAD是圆心角，从而得到 ∠BAD= 【深入理解】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点N是y轴上一点.若点A(3,O),B(7,O),当∠ANB最大时，点N的 坐标为 yA W A B 01234567x 图1 图2 图3 10.(25-26九年级上江西宜春·期末)【课本再现】(1)课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有 “圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图 1所示的课本例题进行了深入学习： 图1 例1矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,求证：A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆 上 证明：：四边形ABCD为矩形， .0A-OC-7AC.OB=CD-BD:4C-RD ∴.OA=OC=OB=CD」 A,B,C,D四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上 通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解以下是一道课本原题： “△ABC中，∠C=90°，求证：A,B,C三点在同一个圆上”请你利用图2写出证明过程 【初步运用】(2)对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题例如：如图 3,在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC,求∠BDC的度数.若以点A为 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆心，AB为半径作辅助⊙A,由AB=AC=AD可知点C,D必在OA上，∠BAC是⊙A的圆心角，而 ∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC= 图2 图3 图4 图5 【深入理解】(3)如图4，在四边形ABCD中，AB=AC=AD.求证：∠1+∠2=90° 【拓展延伸】(4)如图5，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的 一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,连接AC,求A'C长度的最小值， 题型三：圆中的新定义型综合问题 11.(25-26九年级上江苏连云港·期中)几何学中三角形有五心：内心、外心、重心、垂心、旁心，其中 三角形旁心的定义：三角形一个内角的平分线与另外两个内角的外角平分线的交点是旁心. A B ① ② (I)根据三角形旁心的定义，用无刻度的直尺和圆规作出图①中△ABC的一个旁心O: (2)过旁心O作OD⊥AC于点D,以点O为圆心，以OD为半径画⊙O，求证：BA是⊙O的切线. 12.(2025九年级上江苏连云港专题练习)定义：P、O分别是两条线段a,b上任意一点，线段P9长 度的最小值叫做线段a与线段b的距离.已知，O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标 系中四点 图1 图2 图3 (1)根据上述定义，当m=2,n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离为. (2)当m=5,n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB的长）为 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，若点B落在圆心为A,半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数 解析式. 13.(25-26九年级上河北邯郸期中)【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆 美四边形，其中这个角叫做美角 B 图1 图2 【初步应用】 (1)如图1，已知四边形ABCD是圆美四边形，∠A是美角，连接OB、OD、BD ①写出LA的度数是一，LBCD的度数是 一，∠BOD的度数是」 ②点C为BD的中点，⊙O的半径为5，求线段BD的长： 【拓展提升】 (2)如图2，己知四边形ABCD是圆美四边形，∠BAD是美角，连接CA,若CA平分∠BCD,⊙O的半径 为6，则BC+CD的最大值是 14.(2026吉林一模)【定义】对于给定的一个锐角，我们这样定义它的等弦圆：以角内一点为圆心画 圆，若圆与该角的两边相交所截的两条弦相等，我们把这个圆叫作这个角的等弦圆。例如：如图①，P为 ∠MON内一点，⊙P在射线OM、ON截得弦AB、CD,AB=CD,所以⊙P为∠MON的等弦圆. M M B B R D D 图1 图2 图3 【探究】 (1)求证：点P在∠MON角平分线OQ上. 小明的证明思路：过点P向AB和CD作垂线，连接BP,DP,通过三角形全等和利用角平分线逆定理来 证明 以下是小明的部分证明过程： 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点P向AB和CD作垂线，分别交AB和CD于点E,F,连接BP,DP, 则PE⊥AB,PF⊥CD ∠PEB=90,∠PFD=90,EB=号AB,DF=cD 2 2 ∴.PE=PF 又：PE⊥AB,PF⊥CD .∠EOP=∠FOP ∴.点P在∠MON角平分线OQ上 请你帮助小明完成上述证明过程， 【应用】 (2)如图②， ⊙P为∠MON的等弦圆，若∠MON=60°，当OA=AB=4时，则OP=一： 【拓展】 (3)如图③，⊙P为∠MON的等弦圆，若∠MON=60°，连接MN,若当OM=ON=12V3,且MN与⊙P相 切，则∠MON的等弦圆半径的取值范围为. 15.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)【定义】数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角 形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”· 0 R 图① 图② 图③ 【理解】 (I)如图①，点A、B是⊙0上两点，请在圆上找出满足条件的点C,使△ABC为“智慧三角形”，（画 出点C的位置，保留作图痕迹) (②)如园@，在正方形4BCD中，B是BC的中点，F是CD上一点，且CF=4CD,试判断人HP是香为 “智慧三角形”，并说明理由. 【运用】 (3)如图③，在平面直角坐标系x0y中，⊙0的半径为1,9是直线y=V5上的一点，若⊙0上存在一点 P,使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标。 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11/11 专题03 圆中动点与新定义型综合有关问题的三种模型 题型一 圆中的动点综合问题 题型二 圆中的课本再现综合问题 题型三 圆中的新定义型综合问题 题型一：圆中的动点综合问题 1．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）【问题情境】 （1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，且，则点P到点A的最短距离为______． 【直接运用】 （2）如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】 （3）如图2，已知正方形的边长为8，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由． 【灵活运用】 （4）如图3，的半径为6，弦，点C为优弧上一动点，交直线于点M，则的面积最大值是______． 【答案】（1）2 （2） （3）解：点P到点C的最短距离为，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点P在以为直径的圆上运动，连接，与的交点，此交点P即为最小时的位置； ∵正方形的边长为8， ∴， 则 ∴在中，， ∴的最小值； （4） 【分析】（1）当点P是与的交点时，为最短，故可求解； （2）找到中点O，当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的距离最短，故可求解； （3）先证明，再得到，得到P的运动轨迹，再根据圆外的点与圆的位置关系特点即可求解； （4）先求出，要想的面积最大，则需要点M到的距离最大，根据圆周角与圆心角的关系作，根据三线合一得到是等边三角形，故可求出此时的面积． 【详解】解：（1）∵点A是外一点，点P是上一动点．的半径为3，且， 当点P是线段与的交点时，为最短， 此时， 则点P到点A的最短距离为2； （2）如图，连接， 当点P是线段与的交点时，为最短， 当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的距离最短， ∵，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为 故答案为：； （3）略 （4）连接， ∵的半径为6，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵弧弧 ∴， ∵ ∴ ∵，要使面积最大，则点到的距离最大， 如图，∵，弧弧 ∴点M在以的上， 当时，点M到的距离最大, ∵ ∴是等边三角形， ∴结合三线合一，点到的距离 ∴的最大面积为 2．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）（1）【问题情境】是外一点，是上一动点．若的半径为，且，则点到点的最短距离为 ． （2）【直接运用】如图1，在中，，，以为直径的半圆交于点，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是 ． （3）【构造运用】如图，已知正方形的边长为，点，分别从点，同时出发，以相同的速度沿边，向终点，运动，连接和交于点，求点到点的距离最小值． （4）【灵活运用】如图3，的半径为，弦，为优弧上一动点，交直线于点，则面积的最大值是 ． 【答案】（1）3 （2） （3） （4） 【分析】（1）当点是与的交点时，为最短，故可求解； （2）找到中点，当、、在同一直线上时，点到点的最短，故可求解； （3）先证明，再得到，得到的运动轨迹，再根据圆外的点与圆的位置关系特点即可求解； （4）先求出，要想的面积最大，则需要点到的距离最大，根据圆周角与圆心角的关系作根据三线合一得到是等边三角形，故可求出此时的面积． 【详解】解：（1）当点是与的交点时，为最短， ， 故答案为：； （2）如图，连接，当、、在同一直线上时，点到点的最短， ， 的最小值为 故答案为：； （3）， ， ， ， ， ， 故点点在以为直径的圆上运动，连接，与的交点，此交点即为最小时的位置； ， 的最小值为； （4）连接 ， 是等边三角形， ， ， ，要使面积最大，则点到的距离最大， 如图，， 点在以的上， 当时，点到的距离最大， 是等边三角形， 的最大面积为． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为______． (2)如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是______． (3)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，则线段的最大值为______． (4)如图⑤，正方形中，点分别为上的动点，且，，交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，则的最小值为______． 【答案】(1)2或5 (2) (3) (4) 【分析】（1）分两种情况：若点在圆外，若点P在圆内，即可求解； （2）连接，交圆E于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （3）取点，连接，可得是的中位线，从而得到当线段取得最大值时，线段也取得最大值，连接，并延长交圆P于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与圆P的半径即可求出的长，进而即可解答； （4）证明，可得，从而得到，进而得到点E在以为直径的圆上运动；取的中点O，作点F关于的对称点H，连接，可得到当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，再求出的长，从而得到的长，进而得到的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，若点在圆外，此时， ∴， ∴圆的半径为2； 如图②，若点P在圆内，此时， ∴， ∴圆的半径为5； 综上所述，圆的半径为2或5； 故答案为：2或5 （2）解：如图，连接，交圆E于点D， 由【模型建立】得：可得的长是点A到圆E上的点的最短距离， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： （3）解：取点，连接， ∵点， ∴点A为线段的中点， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交圆P于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵， ∴， ∵圆P的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为； 故答案为： （4）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动； 如图，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接， ∴， ∴， ∴当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为： 4．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）阅读材料：如图1，若点P是外的一点，线段交于点A，则长是点P与上各点之间的最短距离． 证明：延长交于点B，显然．如图2，在上任取一点C（与点A，B不重合），连接，． ，且，， ， 的长是点P与上各点之间的最短距离． 由此可得结论：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差． 请用上述结论解决下列问题． (1)如图3，在中，，，以为直径的半圆O交于D，P是弧上的一个动点，连接，求长的最小值． (2)如图4，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，点N是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．求线段长的最小值． (3)如图5，已知正方形的边长为4，点G是以为直径的半圆O上的一动点，点P是边上另一动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接与相交于点P，由题意得，此时最短，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由线段中点的定义可得，由折叠的性质可得，则点在为直径的圆上运动（右侧的半圆上）；连接交圆M于点Q，过点C作，交的延长线于点P，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）作点D关于的对称点，连接，，设分别交于点N，交半圆O于点H，由轴对称的性质可得，，则可推出当点P与点N重合，点G与点H重合时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图3所示，连接与相交于点P，由题意得，此时最短， ∵的直径，且， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：∵四边形是边长为2的菱形， ∴，； ∵M是的中点， ∴， 由折叠的性质可得， ∵点N在线段上运动， ∴点在为直径的圆上运动（右侧的半圆上）； 连接交圆M于点Q，过点C作，交的延长线于点P，如图4所示， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，当点与点Q重合时，最短，最短为； （3）解：如图5所示，作点D关于的对称点，连接，， 设分别交于点N，交半圆O于点H， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴由题意得，当点P与点N重合，点G与点H重合时，有最小值，最小值为的长； 如图5所示，过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 5．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）【学习心得】（1）小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． ① 类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A(定点)为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角， 从而可容易得到 ． ②类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴，∴ (定角)，∴点P在以 (定弦)为直径的上，请直接写出线段长的最小值 ． 【问题解决】（2）如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点(点P不与B，C重合)，连接，作点B关于直线的对称点M，求线段的最小值． 【问题拓展】（3）如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ①请你写出与的关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）①45，②90；2； （2）4； （3）①．理由： ∵正方形中，，且． ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）①点B、C、D都在上，根据，得； ②根据题意得出，得出点P在以 (定弦)为直径的上，当点，，三点共线时，的长最小，根据勾股定理得出，即可求出结果； （2）连接，求出，由轴对称知，根据，得到的值最小为4； （3）①根据正方形性质，结合．证明，得到，推出，即得； ②根据，知在点E运动时，点P从点D开始运动到正方形对角线交点O，得点P是在以为直径的上运动，路径长为的周长，为． 【详解】解：（1）①∵，， ∴点B、C、D都在上， ∵， ∴， 故答案为：45； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， ∴当点，，三点共线时，的长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴长的最小值为； （2）连接， ∵矩形中，，， ∴， 由轴对称可知， ∵， ∴当点M在上时，的值最小， 最小值为：； （3）①略 ②∵， ∴， ∴点P在以为直径的上运动， 当点E从点D开始运动到点C时， 点P也随之从点D开始运动到正方形对角线交点O， ∴由对称性可知，点P运动的路径长为的圆周长， ∴． 故点P的运动路径长为：． 题型二：圆中的课本再现综合问题 6．（2025·江西·模拟预测）课本再现 如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？ （1）完成上述课本习题． 知识应用 （2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线． 【答案】（1）． 理由如下：在和中， ， ． 又于点，于点， 即分别是边上的高， ； （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，． ， 同理可得：， ，， 为的平分线． 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定． （1）证明，根据于点，于点，即可证明； （2）过点分别作，，垂足分别为，．同理（1）即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26九年级上·河南安阳·期末）【课本再现】 如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． 求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，李老师引导同学们一起对课本习题进行改编． (1)如下是小文同学改编的题目： 如图，为的直径，C为上一点，于点D，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答小文同学改编的题目． (2)小峰同学在小文同学的基础上进行了如下延伸： 若，，求的直径．请你利用所学知识解答小峰同学延伸的题目． 【答案】(1) 证明：连接，如图1： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； (2)的直径为5 【分析】本题考查了切线的判定定理和切线的性质，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）连接，证得，再根据平行线的性质可得，然后即可求解； （2）连接，根据勾股定理求得，然后根据相似三角形的知识即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：连接，作，垂足为，如图： ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设的直径为，即，， 在中，根据勾股定理， 可得：， 在中，根据勾股定理， 可得：， ∴， 解得：； ∴的直径为5； 8．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）综合与探究 【课本再现】 课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径．复习课上，复盘小组结合图①对课本例题进行了深入学习，对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深刻的理解． 例：矩形的对角线相交于点，求证：四个点在以点为圆心的同一个圆上． 证明：因为四边形为矩形， 所以，，． 所以． 所以四个点都在以点为圆心，为半径的圆上． （1）以下是一道课本原题：“在中，，求证：三点在同一个圆上．”请你利用图②写出证明过程． 【初步运用】 （2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决．例如：如图③，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，由可知点必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而容易得到 °． 【深入理解】 （3）如图④，在四边形中，，求证：． 【答案】 （1）证明：如图，取的中点O，连接. 因为为直角三角形，，O为的中点，所以，， 所以， 所以A，B，C三点都在以点O为圆心，为半径的圆上． （2）27； （3）证明：因为，所以点B，C，D在以点A为圆心，为半径的圆上． 如图②，作辅助圆，则. 因为，所以， 因为，所以． 所以． 【分析】本题考查了圆的相关知识点以及构造辅助圆在解决几何问题中的作用，涉及了圆周角定理、直角三角形的性质等知识点，掌握相关结论并加以运用是解题关键． （1）仿照例题，结合直角三角形斜边上中线的性质，证明即可． （2）根据圆周角定理计算即可． （3）以点A为圆心，为半径作辅助圆，根据圆周角定理及三角形内角和定理计算并证明． 【详解】解：（1） 略 （2）由圆周角定理可知，， 故答案为：27； （3） 略 9．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）阅读：课本中有这样一段话：圆上的点到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上． 【课本理解】 （1）如图1，在中，，求证：A，B，C三点在同一个圆上． 【初步运用】 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以化繁为简． （2）如图2，，若，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，由可得点C、D必在上，是的圆周角，且是圆心角，从而得到____________． 【深入理解】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点是轴上一点．若点，当最大时，点的坐标为____________． 【答案】 （1）证明：取的中点O，连接，如图， ，， ， ，B，C三点在以的中点为圆心，为半径圆上； （2）；（3） 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，勾股定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握题干中的方法，添加适当的辅助圆是解题的关键． （1）取的中点，连接，利用直角三角形的斜边上的中线的性质解答即可； （2）以点A为圆心，为半径作辅助圆，利用圆周角定理解答即可； （3）由题意得：当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图2，以点A为圆心，为半径作辅助圆， ， 点C、D必在上， 是的圆周角，且是圆心角， ， 故答案为：； （3）解：如图所示，根据三角形外角的性质得， ∵， ∴， ∴当经过A，B两点的圆与y轴相切时，最大，作出该圆，如图， 设圆心为C，连接，过点C作于点E，连接，则， ，， ，， ， ， ， 与y轴相切于点N， ， ，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 点N的坐标为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江西宜春·期末）【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习： 例1矩形的对角线，相交于点，求证：，，，四个点在以点为圆心的同一个圆上. 证明：四边形为矩形， ，，， ， ，，，四个点在以点为圆心，为半径的同一个圆上. 通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“中，，求证：，，三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程. 【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在中，，，是外一点，且，求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，由可知点，必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到__________°. 【深入理解】（3）如图4，在四边形中，.求证：. 【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，求长度的最小值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， ， 在中，， ，，三点在以点为圆心，为半径的同一个圆上； （2） （3）证明：， 点，，在以为圆心，为半径的圆上， 可以构造出过，，三点的，然后用图2或图3所示的方法解决. 方法1：如图， ， . 又在中，， 在中， ， . 方法2：延长交于点，连接 则为的直径， 在中，， 又在中，， . （4） 【分析】本题考查了圆得相关知识点以及构造辅助圆在解决几何问题中的作用，涉及了圆周角定理、斜中半定理、菱形的性质等知识点，掌握相关结论并加以运用是解题关键． （1）取的中点，连接，根据斜中半定理即可求解； （2）根据圆周角定理可得； （3）由题意可得点，，在以为圆心，为半径的圆上，结合圆周角定理即可求证； （4）根据条件可得点在以为圆心，为直径的圆上，当点为与的交点时，长度取最小值，据此即可求解． 【详解】（1）略 （2）根据圆周角定理可得： 故答案为：； （3）略 （4）解：由折叠性质知， 又是的中点， ， 点在以为圆心，为直径的圆上， 当点为与的交点时，长度取最小值， 过点作的延长线于点， 菱形中，， ， ， 在中，， 在中，， . 题型三：圆中的新定义型综合问题 11．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）几何学中三角形有五心：内心、外心、重心、垂心、旁心，其中三角形旁心的定义：三角形一个内角的平分线与另外两个内角的外角平分线的交点是旁心． (1)根据三角形旁心的定义，用无刻度的直尺和圆规作出图①中的一个旁心O； (2)过旁心O作于点D，以点O为圆心， 以为半径画， 求证：是的切线． 【答案】(1) 如图，点即为所求： (2) 证明：过点作于点，连接 ∵为旁心， ∴平分， 又∵，， ∴ ∵是半径， ∴是半径， ∴是的切线． 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质定理，圆的切线的判定，正确作出旁心是解题的关键． （1）分别作出的平分线和的外角平分线，其交点即为点； （2）过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 12．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）定义：P、Q分别是两条线段a，b上任意一点，线段长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知，，，，是平面直角坐标系中四点． (1)根据上述定义，当，时，如图1，线段与线段的距离为__________； (2)当，时，如图2，线段与线段的距离（即线段的长）为__________； (3)如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段与线段的距离记为d，求d关于m的函数解析式． 【答案】(1)2； (2)； (3)当时，；当时，． 【分析】本题考查了圆的相关性质、点的坐标、勾股定理等重要知识点，根据新定义得出线段之间距离是解决本题的关键． （1）理解新定义，按照新定义的要求求出两个距离值； （2）利用勾股定理求出的长即可； （3）当点B落在上时，m的取值范围为，然后对m的范围分类讨论表示出d，即可当和时，这两种情况讨论． 【详解】（1）解： 如图1， 当，时，线段与线段的距离就是线段与x轴之间的距离，即为2， 故答案为：2； （2）解：如图2，过点B作轴交x轴于点N， 当，时，B点坐标为，线段与线段的距离，即为线段的长， 由题意得，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：； （3）解：如图3，当点B落在上时，m的取值范围为； + 当，显然线段与线段的距离等于半径，即； 当时，线段与线段的距离等于长， ，， 在中，由勾股定理得：． 13．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半径为6，则的最大值是______． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义和圆周角定理求角即可；②根据垂径定理和特殊角的三角函数值进行解答即可； （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． ②连接交于点P， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 故答案为： 14．（2026·吉林·一模）【定义】对于给定的一个锐角，我们这样定义它的等弦圆：以角内一点为圆心画圆，若圆与该角的两边相交所截的两条弦相等，我们把这个圆叫作这个角的等弦圆．例如：如图①，为内一点，在射线、截得弦、，，所以为的等弦圆． 【探究】 (1)求证：点在角平分线上． 小明的证明思路：过点向和作垂线，连接，，通过三角形全等和利用角平分线逆定理来证明． 以下是小明的部分证明过程： 过点向和作垂线，分别交和于点，，连接，， 则， ，，， … 又， ∴点在角平分线上 请你帮助小明完成上述证明过程． 【应用】 (2)如图②，为的等弦圆，若，当时，则_____； 【拓展】 (3)如图③，为的等弦圆，若，连接，若当，且与相切，则的等弦圆半径的取值范围为_____． 【答案】(1)过点向和作垂线，分别交和于点，，连接，， 则， ，，， ∵， ， 在和中， ， ， 又， ∴点在角平分线上 (2)； (3) 【分析】（1）借助垂径定理得到弦一半相等，结合半径相等用HL证直角三角形全等，推垂线长相等，利用角平分线逆定理证P在角平分线上． （2）由角平分线得，垂径定理求，设半径结合勾股定理解出垂线长，再用直角三角形边长关系求 （3）先判定为等边三角形，算出到距离；依据在角平分线、与相切（到距离），找两个临界：与边相切、过顶点，从而确定半径取值范围． 【详解】（1）解：略； （2）解：过点向和作垂线，分别交和于点，，连接，， 则，， ，由（1）得平分， ， ， ， ， ∴， 设 ， ， ∴， ， ， ； （3）解：，， 是等边三角形， ∴，， 由（1）得平分， ∴垂直平分，令垂足为， ∴ ∵，平分， ， ①临界1：与相切，到距离 到距离，， ， 到距离， 与相切， 到距离， ， ， ②临界2：过点，设， 到距离， 与相切， 到距离， ， ， ． 15．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）【定义】数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”． 【理解】 （1）如图①，点A、B是上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使为“智慧三角形”．（画出点C的位置，保留作图痕迹） （2）如图②，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由． 【运用】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，的半径为1，Q是直线上的一点，若上存在一点P，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标． 【答案】 （1）如图1所示： （2）解：是“智慧三角形”， 理由如下：设正方形的边长为， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴是直角三角形， ∵斜边上的中线等于的一半， ∴为“智慧三角形”； （3）存在，点P的坐标为或 ． 【分析】（1）连结并且延长交圆于，连结并且延长交圆于，即可求解； （2）设正方形的边长为，表示出、以及、的长，然后根据勾股定理列式表示出、、，再根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，由直角三角形的性质可得为“智慧三角形”； （3）根据“智慧三角形”的定义可得为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解． 【详解】解：（1）∵是直径， ∴，， ∴为“智慧三角形”， 同理为“智慧三角形”； （2）略 （3）如图3所示： 由“智慧三角形”的定义可得为直角三角形， 根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为3， 由勾股定理可得， ∵，即， ∴， 由勾股定理可求得， 故点P的坐标为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $